基于物理信息的贝叶斯马尔可夫随机场方法：利用灾后稀疏观测数据推断道路洪水情况

《ADVANCED ENGINEERING INFORMATICS》：Physics-Informed Bayesian Markov random field approach for road flooding inference from sparse post-disaster observations

　　Sihan Cao|Wenying Ji|Zaishang Li|Dongping Fang
清华大学建设管理系，北京100084，中国

**摘要**
极端天气事件日益威胁关键基础设施，因此需要快速准确地评估交通网络受损情况，以便有效应对紧急情况。然而，这种评估受到灾后观测数据稀少且分布不均的挑战。虽然数据驱动和基于物理的方法提供了可能的解决方案，但它们在整合不同领域知识以及在数据稀缺条件下进行有效泛化时常常遇到困难。本研究提出了一种马尔可夫随机场（MRF）框架，用于从稀疏观测数据中推断洪水淹没状态。该模型将高程的地理空间信息、控制水文流动的物理原理以及交叉口脆弱性的拓扑特征整合到一个统一的基于能量的框架中。通过对飓风哈维对休斯顿公路系统影响的评估表明，MRF模型在不同数据稀缺程度下都能保持较高的预测性能。具体来说，在仅有40%观测数据的情况下，结合水文和拓扑先验的模型实现了0.747的交并比（IoU），显著优于仅使用高程数据的基线模型（IoU = 0.517）。该模型还支持通过马尔可夫链蒙特卡洛采样（MCMC）逐步更新状态估计和参数，从而在新观测数据出现时不断改进推断结果。此外，概率输出支持基于阈值的灵活风险分类，有助于应急资源分配的适应性决策，并为数字孪生应用奠定基础。这项工作为在不确定性下评估基础设施韧性提供了一种可转移的、考虑知识的方法。

**1. 引言**
洪水、飓风等极端天气事件日益威胁全球的关键基础设施系统，其中交通网络是最脆弱的组成部分之一[2]，[27]。交通网络是应急响应和社区韧性的生命线，其功能直接影响公共安全和恢复行动。在洪水事件发生后，迅速全面地评估道路淹没情况对于指导疏散工作、部署第一响应者和分配必需物资至关重要[22]，[35]。大规模洪水可能导致疏散路线无法通行、社区孤立以及救援行动延迟，这突显了全面了解交通网络状况对于有效应急管理的必要性[1]，[9]。因此，挑战从识别孤立事件转变为在整个区域内快速全面地评估淹没情况[33]，[42]。

对洪水事件后交通网络淹没情况的评估通常采用多种方法论框架，包括数据驱动方法、基于物理的模拟和地理统计技术[6]，[7]，[28]，[40]。然而，洪水发生后的观测数据具有独特性，这些方法的有效性受到根本限制[11]，[12]，[16]，[29]。在这一关键响应期间，由于多种复杂因素（包括危险条件导致的物理访问限制、传感器和通信系统故障、应急系统报告延迟以及现场数据收集的实际限制），洪水区域的观测数据通常稀少、不完整且分布不均[7]，[20]，[30]。与可以系统地随时间收集数据的常规监测情况不同，灾难响应需要在事件发生后的几小时内进行快速评估，此时数据收集能力最为受限。在这些数据稀缺的条件下，数据驱动方法由于训练数据不足而变得不可靠[19]，[31]；而虽然存在计算要求合理的简化物理模型，但在应急响应时间内开发出高精度模拟仍然具有挑战性[25]，[34]，[39]，因为这些模拟依赖于排水基础设施数据和降雨等气象输入，但可用的气象数据往往与实际降雨过程不符，导致模拟不准确。这种准确性-速度的权衡常常限制了基于物理方法在关键初始响应窗口中的实际效用。地理统计方法通常无法结合对道路网络评估至关重要的物理和拓扑知识，导致预测结果在空间上碎片化，缺乏水文一致性，无法识别高风险位置（如交叉口），从而降低了其在针对性应急响应中的效用[23]。大多数现有方法还限于产生静态的二进制输出（例如简单的淹没/未淹没标记），而不提供概率不确定性信息[14]，[15]，[17]，这在决策者缺乏风险优先级信息时阻碍了应急响应中的高效资源分配。随着灾后调查数据的逐步积累，大多数现有方法缺乏逐步整合新信息的机制，这阻碍了洪水评估的及时更新和准确性提升。

本文提出了一种基于贝叶斯推断的框架，特别是采用马尔可夫随机场（MRF）来解决这一挑战。MRF模型通过提供一种将先验领域知识与观测数据相结合的原则性方法，为这一问题提供了有希望的解决方案[13]，[19]。该框架将领域知识（如高程驱动的水文流动和交叉口脆弱性）纳入模型的功能形式及其参数的先验分布中，从而在极端数据稀缺情况下提高推断的可靠性。该方法在三个方面改进了现有方法：（1）它提供了一个可泛化的架构，将来自地理空间、物理和拓扑来源的异构领域信息整合到一个统一的基于能量的公式中；（2）基于这一概率结构，它通过基于马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）的推断实现参数和状态估计的逐步更新，使模型能够逐步将新的观测数据纳入其后验分布，无需重新训练；（3）因此，它产生了空间连续的概率洪水风险评估。这种概率性质为基于阈值的灵活决策提供了基础，允许在不确定性下根据不同的操作需求调整风险等级。这种结构化的方法平衡了有限的观测数据与地理空间、物理和拓扑启发式方法，使其适用于数据稀缺情况下的推断[10]，[24]。

