一种基于图的自适应方法，用于结构化学习和决策分析

《Decision Analytics Journal》：An adaptive graph-based method for structured learning and decision analysis

　　索万·萨曼塔|托菲格·阿拉哈维兰卢|利奥·米斯蒂奇|安东尼斯·卡拉姆帕卡斯
土耳其伊斯坦布尔伊斯蒂尼耶大学绩效与生产力分析研究中心，邮编34320

**摘要**
许多现代决策支持系统作为相互作用的单元网络运行——例如，医院中的部门、交通系统中的枢纽或大型组织内的团队。每个单元可能使用自己的数据表示方式和决策模型。本文研究在局部模型异构且存在不确定性的情况下，如何做出可靠的全网络范围决策。我们介绍了参数学习量子图（PLQG），这是一个基于图的框架，其中每个节点都有自己的局部参数/状态空间，每条有向边都携带一个传输操作符，指定了如何将一个节点的状态解释为另一个节点的状态。该框架支持时变网络、异构模型以及可解释的跨单元一致性度量。我们还区分了事件驱动（离散）和连续的交互。

**1. 引言**
在许多现实世界环境中，决策不是孤立做出的。医院跨部门协调护理，交通系统管理枢纽之间的延误，大型组织结合不同分析团队的建议。在这种情况下，决策会相互作用并随时间变化，而数据、假设和分析模型在不同单元之间往往存在差异[1],[2],[3]。主要挑战是在局部决策依赖于异构信息时支持可靠的系统级决策。这一挑战是决策分析的核心。决策分析旨在在不确定性下支持知情决策制定，越来越强调可解释性、透明度和系统级一致性[1],[2],[4],[5]。在网络化环境中，仅仅产生准确的局部预测是不够的；局部输出在组合时也必须保持一致性和意义性。许多现有方法隐含地假设模型参数或节点特征是直接可比的，这在异构系统中往往不现实[6]。
一个局部决策在一个单元内可能有意义，但在不同单元之间可能不可比较。例如，两家医院可能为相同的临床结果训练线性预测器，但对协变量的编码不同（不同的缩放、编码或缺失处理方式）。强制两个参数向量相等至少会扭曲其中一个模型，而让每家医院独立决策则可能导致冲突的系统级决策。我们需要的是转换后的对齐：下游单元应该将其自身状态与上游状态的解释版本进行比较。在PLQG中，这种转换由特定于边的传输映射Tij表示，一致性通过沿边聚合的不匹配度dj(Tijθi,θj)来衡量（见图1）。

**2. 参数学习量子图（PLQG）**
为了直接处理异构性，我们采用了基于网络的决策视角。每个决策单元是一个节点，具有自己的局部模型，反映了数据、专业知识、约束或操作环境的差异。单元之间的连接代表了系统中的信息流和解释。这一视角建立在基于图的决策支持和学习方法的基础上，同时明确考虑了异构性和不确定性[7],[8]。

**3. PLQG的贡献**
PLQG的贡献包括：(i) 一个针对决策的框架，用于在异构且互连的决策系统中进行学习；(ii) 一种可解释的方法，用于衡量和管理网络决策之间的一致性差异；(iii) 同一模型内事件驱动（离散）和连续交互之间的明确区分。

**4. 文献综述**
最近的决策分析工作强调可解释性，并需要考虑组织异构性，而不仅仅是优化预测准确性[1],[2]。在网络化环境中（医疗保健、交通、多机构系统），决策是相互依赖的，错误可能会传播；因此，分析必须明确表示交互并支持局部决策的一致性聚合[3]。基于图的表示长期以来一直被用于研究互连系统[10],[11],[12]。时态和动态图捕获了关系和决策路径随时间的变化[13],[14], [15]，动态图嵌入方法旨在在连接性变化的情况下学习有用的表示[16]。这些结果推动了不依赖静态假设的决策框架的发展。图神经网络（GNN）为关系数据的学习提供了灵活的架构，并在节点/边预测任务上取得了显著成果[17]。然而，标准的GNN流程通常假设共享的特征空间和可比较的节点表示，这限制了它们在异构决策单元中的直接适用性[6],[17],[18]。异构GNN放宽了一些假设，但它们通常不指定一个明确翻译层，以可解释的方式在单元之间映射参数或信念[19]。

