使用规范不变场-脉冲替代势的薛定谔方程以及基于LOD-FDTD方法的计算

《Computer Physics Communications》：Schr?dinger Equation with Gauge-Invariant Field-Impulse Replacing Potentials and Computation Using LOD-FDTD Method

　　**Eng Leong Tan | Yu Ding Heh**
南洋理工大学电气与电子工程学院，新加坡南洋大道50号，639798

**摘要**
在本文中，我们提出了一个用规范不变场-脉冲替代势的薛定谔方程，并使用无条件稳定的局部一维时域有限差分（LOD-FDTD）方法对其进行了计算。虽然势通常用于量子电磁（EM）相互作用的研究，但它们依赖于规范且不唯一，可能还具有非因果性、非物理性、非局部性和不可测量性。此外，为了完全描述所有EM相互作用和现象，通常需要同时考虑矢量和标量势。作为替代，我们提出将一个电场-脉冲（IE）量纳入薛定谔方程中。这一量足以完全解释包括静电学、静磁学和电动力学在内的所有EM现象。它既是物理的又是规范不变的，从而避免了由规范依赖势引起的非唯一性和歧义。对于薛定谔方程的数值模拟，显式FDTD方法非常流行，但其稳定性受到时间步长的限制。为了克服这一限制，我们采用了基于规范不变场-脉冲的薛定谔方程所提出的无条件稳定LOD-FDTD方法。LOD-FDTD方法的无条件稳定性得到了严格证明，并确定了其时间和空间精度阶数。数值结果验证了所提方法的准确性，并展示了其在量子EM模拟中的实用性。

**引言**
时变薛定谔方程是量子力学中的重要方程，广泛应用于涉及纳米结构、量子阱、量子点和半导体器件等领域的研究。在这些研究中，研究人员通常在薛定谔方程中引入势来描述量子电磁相互作用。然而，势存在一些缺点和问题：首先，它们依赖于规范且不唯一，这可能导致在薛定谔方程和波函数选择上的歧义；其次，它们可能具有非物理性、非因果性、非局部性和不可测量性。此外，为了完全描述包括静电学、静磁学和电动力学在内的所有EM相互作用和现象，不仅需要考虑规范，还需要同时处理矢量和标量势。单独的势量无法完全解释所有EM现象，例如电标量势无法描述静磁学，而磁矢量势无法描述静电学。另一方面，尽管场是物理的且规范不变的，但它们在薛定谔方程中并未明确体现，因此不适用于量子EM。对于薛定谔方程的数值模拟，有限差分时域（FDTD）方法因其通用性而被广泛使用。显式FDTD方法简单易实现，但其稳定性受到时间步长的限制。为了克服这一限制，我们采用了基于规范不变场-脉冲的薛定谔方程所提出的无条件稳定LOD-FDTD方法。LOD-FDTD方法的无条件稳定性得到了严格证明，并确定了其时间和空间精度阶数。数值结果验证了所提方法的准确性，并展示了其在量子EM模拟中的有效性。

**场和势**
对于量子电磁相互作用，传统的薛定谔方程（包含矢量和标量势）表示为：
$$
\frac{\hbar}{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{1}{2m} \left( -i\hbar \nabla - qA \right) \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + \left( q\phi + U_0 \right) \Psi
$$
其中，$ i $ 是虚数单位，$ \Psi $ 是复波函数，$ \hbar $ 是约化普朗克常数，$ m $ 和 $ q $ 分别是粒子的有效质量和电荷，$ U_0 $ 是背景（非EM）势能，$ A $ 和 $ \phi $ 分别是矢量和标量势。公式（1）中的量 $ \Psi $、$ A $ 和 $ \phi $ 还会受到规范变换：
$$
A \rightarrow A' = A + \nabla \chi \phi
$$

**更新方程的建立**
现在我们将基于带有IE的薛定谔方程（9）建立无条件稳定的LOD-FDTD方法。首先重新排列方程（9）并展开其哈密顿量：
$$
\frac{\partial \Psi}{\partial t} = i\hbar \frac{2m}{2} \nabla^2 \Psi - q^2 m \left[ IE \cdot \nabla \Psi + \nabla \cdot (IE \Psi) \right] + \frac{1}{i\hbar} \left( q^2 \frac{2m}{|IE|^2} + U_0 \right) \Psi
$$
随后，右侧（RHS）算子可以分解为三个一维算子 $ A $、$ B $ 和 $ C $：
$$
\frac{\partial \Psi}{\partial t} = (A + B + C) \Psi
$$
其中每个一维算子仅包含相应的 $ x $、$ y $ 和 $ z $ 方向的空间导数和分量。

**数值结果**
为了进行数值演示，我们考虑一个被限制在砷化镓（GaAs）构成的三维空间中的电子。背景势能采用三维谐振子的形式。除此之外，电子还受到z方向上的静态磁场作用。该静态磁场或磁通密度 $ B = z^B $ 可以通过单个电场-脉冲来描述。这可以通过边长为 $ 2a $ 的有限方形环阵列实现，形成一个长度为 $ L $ 的螺线管。

**结论**
本文提出了一种用于规范不变场-脉冲的薛定谔方程的无条件稳定LOD-FDTD方法。作为传统势的替代，将一个电场-脉冲（IE）量纳入薛定谔方程中，足以完全解释包括静电学、静磁学和电动力学在内的所有EM现象。基于带有IE的薛定谔方程，我们建立了一种无条件稳定的LOD-FDTD方法。

**作者贡献声明**
Eng Leong Tan：撰写 – 审稿与编辑、撰写 – 原稿、验证、监督、软件、方法论、研究、形式分析、数据管理、概念化。
Yu Ding Heh：撰写 – 审稿与编辑、撰写 – 原稿、验证、软件、方法论、研究、形式分析、数据管理。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文所述的工作。