**2. 文献综述**
本节回顾了相关文献，以定位当前研究的位置。首先探讨了从稀疏观测数据评估道路洪水淹没情况的现有方法，强调了它们在数据稀缺条件下的局限性（第2.1节）。随后，研究了MRF在建模空间和拓扑依赖性方面的应用，重点关注它们整合不同领域知识的能力（第2.2节）。

**2.1. 从稀疏数据评估道路洪水淹没状态**
在城市洪水的应急响应中，全面评估淹没区域对于做出关于提供急救和快速道路恢复的明智决策至关重要，尤其是在事件发生后的第一时间。然而，道路网络上的观测数据通常在空间上稀少且分布不均——表现为不同位置的覆盖范围有限且不均匀。因此，在初始响应窗口期间，适合监督数据驱动模型的标记实例通常很少。尽管数据驱动方法在训练后能够快速推断，但通常需要大量的标记数据集，并且在跨事件分布变化时可能会表现不佳。虽然众包和社交媒体输入已被探索作为潜在的数据来源[26]，[41]，但它们往往噪声较大且存在偏差，需要针对具体事件进行微调和质量控制。基于物理的流体动力学模型通常需要高分辨率地形、参数校准和大量的计算资源，这可能阻碍了快速部署。现场调查受到安全和可访问性的限制，而遥感则受到云层覆盖、重访间隔和空间分辨率的限制[7]，[18]，[27]。因此，可用的观测数据通常只覆盖了道路网络的一小部分，需要从有限的数据中推断整个系统的状态。

鉴于这些数据限制，研究人员采用了利用空间依赖性原理的空间统计方法——即地理位置相近的位置往往表现出相似的洪水特征[37]。特别是地理统计模型因其能够形式化空间自相关性而被广泛使用。例如，Li等人[23]提出了一个贝叶斯广义线性地理统计模型（BGLGM），该模型结合了地理空间协变量来预测公路淹没情况，同时明确建模了空间相关性和不确定性。同样，Chen和Ji[7]开发了一个空间自相关模型，该模型将洪水状态从稀疏的社交媒体报告传播到未观测的道路段，结合了高程差异和距离等物理原理。这些研究表明，在数据稀缺的情况下，空间相关性可以提高预测覆盖范围和准确性。

然而，尽管这些方法在解决数据稀缺问题方面很有用，但在道路网络洪水评估的背景下仍存在局限性。首先，它们的空间依赖结构通常过于简化——通常假设基于欧几里得距离的各向同性相关性——从而忽略了道路网络的内在特征，例如由于排水限制交叉口的洪水易发性增加[32]，[36]。其次，这些模型通常是静态的：它们产生固定的二进制输出（例如，淹没或未淹没），而不量化不确定性，且其参数未设计为能够随着新观测数据的到来而进行更新。因此，它们无法在灾难响应的演变阶段持续改进情况意识。这些局限性突显了需要一个不仅嵌入物理和拓扑先验，还能实现动态、观测驱动的信念更新的框架。这样的框架将在极端数据稀缺情况下支持概率推断，并允许在新现场报告或传感器数据出现时不断改进估计结果——而无需重新训练模型。

为了解决这些差距，本研究提出了一个基于MRF的框架，该框架在概率结构中统一了地理空间、拓扑和物理原理。该框架旨在平衡稀疏的观测数据与领域信息先验，认识到仅靠任一来源都不足以进行可靠的全网淹没推断。

**2.2. 用于建模空间和拓扑依赖性的MRF**
作为一类概率图模型，MRF特别适合建模具有强局部依赖性的系统，例如道路网络中的洪水空间相关性。它们在这一背景下的主要优势在于能够将领域知识与观测数据正式整合到一个统一的概率结构中[4]，[13]。这是通过在图上定义的局部交互来实现的，使得复杂系统范围行为的建模在计算上可行。MRF框架的效用源于其使用能量函数来定义系统状态的联合概率分布。假设一个无向图G=V,E，其中V表示节点集，E表示边集。根据Hammersley-Clifford定理[8]，所有节点的状态配置X={x1,x2,...,xn}的概率P(X)可以用Gibbs分布形式表示：
(1)
P(X) = 1/Z * exp(-E(X))
其中Z是一个称为配分函数的归一化常数，E(X)是全局能量函数。这个能量函数通常由两种类型的势组成：单元势和成对势。单元势根据节点的内在属性为其状态分配成本；成对势根据两个相邻节点的状态分配成本，从而确保上下文一致性。总能量是图中所有节点和邻居对的总和：
(2)
E(X) = ∑i ψuxi + ∑i,j ψpxi,xj
其中ψuxi是节点i处于状态xi时的单元势，ψpxi,xj是相邻节点i和j的成对势。

