基于状态近场动力学的高效塑性变形分析：一种多线性硬化方法

《Computational Particle Mechanics》：A multi-linear hardening approach in state-based peridynamics for efficient plastic deformation analysis

本文推荐一篇发表于《Computational Particle Mechanics》的研究。为高效解决材料非线性硬化问题，作者提出了一种基于状态近场动力学(OSBPD)框架的多线性塑性硬化本构模型。该模型将复杂的非线性硬化行为离散为多段线性过程，替代传统的牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，显著提升了计算效率。通过在MATLAB平台与J2塑性硬化基准测试对比，该方法在保证精度的前提下，计算速度较传统非线性方法提升了4至50倍，为复杂工程问题的弹塑性仿真提供了高效数值工具。

　　

在固体力学与材料科学的数值模拟领域，准确预测结构的破坏始终是一个核心挑战。传统连续介质力学采用微分形式的控制方程，但当结构中存在裂纹或缺陷时，微分方程在这些不连续区域将失去物理意义，使得基于传统理论的方法在模拟裂纹萌生与扩展等问题时面临巨大困难。近场动力学(Peridynamics， PD)理论提供了一种革新的解决思路，它采用积分形式的控制方程，使其在不连续场中依然有效，从而能够自然地模拟材料的损伤与断裂过程。随着研究的深入，针对不同材料特性（如弹性、塑性）的近场动力学本构模型被相继提出，但在模拟材料的塑性变形，特别是复杂的非线性硬化行为时，计算效率低下成为了限制其工程应用的瓶颈。现有研究多采用牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法求解塑性增量，计算过程复杂耗时。针对这一问题，研究团队开展了一项旨在显著提升近场动力学非线性问题计算效率的研究，并取得了突破性进展，相关成果发表在《Computational Particle Mechanics》期刊。

本研究主要采用了基于近场动力学塑性理论框架的多线性本构模型数值实现方法。具体包括：1）在普通状态近场动力学(OSBPD)框架下，建立多线性塑性硬化本构模型的数学公式与算法实现流程；2）运用MATLAB平台进行算法开发与数值实验；3）通过模拟方形平板的拉伸试验，验证算法的精度；4）将所提模型的计算结果与有限元法(FEM)或基准案例（如J2塑性硬化基准）进行对比，以评估其计算效率的提升幅度。

2. Plasticity theory for peridynamics

本章系统介绍了近场动力学的塑性理论框架，为后续多线性模型的建立奠定基础。2.1. Basic theory of peridynamics 部分阐述了普通状态近场动力学(OSBPD)的基本控制方程（运动方程的积分形式），并介绍了弹性各向同性材料中应变能密度、标量伸长状态（包括体胀部分ⁱ与偏量部分^d）的分解，以及向量力状态的表达式。2.2. Peridynamics plasticity theory 部分指出塑性变形的历史依赖性，并将标量伸长状态的体胀和偏量部分进一步分解为弹性分量与塑性分量，其中体胀的塑性部分对材料塑性变形过程没有贡献。2.3. Yield function 部分基于经典连续介质力学理论，定义了近场动力学的屈服函数、塑性流动法则及加载-卸载一致性条件。2.4. Equivalent plastic strain 部分则严格定义了近场动力学的等效应力、屈服条件，并将其与von Mises屈服准则联系起来，引出了与累积塑性应变相关的材料函数。

3. Multi-linear hardening plastic model for peridynamics

本章是研究的核心创新部分，提出了多线性硬化塑性模型并给出了详细的数值实现。3.1. Equivalent plastic strain increment calculation mothed 部分详细推导了在迭代计算中，等效塑性应变增量、塑性偏量向量力状态及其增量（Δe_n+1^dp）的计算方法。基于一致性条件，分析了材料在弹性加载/卸载、塑性加载和塑性卸载三种状态下的物理量更新公式，最终得到了计算下一迭代步等效塑性应变增量的关键方程。3.2. Nonlinear plastic hardening model of peridynamics 部分分析了非线性硬化模型的求解过程，指出等效塑性应变增量通常隐式地嵌入在屈服函数中，求解近场动力学非线性硬化行为需要迭代计算，并给出了对应的非线性方程形式。3.3. Multi-linear plastic hardening model of peridynamics 部分则重点阐述了所提出的多线性模型。该模型将非线性硬化曲线离散为多个线性段，对于每个线性硬化段，其本构关系为线性方程（σ_n^Y= σ₀+ Hε_pⁿ）。将此线性硬化模型代入前述关键方程后，屈服面函数退化为仅依赖于未知变量（Δε_n+1^p）的一元线性方程，从而可以直接解析求解等效塑性应变增量，避免了非线性迭代。

4. Validation

本章通过数值模拟验证了所提模型的有效性、精度和计算效率。通过模拟方形平板的拉伸试验，验证了多线性塑性硬化算法的准确性。离散分析表明，在保持较高计算效率的前提下，可以适当增加多线性模型的分段数以更好地拟合非线性行为。最关键的是，基于MATLAB平台，通过与J2塑性硬化基准的对比，验证了所提出的多线性模型在保持计算精度的同时，相比使用牛顿-拉夫森方法的传统非线性方法，能够获得4至50倍的相关效率提升。

本研究创新性地提出了一种基于普通状态近场动力学(OSBPD)框架的多线性塑性硬化本构模型，并提供了完整的算法实现流程。该模型的核心优势在于，它将复杂的非线性硬化问题转化为分段线性求解，从而完全避免了传统方法中必需的牛顿-拉夫森迭代过程。数值实验充分证明，该方法能够在保证模拟精度的前提下，大幅提升近场动力学求解非线性硬化问题的计算效率。更重要的是，本文提出的多线性塑性硬化本构模型可以适用于绝大多数各向同性J2塑性本构模型，这为近场动力学方法应用于船舶、航空航天等复杂工程领域的弹塑性分析问题奠定了坚实的数值实现基础，有望推动近场动力学在工程实际问题中的更广泛应用。