论文标题翻译 具有GLM清理的连续介质力学任意拉格朗日-欧拉半隐式混合方法

《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：An arbitrary Lagrangian-Eulerian semi-implicit hybrid method for continuum mechanics with GLM cleaning

　　

摘要翻译
本文提出了一种新颖的半隐式任意拉格朗日-欧拉(ALE)方法，用于求解统一的Godunov-Peshkov-Romenski(GPR)连续介质力学模型。为了处理模型固体极限中出现的无旋型约束，研究人员通过采用热力学兼容的广义拉格朗日乘子(GLM)方法对原始系统进行增广。随后，算子分裂策略将快速压力波的计算与介质的体速度解耦，产生包含对流项和非守恒乘积的输运子系统，以及用于压力的泊松型子系统。第二次分裂产生一个仅包含潜在刚性源项的常微分方程(ODE)子系统，该子系统负责模型在其流体极限和固体极限之间的松弛。网格运动可由两个来源驱动：局部流体速度和规定的边界位移。在空间离散方面，研究人员采用非结构化交错网格，压力定义在原始网格上，所有其余变量定义在对偶网格上。输运子系统通过显式有限体积法推进，其中对闭合时空控制体的积分确保几何守恒定律(GCL)的验证。另一方面，隐式连续有限元用于压力子系统的离散化，隐式DIRK格式用于求解ODE子系统。因此，所提出的方法非常适合处理所有马赫数流动。研究人员采用一套全面的基准测试来评估所提方法在处理流体和固体力学问题时的准确性和鲁棒性。

论文解读
## 研究背景与动机

连续介质力学统一模型的发展可追溯至六十余年前，S. Godunov和E. Romenski在双曲型固体力学模型方面的开创性工作。与经典的拉格朗日描述不同，该模型在欧拉参考系中推导，这一选择为后续扩展到热传导和流体动力学提供了便利。经过多年发展，形成的Godunov-Peshkov-Romenski(GPR)连续介质力学模型通过松弛参数能够适应从弹塑性到可压缩流体及多孔介质等多种介质，且满足热力学定律，属于热力学兼容模型。尽管GPR模型已被证明在许多领域具有广泛适用性，但在数值求解方面仍面临显著挑战。现有方法大多采用全显式离散，导致声速出现在系统特征值中，即使对于缓慢的体速度现象也会产生严格的时间步长限制。此外，将GPR模型扩展到任意拉格朗日-欧拉(ALE)框架的工作仍然十分有限，而已有的拉格朗日格式在固体力学中虽为标准方法，但网格畸变问题限制了其应用。因此，开发一种既能克服时间步长限制、又能适应运动网格的GPR模型数值方法，对于其在流固耦合等实际应用中的推广具有重要意义。同时，GPR模型在固体极限中产生的无旋型约束以及源项的刚性也构成了数值方法设计的核心难点。

## 研究方法

研究人员提出了一种新颖的半隐式任意拉格朗日-欧拉数值方法，用于求解压缩GPR模型。在时间离散方面，采用两级算子分裂策略：第一级将系统分裂为包含对流项和非守恒乘积的输运子系统以及用于压力的泊松型子系统；第二级将仅包含刚性源项的子系统分裂为常微分方程(ODE)形式。在空间离散方面，采用非结构化交错网格（也称为菱形网格），其中压力定义在原始网格上，其余变量定义在对偶网格上。输运子系统采用显式有限体积法，在时空控制体上积分，确保几何守恒定律(GCL)的验证；压力子系统采用隐式连续有限元方法，并使用Picard迭代处理非线性；源项子系统采用隐式DIRK格式局部求解。此外，研究人员引入了热力学兼容的广义拉格朗日乘子(GLM)增广GPR模型，通过添加清理变量来处理畸变场和热脉冲场在固体极限中的无旋型约束。网格运动可由局部流体速度或规定的边界位移驱动，其中网格速度通过求解拉普拉斯方程或带有平滑参数的椭圆方程计算。

## 研究结果

### 收敛性测试、低马赫数渐近行为与伽利略不变性
通过二维泰勒-格林涡收敛测试，研究人员验证了所提出的混合方法在密度、动量、总能量和压力等变量上均达到预期二阶精度。在低马赫数渐近行为方面，对于M∈{10?2,10?3,10??,10??}的一系列递减马赫数，收敛阶保持稳定。对于等熵涡测试，采用ALE方法的网格自由运动模拟同样获得二阶收敛，且叠加均匀对流后（即测试伽利略不变性），误差与未对流情形同阶，验证了方法的伽利略不变性。