在应用MRF框架从稀疏的灾后观测数据推断道路洪水淹没状态时，传统公式下可能会遇到两个主要挑战。首先，标准MRF模型通过成对势捕获局部邻接性，但通常不表示道路网络本身的固有拓扑属性，例如交叉口的更高脆弱性[32]，[36]。为了结合这些领域知识，单元势可以设计为节点特定属性的函数，例如定义为ψuxi = f(naryxi; elevi, Ii)，其中elevi是节点i的状态，Ii是二进制交叉口指示器。这种公式提高了关键交叉口发生洪水的先验可能性，而不会引入更高阶的团，从而将拓扑意识整合到模型结构中。其次，当观测数据极其有限时，估计势函数的最优参数可能很困难。这一挑战可以通过贝叶斯推断方法来解决，其中模型参数被视为具有信息先验的随机变量。这样的框架将允许在数据稀缺情况下原则性地平衡领域知识和稀疏观测，支持在数据稀缺情况下进行稳健的参数估计，并允许通过MCMC采样逐步更新信念，从而在动态灾难响应环境中保持相关性[44,45]。

**3. 方法论**
本节概述了用于从稀疏观测数据推断道路网络洪水状态的提出的MRF框架。首先，研究将包含交通网络的研究区域离散化为一个规则网格，这构成了我们图形模型的基础。随后，详细介绍了MRF能量函数的结构，该结构旨在整合道路网络的内在、地理空间和拓扑属性。最后，描述了通过MCMC采样进行贝叶斯推断和估计模型参数的方法论，使得能够计算后验概率并利用新数据动态更新模型。图1提供了所提出框架的概览。下载：下载高分辨率图像（383KB）下载：下载全尺寸图像

图1. 基于稀疏观测数据的道路洪水推断的马尔可夫随机场（MRF）框架概览。

3.1. 问题表述为MRF
目标是根据仅在一小部分位置上的观测数据，推断交通网络中所有位置的洪水概率。
研究区域被划分为一个规则的空间网格，每个网格单元代表一个潜在的洪水评估单元。然后将这个空间网格建模为一个无向图G=(V,E)。其中，V表示节点集，每个节点v对应一个网格单元。E表示边集，表示网格单元之间的空间邻接关系。如果单元u和v有边界，则存在边(u,v)。
这种表述将连续的空间问题转化为一个离散的图形模型。每个单元内包含的道路网络的关键属性（如平均海拔或是否存在高速公路交叉口）被编码为相应节点v的属性。每个节点v关联一个二进制随机变量xv∈{0,1}，其中xv=1表示淹没状态，xv=0表示未淹没状态。网络上的所有状态配置由X={xv|v∈V}表示。对于V的一个子集Vo?V，有一组稀疏观测数据Xobs={xv|v∈Vo}，其中xv表示观测位置的验证淹没状态（0或1）。
在贝叶斯框架中，推断任务被表述为最大化后验概率PX|Xobs。MRF形式使用Gibbs分布来建模这个后验概率，该分布源自方程（1）：
(3) PX|Xobs = 1/Z * exp(-UX)
其中UX是全局能量函数，为每个状态配置分配一个成本，Z是确保归一化的配分函数。较低的能量对应较高的后验概率。能量函数UX编码了关于洪水行为的领域先验知识，而观测数据Xobs限制了解的空间。
3.2. 道路洪水的MRF能量函数
能量函数UX由捕获洪水淹没模式理想属性的势函数之和构成。类似于方程（2），它也由两种主要类型的势函数组成：单项势和成对势。
(4) UX = ∑v∈V ψ_unary(xv;w) + ∑u,v∈E ψ_pair(xu,xv;w)
其中w={welev,wflow,winter}是一个非负权重向量，用于控制每个势项的相对影响，分别代表海拔（welev）、水流（wflow）和交叉口脆弱性（winter）。这些权重被视为未知数，并在贝叶斯框架内根据数据估计（第3.3节）。
单项势ψ_unary(xv;w)：该项根据单个网格单元（例如节点）v的地理空间、物理和拓扑属性为其状态分配一个成本。势函数被表述为相关特征的加权组合。对于道路洪水，关键属性包括：
- 地理空间属性：海拔是一个关键的地理空间属性，它线性影响网格单元v的能量。具体来说，较高的海拔与较低的PX概率相关联，即单元处于淹没状态的概率较低。这种关系通过单项势ψ_unary(xv)=1来捕获，其中elevv是单元v的海拔。特别是，势函数包含welev·xv·elevv项，其中welev>0是一个权重参数，用于量化洪水可能性对海拔的敏感性，elevv表示单元v的平均海拔。
- 拓扑属性：某些拓扑特征（如道路交叉口）可能由于排水设计或积水效应而更容易发生洪水[32]，[36]。为了捕捉这种脆弱性，每个网格单元v被赋予一个二进制指示器Iv∈{0,1}，如果单元包含交叉口，则Iv=1。单项势ψ_unary(xv)=1包含-winter·xv·Iv项，这降低了包含交叉口的单元的“淹没”状态的概率。这种表述将拓扑脆弱性嵌入到先验中，而不需要更高阶的交互作用（如显式的团结构），从而在保持物理可解释性的同时维持计算效率。
成对势ψ_pair(xu,xv;w)：该项根据两个相邻网格单元u和v的状态分配一个成本。这对于建模基于网络属性的上下文一致性和强制物理原理至关重要。对于洪水，这种势函数特别设计用于模拟水流，即水从高海拔流向低海拔。势函数强烈惩罚物理上不合理的情景。例如，如果高海拔单元u“淹没”而相邻的低海拔单元v“未淹没”，则会被分配一个高能量成本。这通过以下方式实现：
(5) ψ_pair(xu,xv;w) = wflow * max(0, elevu - elevv) if xu=1, xv=0; wflow * max(0, elevv - elevu) if xv=1, xu=0, 0 otherwise
这种表述编码了重力驱动流动的物理原理，防止了水文上不合理的预测。
3.3. 推断和参数估计
对于大型网络，由于状态空间的指数级大小，精确计算后验概率PX|Xobs是不可行的。因此，使用MCMC采样进行随机推断。Gibbs采样用于根据其邻居和当前参数值迭代更新每个未观测节点的状态。节点v?Vo的条件分布源自MRF的局部马尔可夫性质[13]：
(6) Pxv = 1|xNv,w = exp(-ψ_unary1;w) - ∑u∈Nv ψ_pair1,xu;w) + ∑x′v∈{0,1} exp(-ψ_unaryx′v;w) - ∑u∈Nv ψ_pairx′v,xu;w)
其中Nv表示节点v的邻居集。这种局部更新通过依次访问每个未观测节点并重新采样其状态来实现高效采样。
MCMC链以未观测节点的随机状态初始化，并运行足够多的迭代次数。初始燃烧期（例如，前1,000个样本）被丢弃，以允许链收敛到其稳态分布，该分布对应于目标后验（Gelman & Rubin, 1992）。后验边际概率从保留的样本中估计，代表每个节点在采样配置中处于淹没状态的经验频率：
(7) P^xv = 1|Xobs = 1/T * ∑t=1^T ixvt=1
其中xvt是第t个燃烧后样本中节点v的状态，T是收集的样本数量，I·是指示函数。
模型参数w被视为具有Gamma先验的随机变量，以确保正性：wi～Gamma(αi,βi) 对于i∈{elev,flow,inter}。参数更新在MCMC循环中使用Metropolis–Hastings步骤进行（Metropolis等人，1953；Hastings，1970）。对于从当前值w提出的更新w′，接受比为：
(8) A = min(1, PX|w′Pw′ / (qw|w′ * PX|w))
其中PX|w是在当前状态配置下的似然，Pw是先验，q·|·是对称的提议分布（例如，对数正态）。这种状态和参数的联合估计使得可以从稀疏数据中进行自适应学习，而无需单独的训练阶段。