**5. 应用示例**
**示例1：航空公司枢纽：延误和拥堵对齐**
我们希望获得一个连贯的全网络范围状态估计，用于评估枢纽之间的出发延误和拥堵情况，其中延误会沿航班连接传播。
- 节点：V={DEL, DXB, IST, LHR, JFK, LAX}
- 边：E={(DEL, DXB), (DXB, IST), (IST, LHR), (LHR, JFK), (JFK, LAX), (DXB, LHR)}
为简单起见，设置所有边的权重wij=1。在每个节点使用相同的2D局部空间：Pi=R2，θi=(di, ci)，其中di是延误（分钟），ci是拥堵程度（[0,1]区间）。
定义一个简单的传输规则：Tiji=ρijdi + ηijcj + ξDurij，其中ρij和ηij是常数。使用欧几里得距离dj(u, v)=‖u?v‖2。根据表中的值，计算不匹配度：ΔDEL,DXB=152.52, ΔDXB,IST=210.25, ΔIST,LHR=108.16, ΔDXB,LHR=497.29, ΔLHR,JFK=8.41, ΔJFK,LAX=39.06。因此，E=∑(i,j)∈EΔij=12(1015.69)=507.845。高能量表示全局不一致；例如，DXB→LHR预测的延误比LHR实际观察到的要高得多，这表明要么是LHR尚未发生的延误冲击，要么是参数漂移，要么是操作行动缺失。

**示例2：医院：对齐局部线性预测器**
四家医院为相同的临床风险得分训练局部线性预测器，但在不同站点对特征的编码不同（不同的缩放和编码方式）。强制参数相等是没有意义的；PLQG通过传输来对齐这些模型。

**示例3：函数空间：积分传输**
让G=(V, E)是一个带权重的有向图，V={1,2,3}，E={(1,2), (2,3)}。定义局部空间为希尔伯特空间：P1=L2([0,1]), P2=L2([0,2]), P3=L2([0,3})。网络状态θ=(f1, f2, f3)，其中fi∈Pi。
示例3展示了PLQG如何自然支持非欧几里得和无限维节点空间。每个节点 i∈V 都携带一个实数希尔伯特空间 Pi，每条边 (i,j)∈E 都携带一个有界线性传输 Tij:Pi→Pj。定义直和空间 P=?i=1nPi，并将网络状态写为 θ=(θ1,…,θn)∈P。定义邻接和度数运算符。定义（传入的）传输邻接运算符 A:P→P 为 (Aθ)j=∑i:(i,j)∈EwijTijθi。定义出度运算符 Dout 为 (Doutθ)i=∑j:(i,j)∈EwijTij?Tijθi，以及入度运算符 Din 为 (Dinθ)j=∑i:(i,j)∈Ewijθj。

定义 5 PLQG 拉普拉斯算子 PLQG 拉普拉斯算子为 L=Dout+Din?(A+A?)。

定理 1 二次形式等于连接不匹配 对于任何 θ∈P，有 〈θ,Lθ〉P=∑(i,j)∈Ewij‖Tijθi?θj‖Pj2。因此，E(θ)=1/2〈θ,Lθ〉P。

证明 使用直和内积，有 〈θ,Doutθ〉P=∑(i,j)∈Ewij‖Tijθi‖Pj2，〈θ,Dinθ〉P=∑(i,j)∈Ewij‖θj‖Pj2。同样地，有 〈θ,Aθ〉P=∑(i,j)∈Ewij〈Tijθi,θj〉Pj，〈θ,A?θ〉P=∑(i,j)∈Ewij〈Tijθi,θj〉Pj。结合这些等式得到 〈θ,Lθ〉P=∑(i,j)∈Ewij(‖Tijθi‖2?2〈Tijθi,θj〉+‖θj‖2)=∑(i,j)∈Ewij‖Tijθi?θj‖2。

§5.1 PLQG 中的度数概念

定义 6 对于一个加权有向图 (V,E,w)，定义经典的标量度数 degout(i)=∑j:(i,j)∈Ewij，degin(i)=∑j:(j,i)∈Ewji。

定义 7 节点 i 的出度运算符为 ?Diout?∑j:(i,j)∈EwijTij?Tij:Pi→Pi。入度运算符（Pi 上的单位标量倍数）为 ?Diin?∑j:(j,i)∈EwjiIPi。

定义 8 通过算子范数定义基于传输的标量度数：?degTout(i)?‖Diout‖，degTin(i)?‖Diin‖=degin(i)。

引理 1 对于每个节点 i∈V，有 degTout(i)=‖∑j:(i,j)∈EwijTij?Tij‖≤∑j:(i,j)∈Ewij‖Tij‖2。如果所有来自 i 的出边都有 ‖Tij‖≤M，则 degTout(i)≤M2Degout(i)。

证明 使用算子范数的次可加性以及 ‖T?T‖=‖T‖2。

§5.2 基于传输的 PLQG 中的最短路径 ?经典的最短路径仅使用标量边长。在 PLQG 中，边还携带传输信息，因此我们可以定义一个距离，该距离会惩罚低置信度的边和高度扭曲的传输。

