用于界面问题的捕获不连续性的随机特征方法

《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：Discontinuity-capturing random feature method for interface problems

提出基于随机特征方法（DC-RFM）的界面问题解决方案，通过增强变量区分子域并捕捉不连续性，结合最小二乘损失函数实现PDE残差和边界条件的统一优化，显著减少自由度并支持多界面问题高效计算。实验验证其在椭圆问题、Stokes流、弹性界面等复杂场景中的优越性。

　　

宋文天|池旭荣|杨周旺|程万|陈静润

中国科学技术大学人工智能与数据科学学院，安徽合肥

摘要

计算科学中的界面问题对传统数值方法提出了重大挑战，尤其是在处理复杂几何形状和界面条件时。虽然神经网络提供了一种无网格的替代方案，但它们存在优化成本高和容易陷入局部最优解的缺点。为了解决这些限制，我们提出了基于随机特征的不连续性捕捉方法（DC-RFM），这是一种用于界面问题的新框架。DC-RFM使用增强变量来区分由预设界面分隔的子域，并明确捕捉不连续性。控制方程在配置点上进行离散化，形成一个线性系统，其中最小二乘损失函数用于强制满足偏微分方程残差、初始/边界条件和界面跳跃条件。这种方法将几何复杂性简化为点采样，同时保持了无网格方法的鲁棒性。数值实验涵盖了椭圆问题、斯托克斯流动、弹性问题、演变界面问题以及各向异性问题，证明了DC-RFM的有效性和鲁棒性。值得注意的是，与传统方法相比，DC-RFM在自由度上减少了一个数量级，并且将子域数量与计算成本解耦，从而能够高效解决多界面问题。

引言

界面问题出现在许多科学和工程应用中，包括多相流在多孔介质中的流动、血液通过动脉的流动、高层建筑的风响应以及成纤维细胞形状和位置的变化等。这些问题涉及的界面将计算域划分为多个子域，这些子域可能具有复杂的几何形状和不同的物理性质[1]、[2]、[3]、[4]、[5]。因此，解决方案可能会出现不光滑甚至不连续的情况，使得标准的偏微分方程（PDE）数值方法失效。

已经开发了多种传统的数值方法来成功解决界面问题。其中较为著名的方法包括多尺度有限元方法（FEM）[6]、扩展FEM（NIPFEM）[8]、高阶界面惩罚FEM（NIPFEM）[9]、多尺度有限体积方法[9]、浸没边界方法[10]、[11]、浸没界面方法[12]、[13]、[14]、幽灵流体方法[15]、[16]以及无核边界积分（KFBI）方法[17]、[18]。尽管这些方法在处理界面耦合条件方面取得了进展，但在复杂或动态几何形状的网格构建方面仍存在挑战。主要出现了两种策略：体适应网格和非适应网格。体适应网格能够精确贴合几何形状，但会避免界面交叉，这使得复杂域的网格生成变得非常具有挑战性和耗时；而非适应网格则通过允许界面交叉大大降低了网格生成的开销，但需要针对具体问题进行设计以解决交叉元素间的界面物理问题。

基于神经网络的方法由于具有通用逼近能力[19]、[20]，最近在解决PDE方面受到了广泛关注。代表性的方法包括深度Ritz方法[21]、深度Galerkin方法[22]以及物理信息神经网络（PINNs）[23]等[24]、[25]、[26]、[27]、[28]。这些方法也被成功应用于界面问题，提供了无网格且灵活的计算框架。例如，深度Ritz方法[29]已被用于解决变分界面问题。界面神经网络[30]根据界面将计算域分解，并使用多个网络来表示每个子域内的基函数。还有一些研究提出了针对不同子域的多种神经网络结构以解决界面问题[31]、[32]、[33]。此外，不连续性捕捉浅层神经网络（DCSNN）[34]、[35]（类似于尖点捕捉PINN[36]）能够将分段连续解扩展到高维空间中的连续表示。这些方法在处理具有复杂几何形状的界面问题时表现出显著的效果。然而，它们的训练过程通常效率低下或精度有限，主要是因为非线性和非凸优化过程耗时且容易陷入局部最小值，因此它们的收敛性和收敛速率通常不够理想。