4. 案例研究
为了演示和验证所提出的MRF方法论，将其应用于2017年8月哈维飓风期间休斯顿大都会区的公路洪水淹没评估。哈维飓风是一场灾难性的4级飓风，给休斯顿带来了破纪录的降雨，导致城市关键公路基础设施的大片区域被淹没[7]。由于洪水的严重性和高质量真实数据的可用性，这一事件是一个理想的测试平台。

4.1. 研究区域和数据
研究重点关注休斯顿大都会区的主要公路网络，特别是基于交通量的主要公路，包括IH-45、IH-10、IH-69、IH-610、SH-288、SH-225和US-290。包含公路网络的区域被划分为一个规则的空间网格，分辨率为纬度0.05度乘以经度0.05度，遵循Chen & Ji [7]的数据预处理方法，使用GIS软件（ArcGIS Pro 3.0）和“Create Fishnet”工具确保比较的一致性基础。如图2所示，网格单元作为MRF图中的节点。总共有133个节点。采用这种空间尺度是为了与Chen & Ji [7]中使用的离散化方法保持一致，便于与他们的空间自相关模型直接比较。这种分辨率能够捕捉适合区域紧急评估的功能性公路段作为离散单元，同时在稀疏数据条件下保持概率推断的计算可行性。基于网格的表示允许模型在空间覆盖范围和推断效率之间取得平衡，并且可以根据具体应用需求调整分辨率。

