使用线性隐式方法和神经网络的昆虫-病原体模型的数值动力学

《Mathematics and Computers in Simulation》：Numerical dynamics of insect–pathogen models with linearly implicit methods and neural networks

　　王永奇|杨慧子|杨展文
中国烟台鲁东大学数学与统计科学学院，264025

摘要
在线性隐式方法在昆虫-病原体模型中的应用仍然不够充分。本研究探讨了两个主要方面：首先，我们将线性隐式方法应用于昆虫-病原体模型，发现该方法能够保持解的正性和有界性。然而，该模型的数值稳定性颇具挑战性。为了解决这个问题，我们提出了一种改进的线性隐式方法，该方法在保持这些理想特性的同时确保了局部稳定性。此外，模型中的传播率参数β控制着种群动态。理论分析和数值实验表明，β的变化可以驱动系统在稳态和周期解之间转换。对于周期解的分析，我们首先使用神经网络技术成功捕捉到了极限环，验证了改进线性隐式方法下的周期特性。随后，我们考虑了拉普拉斯扩散项，并基于有限元方法和改进的线性隐式方法开发了一个完全离散的方案，数值实验再次证实了模型的周期行为。这项工作不仅扩展了线性隐式方法在生态建模中的应用，还为昆虫-病原体模型的动态分析提供了一种新的数值方法。

引言
生物害虫管理作为可持续害虫管理策略的基石，在维持农业生态系统平衡方面发挥着不可替代的调节作用。近年来，由于其在高效调节昆虫种群方面的巨大潜力，昆虫-病原体模型已成为计算生物学和种群动力学交叉领域的前沿研究方向。自Anderson和May首次发现病原体对宿主种群的调节机制以来（参见[1]），Holt和Pickering等人的后续研究进一步阐明了接触诱导的病原体传播和宿主易感性的动态原理（参见[2]、[3]）。近年来，关于害虫与微生物病原体之间相互作用模型的研究不断深入。通过学者的创新和进步探索，这一领域的理论体系逐渐完善。脉冲微分模型得到了重构（参见[4]、[5]），随后克服了自治系统的局限性，研究扩展到了非自治模型（参见[6]、[7]），并构建了一个更普遍适用的时间延迟流行病生态捕食者-猎物模型（参见[8]）。这一系列研究不断推动了昆虫-病原体相互作用理论的发展，为生物控制策略的优化提供了坚实的数学基础。此外，在昆虫-病原体模型的理论研究中也取得了显著的系统性进展，包括正性、有界性和稳定性等完全理论结构已经建立（参见[9]）。然而，这些理论结果的实际应用和验证在很大程度上依赖于数值方法，这是应用数学中的核心研究工具。

数值分析不仅是理论结果的重要计算验证工具，而且在揭示复杂动态行为方面也起着关键作用，使其成为理论建模中不可或缺的组成部分。值得注意的是，尽管昆虫-病原体模型在生态学和数学建模中得到了广泛研究，但数值方法在这些模型中的应用仍然相对有限，特别是在对欧拉型方法的系统研究方面（参见[10]、[11]、[12]、[13]）。研究表明（参见[14]、[15]、[16]、[17]、[18]），线性隐式方法保持了优异的特性。与这些数值方法相比，线性隐式方法在计算效率上与显式欧拉方案相当，同时由于其固有的正性和有界性保持能力，更适合用于生物模型。然而，在传播系数β的影响下，应用经典线性隐式方法后，种群增长无法符合害虫的生物学生长规律。为了解决这个问题，本文采用了改进的线性隐式方法。改进的线性隐式方法不仅保留了原始模型的良好特性，还成功克服了经典线性隐式方法的缺点，为线性隐式方法在生物模型中的应用提供了更可靠的理论基础和实用方法。