### 黎曼问题
在流体极限方面，研究人员求解了包含Sod激波管问题、双稀疏波、双激波、Lax基准、组合波以及严重左爆问题等一系列经典黎曼问题，数值解与精确解或参考解吻合良好。在固体极限方面，RP8和RP9测试分别对应理想弹性固体（无热传导）和带热传导的固体，离散解与热力学兼容(FV)方案得到的参考解一致，能够捕捉声波、剪切波和热声波等特征波结构。

### 流体和固体圆形爆炸
对于流体圆形爆炸测试，所提方法捕捉到径向Sod问题的密度、速度和压力分布，与参考解一致。对于固体圆形爆炸测试，研究人员重点分析了GLM清理策略的效果，结果表明随着清理速度c_A和c_J的增大，?×A和?×J的误差显著衰减，验证了GLM方法的有效性。同时对比了纯欧拉格式和ALE格式下的结果，两者均与参考解吻合。

### 三维爆炸
将Sod问题扩展到三维球对称情形，在包含约808万个四面体单元的计算域上运行，沿着径向的密度、速度和压力分布与参考解一致，验证了方法在三维复杂网格上的有效性。

### 剪切运动
研究人员分别测试了固体剪切测试和流体剪切测试（第一Stokes问题）。对于固体情形，结果与在一维细网格上使用TVD-FV格式计算的参考解一致；对于流体情形，对于粘度μ∈{10??,10?3,10?2}，数值解与解析解吻合良好。

### 双剪切层
该测试用于验证方法在捕捉薄尖锐流动结构方面的能力。在包含524288个三角形单元的计算域上运行至t=1.8，畸变场分量A12的轮廓图与已有文献中不可压缩GPR模型和弱可压缩方法的结果吻合。

### 平滑声波
在声波主导的流动中，所提出的方法能够锐利地捕捉声波波前。在无限制器运行下，马赫数、A11和A12的轮廓图以及沿x轴的密度、速度和压力分布与参考解一致，同时验证了ALE方法在网格运动情形下同样精确。

### 顶盖驱动腔流
作为粘性不可压缩流动的经典基准测试，在顶盖以单位速度滑动的方形腔中，采用渐近保持方法并设置ENO限制器，速度场的1D剖面与文献参考数据吻合良好。

### 固体转子
该测试进一步验证了方法在固体极限的鲁棒性。在约300万个三角形单元的非结构化网格上运行至t=0.3，密度、速度、畸变场、热脉冲和压力等变量的1D剖面与参考方法（如混合方法、热力学兼容FV和DG格式、渐近保持FV-MUSCL方法）的结果一致。

### 晃荡
最后测试了移动容器中无粘流体的晃荡现象。在水平正弦运动下，自由表面的波高时间序列与实验数据以及不可压缩NS解、不可压缩GPR解吻合良好，压力轮廓图和网格变形展示了方法的有效性和实用性。

## 讨论与结论

### 讨论
在讨论部分，研究人员强调了GLM清理方法在降低curl误差方面的显著效果，并指出对于固体极限中的高要求模拟，精确的无旋格式可能成为必要。同时，研究人员特别指出，求解GPR模型的ALE或拉格朗日数值方法的伽利略不变性不仅取决于控制方程的守恒结构，还取决于畸变场和热脉冲场的几何兼容性。数值上违反无旋约束可能引入虚假的框架依赖贡献，导致伽利略不变性的损失，尽管在实际应用中当前实现展示了跨标准测试案例的鲁棒性。未来的研究方向包括开发利用交错网格结构的精确无旋保持离散化，以完全强制执行无旋约束，同时保持伽利略不变性；以及与热力学兼容性相关的结构性质的保持也将被考虑。

### 结论
本文提出了一种新颖的半隐式直接任意拉格朗日-欧拉方法，用于数值求解连续介质力学中的GPR模型。受全马赫数方法和隐式-显式技术的启发，研究人员引入两级算子分裂，将输运、压力和潜在刚性松弛源项的计算解耦。所得子系统通过混合方法离散，结合用于输运子系统的显式有限体积法和用于与压力场相关的泊松型问题以及可能控制网格运动的拉普拉斯方程的连续有限元方法。与源项相关的ODE子系统采用Runge-Kutta格式局部求解。该方法产生独立于压力波的时间步长限制，允许对潜在物理过程进行稳健且计算高效的处理，能够应对所有马赫数介质。此外，研究人员引入了热力学兼容的增广GLM GPR模型，显著减少了与curl型约束相关的误差。数值结果表明，所提出的方法能够以全马赫数精确处理固体和流体。未来的工作将集中于纳入高阶格式、采用替代状态方程以处理中到大的变形，以及将方法扩展到流固耦合问题。