图2. 休斯顿公路网络的空间离散化，用于MRF建模。
为了实现方法论中描述的一般MRF框架，整合了以下数据集：
- 淹没观测：德克萨斯州交通部（TxDOT）提供的官方高水位事件报告作为道路洪水淹没状态的真实数据[7]。这些报告中的数据是对道路状况（可通行或不可通行）的二分分类，而不是连续变量（如洪水深度）。从这些报告中得出一组完整的验证洪水位置。在实验设计中，随机选择这些已知洪水位置的一个子集作为稀疏观测输入，指定为观测节点，而其余位置则保留用于模型验证。
- 地理空间数据：使用了USGS国家地图的数字高程模型（DEM）。通过聚合该单元内的DEM像素来计算每个网格单元的平均海拔。这些海拔信息既用于单项势（反映局部洪水易感性），也用于成对势（控制相邻单元之间的水流方向）。
- 拓扑数据：采用了之前工作中的道路网络拓扑数据[7]，以识别主要公路交叉口的位置。包含此类交叉口的网格单元被标记为二进制指示器Iv∈{0,1}，其中Iv=1表示单元包含交叉口。单项势ψ_unary(xv)=1包含-winter·xv·Iv项，这降低了包含交叉口的单元的“淹没”状态的概率。这种表述将拓扑脆弱性嵌入到先验中，而不需要更高阶的交互作用，从而在保持物理可解释性的同时维持计算效率。
4.2. 模型实现和实验设计
为了系统评估不同物理原理的贡献，我们构建了三个复杂度递增的MRF模型。这种渐进式方法允许清晰评估每个模型组件的附加值。
- 模型1：基于海拔的模型。这个基线模型仅包含基于海拔的单项势，并明确排除了任何成对势。能量函数旨在为较高海拔的公路段分配较低的洪水概率。该模型测试了仅使用每个段的地理空间属性的预测能力。
- 模型2：基于海拔和流的模型。该模型在模型1的基础上增加了编码水流的成对势。它惩罚了水必须在相邻段之间向上流动的配置。该模型评估了考虑局部海拔差异和连通性网络属性所带来的性能改进。
- 模型3：基于海拔、流和交叉口的模型。这个综合模型在模型2的基础上增加了第二个单项势，其中包含了交叉口特征。如果一个段包含交叉口，它会降低“淹没”状态的能量，反映了这种位置更脆弱的经验知识。该模型评估了整合特定启发式领域知识的好处。
4.3. 评估协议
为了评估在不同数据稀缺程度下的模型性能，我们设计了六个数据可用性级别的实验系列。观测节点的比例设置为网络中总节点的0%、20%、40%、60%和100%。选择这个全面的范围是为了评估模型在所有可能现实世界条件下的行为。0%情景评估了仅从模型编码的先验中得出的预测能力，模拟了没有初始现场报告的情况。从20%到80%的中间级别反映了观测数据稀少但逐渐增加的现实灾后情况，而100%情景则作为具有完整信息的验证基准。
使用准确性、精确度、召回率和F1分数来量化每个模型的性能。为了更严格地评估空间一致性，还计算了淹没类别的交并比（IoU），它衡量了预测区域和真实淹没区域之间的重叠。由于模型的主要输出是概率，而真实情况是二元的，因此使用0.5的阈值将概率预测转换为二进制分类以进行验证。这些指标是通过将模型对所有节点的预测与完整的真实数据集进行比较计算得出的。为了确保结果的稳健性，每个数据可用性水平都重复进行了五次评估，每次评估都会生成一个新的随机观测节点子集。报告的性能指标是这五次独立运行的平均值和标准差。

5. 结果
本节展示了三种提出的MRF模型的性能评估。首先，使用标准分类指标在不同的数据可用性水平下对模型进行了评估。然后，对预测误差进行了地理空间分析，以定性理解每个模型的行为以及引入不同先验的影响。

5.1. 参数估计和收敛性
MCMC采样的收敛性是通过Gelman–Rubin诊断统计量R^来评估的（Gelman & Rubin, 1992）。该统计量比较了多个独立链内的方差和链间的方差。R^值接近1.0表示链已经收敛到相同的稳态分布。在应用贝叶斯分析中，通常使用低于1.1的值作为可接受收敛的阈值（Brooks & Gelman, 1998）。
表1报告了三个模型参数的R^统计量：高程权重（welev）、水文流量权重（wflow）和交叉口脆弱性权重（winter）。在所有实验条件下，包括观测率从0%到100%的情况，所有参数的R^值都保持在1.1以下。winter显示出最高的变异性，在高稀疏条件下R^达到了1.091，这可能是由于交叉口位置的观测数据有限。尽管如此，所有值都满足标准的收敛标准。

表1. 所有实验条件下的Gelman–Rubin R^收敛统计量
参数 R^范围 平均值R^
welev 1.000 – 1.005 1.001
wflow 1.000 – 1.019 1.004
winter 1.003 – 1.091 1.025

虽然更广泛的参数调整或替代的先验规范可能会提高指标，但这些改进超出了本研究的范围，本研究更侧重于在数据稀缺情况下的稳健推断，而不是超参数优化。

5.2. 模型性能指标
为了将提出的方法与现有的地理空间方法进行比较，将提出的方法与Chen & Ji [7]的空间自相关模型和Li等人[23]的贝叶斯广义线性地质统计模型（BGLGM）进行了对比。为了比较，所有模型都使用了相同的高程数据作为共同输入特征。评估模型的预测性能结果是在五种不同随机观测选择的情况下平均得出的，如图3所示，阴影带表示平均值的一个标准差。

图3. 在不同数据可用性下，MRF模型与基准模型的性能比较。
所有指标都呈现出清晰且一致的趋势——随着观测数据的增加，模型性能得到提升。更重要的是，模型之间存在明显的性能层次。在大多数数据可用性情况下，模型2的性能优于模型1，而模型3的性能优于模型1和模型2。这证明了逐步向MRF框架中添加物理和拓扑先验的实质性好处。此外，与文献中这些现有方法的比较揭示了在数据稀缺条件下的提出框架的特定特性。如图3所示，模型3在F1分数和召回率方面表现出与文献方法的竞争力，尤其是在观测数据有限（< 40%）的情况下。虽然现有方法有效，但它们在这些特定指标上存在局限性：Chen & Ji [7]在某些情况下实现了相对较高的精度，表明其预测较为保守，而召回率相对较低，可能是由于其1D线性拓扑假设限制了洪水传播的推断；而Li等人[23]对稀疏观测的具体配置更为敏感。模型3的稳健性表明，在观测数据不足时，结合物理流量和拓扑先验可能有助于弥补信息缺口。