定义 9 有向路径 p:i0→i1→?→ik 定义复合传输 ?Tp?Tik?1ik°?°Ti0→Pik，并且定义乘法路径权重 ?w(p)?∏?=0k?1wi?i?+1。

定义 10 固定 ?∈(0,1)。定义边成本 ??c(i,j)??log(wij+?)+log(‖Tij‖+?)，(i,j)∈E，并定义路径成本 ?C(p)?∑c(i?,i?+1)。定义基于传输的距离 ??dPLQG(s,t)?∑infp:s?tC(p)。

注释 3 项 ?log(wij) 优选可靠的边，而 log‖Tij‖ 则惩罚放大不确定性的传输。当所有边成本非负时，可以使用标准的最短路径方法（例如 Dijkstra）。

§5.3 决策支持：选择可靠的推理链 考虑一个医院场景，其中分诊委员会 (TC) 必须决定是否将患者 admitted to the ICU。多位专家提供评估，但 (i) 来源不同导致信任度不同，(ii) 相同的证据可能被不同的决策者以不同的方式解释。我们将此建模为 PLQG 并使用基于传输的最短路径选择可靠的推理链。

§5.3.1 PLQG 构建

节点。设 V={LAB,RAD,ER,ID,ICU,TC}。局部状态空间（信念单纯形）。在每个节点使用共享的信念空间：Pi=Δ2={(p0,p1,p2)∈R≥03:p0+p1+p2=1}，其中假设 H0：无败血症，H1：中度败血症，H2：重度败血症。记 θi=(pi,0,pi,1,pi,2)∈Δ2。

边和信任度。设 E={(LAB,ER),(RAD,ER),(ER,ID),(ER,ICU),(ID,TC),(ICU,TC),(ER,TC)}，并设置信任权重 wij∈(0,1]。

传输（解释）。定义一个简单的锐化/平淡化家族：Tij(θ)=Norm(θαij)，其中 αij>1 代表锐化，αij<1 代表平淡化，Norm(x)=x/∑kxk。

§5.3.2 基于传输的路径成本

对于路径 p，定义 w(p)=∏we，δ(p)=∑e∈p|log(αe)|，C(p)=?log(w(p))+βδ(p)，其中 β>0 权衡信任度和解释扭曲。使用以下值（示例）：下载：下载高分辨率图像 (31KB) 下载：下载全尺寸图像

候选路径 ER→TC：p1:ER→TC, p2:ER→ID→TC, p3:ER→ICU→TC。它们的成本分别为：C(p1)=1.2967, C(p2)=0.7987, C(p3)=0.4631。因此，首选的推理链是 ER→ICU→TC。

§5.3.3 信念沿选定路径的传播

设 θER=(0.10,0.30,0.60)。两次轻微的锐化（α=1.05）后得到 θICU=TER, ICU(θER)≈(0.094,0.292,0.614), θTC=TICU, TC(θICU)≈(0.089,0.284,0.627)。这条链在不进行过度扭曲的情况下略微增加了对重度败血症的信心（见图 4, 图 5）。

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图 4. 带有每条边上信任度 (w) 和解释度 (α) 的专家网络。

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图 5. 基于传输的路径选择平衡信任度和解释扭曲。

§6 全球航空公司运营作为 PLQG

一个全球航空公司（或联盟）在多个时区、法规和本地约束下协调运营。系统必须：
- 预测并减轻枢纽间的延误传播
- 在值班/休息规则下管理机组人员轮换
- 适应变化中的拥堵、天气和中断
- 保持每个城市当地时间的时间表的可行性

城市集合（18 个节点）设枢纽为：V={Delhi (DEL),Kolkata (CCU),Mumbai (BOM),Dubai (DXB),Doha (DOH),Istanbul (IST),Cairo (CAI),Nairobi (NBO),Johannesburg (JNB),London (LHR),Paris (CDG),Frankfurt (FRA),New York (JFK),Toronto (YYZ),Chicago (ORD),Los Angeles (LAX),Singapore (SIN),Tokyo (HND)}。设 G=(V,E,w)，其中 (i,j)∈E 表示在规划范围内（例如，接下来 48 小时内）存在定期的直飞航班。权重 wij 可以反映频率/容量/重要性。

在每个城市 i 处使用一个 5D 操作状态：Pi=R5，θi(t)=(τi(t),di(t),ri(t),ci(t),fi(t))，其中：
- τi 是本地时间（小时），
- di 是预期的出发延误（分钟），
- ri 是机组人员休息缓冲时间（小时），
- ci 是拥堵程度（[0,1] 范围内），
- fi 是疲劳风险（[0,1] 范围内）。