数值解的正性保持是生物数学建模中的一个基本约束，对分析结果的可靠性至关重要。改进的线性隐式方法能够有效处理非线性项，从而保持数值解的正性。基于数值解的正性，可以进一步讨论其有界性和稳定性。在证明模型的局部渐近稳定性时，我们首先利用了数值解的这两个关键属性（正性和有界性），然后采用了[19]中的分析方法，涉及在平衡点处的系统线性化，最终推导出局部渐近稳定性的精确条件。为了严格验证改进的线性隐式方法，我们进行了系统的数值实验，准确再现了模型的基本数学特性，包括正性、有界性和稳定性。为了研究周期动态行为，我们建立了三级验证工作：（i）通过直接数值分析，验证了解的正性、稳定性和周期性；（ii）结合先前的动态知识，利用神经网络来约束参数估计过程（参见[20]、[21]）；在机器学习的帮助下，基于Hopf分岔理论将原始模型简化为近似的二维正规形式（参见[22]、[23]、[24]、[25]、[26]、[27]）。训练得到的分岔参数准确识别出临界分岔点β = 0.63，这与数值获得的Hopf分岔点β = 0.6一致；（iii）在Neumann边界条件下结合拉普拉斯扩散算子（参见[28]、[29]），我们使用有限元方法和希尔伯特内积空间（参见[31]）开发了空间离散方案，证明了扩散保持了周期特性，从而说明了我们数值方法中周期解的稳定性。

本文的方法论贡献有三个方面：（i）将线性隐式方法应用于昆虫-病原体模型，严格保证了解的正性、有界性和稳定性；（ii）提出了一种新的框架，将Hopf分岔理论与机器学习算法相结合，消除了对先验参数知识的依赖；（iii）使用有限元离散化开发了一个具有拉普拉斯扩散项的空间扩散耦合模型，实现了多尺度动态分析的一致性。数值实验表明，改进的线性隐式方法能够准确捕捉复杂的种群振荡，同时保持高计算效率，为生物控制策略的数值优化建立了可靠的平台。

本文的结构如下：第2节介绍昆虫-病原体模型；第3节发展了保持模型优异特性的线性隐式方法，并在数值实验中找到了周期解；第4节进行了两部分研究：首先，利用神经网络技术预测出现极限环的分岔参数，结果与数值实验得到的结果接近；其次，通过具有拉普拉斯扩散项的扩散模型重新验证了周期解的存在性。

**模型片段**
在研究中，我们探讨了一个生态环境，其中野生植物作为食草害虫的食物来源。害虫种群分为两类：易感害虫和感染害虫。模型由以下方程描述：
dx/dt = x(r1 - ax - b1y - b2z)，t > 0；
dy/dt = y[r2 + cx - d1(y + z) - βz]，t > 0；
dz/dt = z[βy - d2(y + z)]，t > 0；
初始条件为x(0) = x0 > 0，y(0) = y0 > 0，z(0) = z0 > 0。系统（2.1）中符号的生物学含义见表1。

**模型的数值方法**
在本节中，我们将重点探讨数值方法在昆虫-病原体模型中的应用。与欧拉方法相比，经典线性隐式方法可以保持正性和有界性。然而，当β > β1*时，该方法的稳定性证明不再适用。因此，我们应用了改进的线性隐式方法，使其在β > β1*的情况下能够进行有效的数值分析。

**数值Hopf分岔**
为了验证数值实验结果的可靠性，本节设计并实施了两种互补的验证方法。首先，基于稀疏非线性动力学识别（SINDy）（参见[20]）预测数值Hopf分岔进行交叉验证；其次，通过有限元方法和线性隐式方法验证扩散动态。通过结合机器学习的混合验证方法，...

**结论**
本研究对具有传播系数β的昆虫-病原体模型进行了系统的研究。在[9]的理论结果基础上，取得了多项研究成果。在数值分析工作中，采用了改进的线性隐式方法。与经典线性隐式方法相比，该方法不仅符合昆虫-病原体模型的生物学生长规律，还能更好地保持解的稳定性。

**作者贡献声明**
王永奇：撰写——原始草稿，可视化；
杨慧子：撰写——审稿与编辑，监督，资金获取，形式分析；
杨展文：撰写——审稿与编辑，监督，方法论，资金获取。

**资助**
国家自然科学基金青年基金（项目编号：12201280）

**致谢**
感谢审稿人的良好评价和宝贵建议。同时，作者还要感谢陈志杰博士和马燕的宝贵意见。