F1分数平衡了精度和召回率，最有效地突出了这种逐步改进。即使在观测数据为0%的情况下，预测完全依赖于先验，性能层次也已经确立。随着观测数据的增加，更复杂模型的优势变得越来越明显。例如，在8月27日仅有20%的数据被观测到时，模型3的F1分数（例如0.75）明显高于模型2（例如0.70）和模型1（例如0.68）。这种模式在各种数据可用性水平上都成立，模型3始终获得最高的F1分数，当观测到70%或更多数据时，F1分数通常达到或超过0.900。
值得注意的是，从模型2到模型3的最显著改进通常体现在召回率指标上。这表明包含交叉口特征在正确识别真实洪水位置方面特别有效，从而减少了假阴性的数量，这对于有效的灾害响应至关重要。总体而言，定量结果强烈支持这样一个假设：整合领域知识（如水文流量和交叉口脆弱性）显著增强了模型从稀疏数据中推断网络范围洪水状态的能力。这些结果强调了MRF框架在数据稀缺条件下的特别有效性，特别是在需要快速系统范围评估的灾难响应关键早期阶段。鉴于模型3在此展示的优越性能，后续的地理空间分析重点关注解释所提出框架的内部行为。

5.3. 预测误差的地理空间分析
为了研究先验对预测误差地理空间分布的影响，图4展示了一个具有40%数据可用性的代表性案例研究，日期为2017年8月28日。观测到的单元格用每个单元格内的一个点标记，包含交叉口的单元格用十字标记表示。单元格的真实洪水状态以及预测指标（即真正例（TP）、假正例（FP）和假负例（FN）通过不同的填充颜色表示。

图4. 2017年8月28日数据可用性为40%时三种MRF模型的预测误差地理空间分布。
仅依赖高程的模型1产生的预测在空间上是碎片化的。地图上观察到孤立的FP和FN。这种模式与较低的IoU值0.517相关，同时有18个FP和25个FN。低IoU值反映了模型1的散点预测与实际洪水区域的连续、区域一致形状之间的空间对齐不良。
在模型2中引入流量先验后，预测在空间上更加连贯。孤立错误的数量减少，预测的洪水区域与真实情况的整体形状更加一致。这种改进对应于IoU值的提高至0.575，FP和FN分别减少到16和21。然而，在一些交叉口区域仍然存在FN。
在进一步结合了交叉口先验的模型3中，与模型2相比，几个标记为交叉口的单元格中的FN数量减少。这一变化反映在FN进一步减少到12，FP略微减少到9，从而IoU值提高到0.747。IoU值的提高直接量化了预测洪水范围的增强空间一致性。
对模型改进的定量分析进一步阐明了交叉口特征背后的机制。虽然模型2纠正了模型1中的6个单元格（交叉口处有50%），但模型3特别纠正了16个额外的单元格，这些单元格都位于交叉口，恢复了模型2遗漏的12个交叉口假阴性，如图4所示。

6. 讨论
6.1. 风险等级评估和决策支持框架
我们的MRF模型生成的概率输出是一个关键优势，超越了简单的二元分类。传统模型通常为每个位置提供一个确定的“被淹没”或“未被淹没”的标签。相比之下，我们的方法提供了一个连续的概率值，使得风险评估更加细致和可操作。在资源分配必须仔细优先的复杂应急响应场景中，这种区别至关重要[3]、[5]、[15]、[38]。
这种基于风险的框架在图5中进行了说明，该图以8月27日的飓风Harvey事件为例，观测数据为60%。模型的原始输出是一个连续的洪水概率图，概率范围从0到1，颜色渐变从绿色（低概率）到红色（高概率），如图5a所示，提供了情况的详细视图。为了使这些信息更易于操作规划，这些概率也可以转换为直观的分层风险等级，具有特定的概率范围：例如，“非常低”（0–0.2）、“低”（0.2–0.4）、“中等”（0.4–0.6）、“高”（0.6–0.8）和“关键”（0.8–1.0），如图5b所示。这一步将详细的概率数据转换为决策者的清晰战略概览。

图5. 风险等级评估框架，显示了（a）连续的洪水概率图，（b）分层风险等级，（c）真实情况，（d）低阈值（τ = 0.3），（e）标准阈值（τ = 0.5），以及（f）高阈值（τ = 0.7）的决策方法。
这种概率框架的关键优势在于它可以通过战略性地调整决策阈值（τ）来指导不同的操作策略。例如，在灾难发生后，当时间和资源严重受限时，如果操作优先级是将稀缺资源（如救援队）首先分配给那些被高概率预测为被淹没且被认为对响应操作最关键的地点，可以采用高阈值（例如τ = 0.7）。这种方法仅识别出被淹没概率最高的地点，从而最大化每次部署的精度。它确保了稀缺资源（如救援队或应急车辆）首先被派往最严重和确定性的事件，这对于时间敏感的应急策略至关重要（图5f）。
相反，随着情况稳定，重点可能会转向全面的损害评估。为了确保没有潜在受影响的区域被遗漏在评估和规划之外，可以采用较低的阈值（例如τ = 0.3）。这种策略最大化了召回率，提供了广泛的概览，以指导系统的现场检查、计划修复和支持保险评估（图5d）。最后，使用标准阈值（τ = 0.5）的平衡方法可以作为一般情况意识的基线，提供了精度和召回率之间的权衡（图5e）。
因此，这种方法提供了一个适应性的决策支持框架，而不是一个僵化的预测工具。它使应急管理者能够根据不断变化的条件、资源可用性和灾难周期的不同阶段动态调整他们的标准。重要的是要注意，该框架提供了一个基于风险的评估组件，以指导决策，而不是作为一个规定具体行动的最终指令性计划。这些信息旨在为领域专家做出的复杂决策提供信息，他们考虑了交通流量和社会经济影响等额外因素，帮助确保有限的资源被定向到最需要的地方。