随机特征方法（RFM）[37]通过将优化过程简化为最小二乘问题，为上述挑战提供了一种有效的解决方案。Chi等人[38]提出了一种策略，在界面的两侧使用两组随机特征函数，从而能够准确捕捉低规则性解的行为。作为一种无网格方法，该方法在解决多个复杂单界面问题时展示了光谱级精度。在类似的框架下，局部随机神经网络（LRaNN-FDM）[39]使用有限差分方法来近似导数，而多可转移神经网络（Multi-TransNet）[40]引入了可优化的形状参数来处理界面问题。这些方法可以实现高精度，但一个共同的局限性是计算成本大致与子域数量成正比，这对于多界面问题来说是一个关键挑战。

在这项研究中，我们提出了一种在RFM框架内捕获不连续性的新方法。该方法利用单个网络通过增强变量来表示分段连续函数，称为不连续性捕捉随机特征方法（DC-RFM）。该框架包括三个核心组成部分：（1）构建并使用不连续性捕捉随机特征函数与单位分割相结合，形成近似空间；（2）在配置点评估PDE以及初始/边界和界面条件；（3）求解线性最小二乘系统以获得近似解。与现有方法相比，DC-RFM在自由度（DoF）更少的情况下实现了更高的精度，通过时空方法有效处理时变问题，并且还可以解决各向异性多界面问题。此外，我们还研究了各种增强变量对数值实验的影响。值得注意的是，当前方法需要一个预设的界面，但我们的框架可以通过与Cahn-Hilliard方程等模型结合，扩展到自由边界问题，从而隐式解决演变界面问题，而基于神经网络的方法[41]已经证明了这种混合策略的可行性，为未来的研究提供了有希望的方向。

本文的结构如下。第2节阐述了界面问题并详细介绍了DC-RFM框架，包括连续扩展、近似解的构建、损失函数、优化以及选择增强变量的策略。第3节展示了针对一维测试示例、静态问题和高度非平凡问题的数值结果，并与现有方法进行了比较分析。第一组示例旨在将所提出的方法与传统的基函数构建方法（特别是B样条和傅里叶基）进行基准测试。第二组示例系统地增强了界面跳跃条件的不均匀性，以评估鲁棒性，包括二维椭圆问题、二维斯托克斯流动和三维弹性界面问题。后续示例展示了在两个空间维度中处理具有挑战性场景的能力，包括演变界面问题和各向异性多界面问题。第4节得出了结论。

节选

用于界面问题的不连续性捕捉随机特征方法

在本节中，我们首先阐述了所考虑的界面问题。接下来，我们介绍了基本RFM的扩展版本，即DC-RFM。在这个框架内，我们开发了两类增强函数，系统地概括并增强了处理界面问题的能力。最后，我们分析了各种不连续性捕捉编码策略的属性和比较性能。

数值结果

在本节中，我们首先对两个一维界面问题进行了数值测试，并将结果与使用B样条和傅里叶基得到的结果进行了比较。然后，我们展示了两类界面问题的数值结果。我们首先使用具有逐渐不均匀界面条件的静态界面问题系统地验证了DC-RFM的收敛性质。随后，通过进一步的研究证明了DC-RFM的实际有效性

结论

总之，我们开发了具有多种增强变量的DC-RFM来解决界面问题。由于界面问题中分段连续解的普遍性，这种无网格框架消除了传统方法中固有的网格生成难题，同时保持了对于低规则性或不连续解的高保真近似。重要的是，DC-RFM的稳定自由度（DoF）与子域数量的增加无关。数值

CRediT作者贡献声明

宋文天：撰写——原始草稿、可视化、验证、方法论、研究、形式分析、数据整理、概念化。池旭荣：撰写——原始草稿、可视化、验证、方法论、研究、形式分析、概念化。杨周旺：撰写——审稿与编辑、监督、项目管理、资金获取。程万：撰写——审稿与编辑、监督、项目管理、资金获取。陈静润：撰写——

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。