对于每条飞行边 (i,j)，定义一个时间依赖的传输：Tij(t) = τi+Durij(t)+Δij(t)ρijdi+ηijcjri?Durij(t)?κdi/60cjαfi+βDurij(t)/10+ζdi/60。这里 Durij(t) 是飞行时长（小时），Δij(t) 将本地时间从 i 转换为 j（包括夏令时和政策影响）。参数 ρij,ηij,κ,α,β,ζ 是从数据中学习得到的。

时间 t 的连接能量为 Et(θ)=1/2∑(i,j)∈Ewij‖Tij(t)θi(t)?θj(t)2。

以决策为导向的本地惩罚一个简单的本地惩罚是：?i(θi)=max(0,fi?Fmax)2+max(0,rmin?ri)2+max(0,di?Dmax)2。目标是 Jt(θ)=∑i∈V?i(θi(t))+λEt(θ)。见图 6, 图 7。

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图 6. 用于解释的 18 城市网络示意图。路径组使用不同的颜色和线型；虚线和点线样式在图例中明确显示。

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图 7. 飞行边作为传输：它将城市 i 的本地状态映射到城市 j 使用的表示形式。

操作步骤
- 第 1 步：数据准备。估计每个城市的拥堵程度 ci(t) 和延误 di(t)；计算时间转换 Δij(t)。
- 第 2 步：构建基础图。为规划范围内的航班创建边并设置权重 wij。
- 第 3 步：初始化本地状态。从当前操作数据初始化 θi(t0)。
- 第 4 步：学习传输参数。从历史操作中拟合 ρij,ηij,α,β,ζ,κ。
- 第 5 步：解决 PLQG 优化。在每个步骤 t，解决 minθ(t)∑i∈V?i(θi(t))+λEt(θ)，受操作约束（例如，0≤ci,fi≤1）。
- 第 6 步：根据输出采取行动。使用 θ?(t) 触发干预措施（机组人员重新分配、延误缓冲、改道等）。

基于 PLQG 的全球延误预测模型

目标。对于每个枢纽 j∈V 和离散时间 t，预测下一步的出发延误：d?j(t+1)≈dj(t+1)。

本地状态和投影。使用相同的本地状态：θi(t)=(τi(t),di(t),ri(t),ci(t))∈R5，以及操作投影 π(θi(t))=(di(t),ci(t),ri(t),fi(t))∈R4。

传输消息。对于每条边 (i,j) 定义：(1)mi→j(t)=ρijdi(t)+ηijcj(t)αfi(t)+βDurij(t)/10+ζdi(t)/60∈R2。

聚合。设 N?(j)={i:(i,j)∈E}。将传入的信息聚合为 (2)Mj(t)=∑i∈N?(j)wijmi→j(t)∈R2。定义 xj(t)=(dj(t),cj(t),rj(t),fj(t),Mj(1)(t),Mj(2)(t))∈R6，并预测 d?j(t+1)=σ(a?xj(t)+b)，σ(z)=max(z,0)。

训练损失。给定观察到的 dj(t+1)，通过最小化 ∑t∑j∈Vd?j(t+1)?dj(t+1)2+γ‖a‖2 来学习 a,b（以及可选的传输参数）。

数值示例（传播到伦敦）考虑从 DEL→DXB→IST→LHR 的链。在时间 t：θIST=(?,25,5,0.50,0.35)，θLHR=(?,15,4,0.80,0.45)。假设 IST 是 LHR 的主要相邻节点，使用：wIST,LHR=1,ρIST,LHR=0.65,ηIST,LHR=8,DurIST,LHR(t)=4.0, α=0.70,β=0.50,ζ=0.40。那么 mIST→LHR(1)(t)=0.65(25)+8(0.80)=22.65, mIST→LHR(2)(t)=0.70(0.35)+0.50(0.4)+0.40(25/60)=0.6117。因此 MLHR(t)=(22.65,0.6117)? 和 xLHR(t)=(15,0.80,4,0.45,22.65,0.6117)。通过 a=(0.40,12,?1.0,8,0.55,6.0)? 和 b=?10，得到 d?LHR(t+1)=max(21.3277,0)=21.33。

§7 结论

我们引入了参数学习量子图（PLQG）作为一个框架，用于学习和决策，其中不同的单元使用不同的本地模型和表示方式。通过为每个节点提供自己的本地参数/状态空间，并为边配备明确的转换映射（传输），PLQG 避免了节点间直接可比性的不切实际假设。连接能量提供了一种简单、可解释的全网络对齐度量，并且可以与标准的本地损失函数结合使用。

未来的工作可以集中在大规模网络的可扩展优化、直接从数据中学习传输方式，以及将 PLQG 应用于其他决策场景，如供应链、医疗协调和联邦组织。