6.2. 顺序贝叶斯更新作为通往灾害响应数字孪生的途径
数字孪生（DTs）通过创建物理基础设施系统的动态虚拟表示，为灾害管理提供了一种变革性的方法（Cheng等人，2023；Korkmaz等人，2024；Lagap & Ghaffarian，2024）。然而，它们在灾后环境中的实施面临着严重的数据稀缺问题，其中观测数据稀少、不完整且分布不均（Lagap & Ghaffarian，2024）。出现了两个关键问题：无法从有限的观测数据生成可靠的全系统状态估计，以及在新的信息到达时难以在可操作的时间尺度上更新这些估计。
国家科学院关于数字孪生的报告强调，在这种数据匮乏的背景下，以模型为中心的范式是合适的，其中数学模型作为核心，并通过结构化的视角吸收数据（Willcox等人，2023）。我们的贝叶斯MRF框架直接体现了这种以模型为中心的愿景。它将地理空间、物理和拓扑知识作为正式的先验整合起来，在观测数据有限时建立了一个稳健的初始状态估计。至关重要的是，该框架支持参数和状态估计的顺序贝叶斯更新，允许连续吸收新数据（如现场报告或传感器读数），以细化后验洪水概率，而无需完全重新训练模型（Li & Ji，2023）。这种顺序更新系统状态估计的能力解决了操作DTs所面临的一个基础挑战（Willcox等人，2023）。它确保了模型对证据的理解以一种原则性的方式不断发展，减轻了在稀疏数据环境中纯数据驱动方法常见的不稳定性（Kurz等人，2022年）。因此，这种MRF框架为状态估计和数据融合提供了一种推理方法，为灾难响应中的自适应数字孪生建立了方法论基础。此外，还展示了计算时间的线性可扩展性，对于一个10,000个节点的网络（5,000次迭代）的推理大约在2分钟内完成。这种速度确保了数字孪生的操作可行性，允许快速的数据同化和风险更新，绕过了传统模拟的延迟。

6.3. 框架对其他基础设施系统的通用性
所提出的MRF框架的通用性源于其核心的三部分结构，该结构为数据稀缺情况下的空间推理提供了一种系统化的方法。这个结构由三个基本建模元素组成：（1）由图结构定义的空间相关性，（2）通过一元势能捕捉的内在系统物理属性，以及（3）通过成对势能编码的传播机制。需要注意的是，该框架的适用性对于那些表现出强烈空间依赖性、传播机制和资产特定脆弱性的灾害最为直接，例如洪水、级联电力故障或水网络中的污染物扩散。对于具有不同特征的其他灾害类型，可能需要重新定义模型元素，尽管将先验知识与稀疏数据结合的核心贝叶斯哲学仍然具有价值。这种结构不仅适用于道路洪水评估，也适用于其他关键基础设施网络。

当考虑将其应用于其他关键基础设施网络时，该框架的多功能性变得显而易见。在电力系统和水分配网络等不同领域中，这三个元素可以根据领域专家的建议和数据可用性进行具体化。表2展示了这些MRF组件如何在不同关键基础设施领域中得到应用。

表2. 不同基础设施领域中的MRF组件实例化。
- **MRF组件** | **应用领域**
| -------------- | ------------------ |
| 路道洪水（案例研究） | 电力系统 |
| 水分配网络 | |
| 空间相关性 | |
| 相邻道路单元网格 | |
| 传输线和变电站网络 | |
| 连接管道和接头网络 | |

- **一元势能** | 海拔、交叉口存在 | 变电站负载、设备年龄 |
| 管道材料、管道年龄、维护历史 | |
- **成对势能** | 重力驱动的水流 | 沿着传输线的级联故障 |
| 通过连接管道的压力降传播 | |

将框架适应新领域需要考虑三个关键因素。首先，图构建应反映系统的物理或功能拓扑结构，将节点定义为单独的资产、服务区域或空间单元，将边定义为物理连接、影响路径或邻近关系。其次，能量函数应将领域知识转化为势能，以编码领域一致的约束和合理的依赖关系。例如，一元势能应包含位置特定的脆弱性（如资产重要性、年龄），而成对势能应编码连接资产之间的物理或逻辑依赖性。例如，在电力系统应用中，成对势能可以设计为惩罚上游变电站运行而其直接连接的下游变电站发生故障的配置，因为这违反了电力的逻辑流动。第三，先验信息整合应利用系统特定的数据，如资产年龄、维护历史或历史故障模式来指导一元势能，从而将机构知识嵌入概率框架中。

最后，框架的通用性还扩展到状态空间本身的定义。虽然本研究采用了二进制状态表述（淹没/未淹没），以符合快速应急响应中优先考虑的“可通行/不可通行”决策边界以及典型初步报告的定性特征，但潜在的概率结构并不限于二进制假设。当前的二进制表述对应于一种Ising类模型[43]，这是一种针对二进制变量的特定类型的MRF。数学上，该模型可以自然扩展到多状态Potts模型或连续高斯马尔可夫随机场，以推断洪水严重程度[21]，前提是有更高分辨率的观测数据来支持参数估计。

6.4. 从状态估计中为运营恢复调度提供信息
MRF框架生成的概率洪水淹没图为灾后基础设施恢复的运营决策提供了关键输入。这种方法的一个关键优势是在灾害初期阶段，当只有稀疏的观测数据可用时，能够快速生成系统范围的状态估计。这种早期的情况意识是灾害响应流程中的基础元素，弥合了初步影响评估和运营行动之间的差距。

空间连续的概率输出在早期应急管理中支持多种实际应用。首先，它们通过结合洪水可能性和网络关键性指标（如交通流量或连通性重要性）来动态优先排序修复任务。其次，对于初始响应来说，这些估计指导了检查团队的战略调度。通过识别洪水概率高的道路段，模型有助于将有限的现场评估资源导向受损最可能的区域，加速关键条件的验证，并使修复团队的部署更加明智。

随着响应的进展，框架的贝叶斯更新机制允许它不断整合新的现场观测和传感器读数。这种能力支持无需完全重新训练模型的自适应运营规划。例如，当检查报告确认或修改特定区域的洪水状态时，模型会细化整个网络中的淹没概率。然后可以使用这种更新的评估来重新优先排序修复活动，调整资源分配，并优化检查员和恢复团队的路线，确保运营计划与不断变化的现场情况保持一致。

6.5. 局限性和未来方向
虽然本研究建立了一个在数据稀缺情况下进行推理的强大概率框架，但认识到其当前的局限性为未来的研究提供了宝贵的见解。首先，该框架采用了0.05° × 0.05°的固定网格分辨率，这适用于高速公路规模的评估。分辨率的选择可能因应用需求而异；例如，较粗的分辨率可能足以指导检查资源分配，而更细的分辨率可以支持详细的基础设施监控。虽然这种均匀网格便于模型构建和与基线的比较，但它可能无法最佳地捕捉空间异质性。未来的工作可以探索自适应离散化策略，例如在地形复杂的区域使用更细的网格，而在其他地方保持较粗的网格。这样的自适应方法可以在最需要的地方提高局部精度，同时保持计算效率。系统的分辨率敏感性分析虽然有助于理解这些权衡，但超出了本文的主要范围，本文的重点是展示该框架在数据稀缺情况下的以检查为导向的推理能力。

其次，尽管当前模型支持使用新观测数据进行顺序贝叶斯更新，但它提供了给定时间点的“静态快照”灾害评估，并没有明确模拟其时间演变。这对于需要预测洪水传播的应用来说是一个限制，而不是当前状态评估。

未来的研究可以在几个有意义的方向上扩展当前框架。一个有前景的方向是开发动态时空公式，明确模拟随时间变化的洪水传播和退缩，从快照评估转向预测能力。这样的时间扩展将使框架不仅能够支持损害评估，还能支持早期预警和疏散规划。此外，将基于物理的模拟与概率更新机制相结合是另一个有价值的方向。来自高保真水动力模型的详细模拟结果可以为MRF框架提供有信息量的先验，而基于观测的MRF输出也可以用来细化水动力模拟场景。

7. 结论
本研究开发并验证了一个贝叶斯马尔可夫随机场框架，用于从稀疏的灾后观测数据中推断道路淹没概率。通过将地理空间、物理和拓扑先验整合到一个结构化的概率模型中，该方法解决了基础设施损害评估中数据稀缺的挑战。逐步纳入水文流动和基于交叉口的脆弱性显示了预测准确性、召回率和空间一致性的提高，这一点通过定量指标和地理空间误差分析得到了证实。

这项工作的一个显著特点是它产生了概率输出而不是二进制输出，可能支持灾难响应操作中的下游决策支持应用。应急管理者可以调整概率阈值，以强调初始响应的召回率或针对资源部署的精确度，从而在动态灾害场景中提高运营适应性。此外，模型的贝叶斯更新能力使其能够整合新数据，随着额外信息的出现，可以潜在地细化恢复优先级，并为灾难管理中的自适应数字孪生应用奠定方法论基础。

虽然该框架在这里应用于洪水淹没，但其模块化结构显示出对其他灾害和基础设施类型的通用潜力。通过提供考虑不确定性的状态估计，这项研究为从情况意识到运营行动的全面灾害响应流程贡献了一个组成部分。

**cRediT作者贡献声明**
- **曹思涵**：写作 - 审稿与编辑、撰写原始草稿、可视化、方法论、调查、数据管理、概念化。
- **季文英**：写作 - 审稿与编辑、监督、项目管理、调查、概念化。
- **李在尚**：写作 - 审稿与编辑、监督、项目管理、资金获取、概念化。
- **方东平**：写作 - 审稿与编辑、监督、项目管理。