一种用于壳结构热力学屈曲优化耦合问题的新型稳定性保持载荷调节方法

《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：A novel stability-preserving load regulation for coupled thermomechanical buckling optimization of shell structures

　　Thanh T. Banh|Minh-Chien Trinh|Hyungmin Jun韩国全罗北道全州市德津区百济大路567号全北国立大学机械系统工程系，邮编54896

摘要
在真实的运行环境中，热场与力学场以极为复杂的方式相互作用，产生耦合响应，从而对结构稳定性产生深远影响。尽管这一现象具有实际重要性，但现有大多数针对稳定性的拓扑优化研究都将热效应视为均匀或独立的，从而忽视了温度变化与机械变形之间的内在耦合关系。此外，在处理解耦屈曲问题时，先前的研究未能充分重视一个关键问题：由于谱一致性丧失而产生的复数特征值。为解决这些问题，本研究提出了一种全面的多材料拓扑优化框架，该框架将耦合的热力学行为直接纳入屈曲设计中，将温度场视为随设计变化的载荷，以此充分体现其与不断变化的结构布局之间的相互作用。同时，为了解决传统热力学屈曲公式中长期存在的数值不稳定问题，本研究还提出了一种新的保持稳定性的载荷调节方案。该方案能够保持基准刚度矩阵的正定性，抑制复数特征模式的出现，从而确保在整个优化过程中获得可靠且具有物理意义的屈曲评估结果。此外，本研究还将改进后的自适应延续方法扩展到耦合热力学与多材料场景中，以提高收敛速度和数值稳定性。随后，该框架被应用于曲面壳结构，采用了张量分量混合插值元素，有效消除了剪切锁定效应；同时，还引入了改进的稳定策略，以抑制在耦合稳定性分析中常见的虚假屈曲模式。通过利用辅助向量的伴随方程推导出分析灵敏度，并采用移动渐近线法求解优化问题。数值研究表明，所提出的方法在各种复杂的耦合热力学载荷作用下均具备较高的准确性、稳定性以及广泛的适用性。

引言
结构工程长期以来一直面临着诸多挑战，需要在创造性直觉与严谨的数学建模之间找到恰当平衡。随着计算技术的快速发展，设计过程逐渐通过优化算法实现自动化。在这一背景下，结构拓扑优化发展成为一个系统而强大的工具，可用于确定满足特定性能目标与设计约束的最优材料布局。自Bends?e和Kikuchi[1]开展开创性工作以来，拓扑优化在理论及应用层面都取得了显著进展[2]–[5]，其基础与实现方法的相关综述也可在文献[6]–[8]中找到。从性能角度而言，由多种材料构成的轻质高效结构在工程应用中被广泛采用。制造技术的持续进步使得多材料拓扑优化的重要性日益凸显，它是一种有效的手段，能够帮助实现更优的设计效率、降低生产成本，并提升整体结构性能，尤其是在减轻重量方面。增材制造技术的发展进一步实现了优化后多材料结构的精确制造，弥合了数值优化与实际加工之间的差距。近年来，为应对多材料系统的复杂性，人们提出了多种计算策略，如基于密度的方法[9]–[13]、水平集方法[14]–[15]、有序SIMP方法[16]以及等几何分析方法[17]。这些进展共同使得拓扑优化成为提升各类工程结构刚度、强度与稳定性的不可或缺的工具。

结构优化在板件和壳体等表面结构中的应用也日益受到关注，不过相比二维和三维连续体结构，相关研究数量仍然相对较少。早期的研究包括Belblidia等人[18]采用尺寸调整法对Reissner-Mindlin板进行优化，以及El-Sabbagh等人[19]致力于最大化周期性约束板的基频。Boroomand和Barekatein[20]研究了在线性与非线性变形条件下的Kirchhoff与Reissner-Mindlin模型，而Long等人[21]则对比分析了四种节点板元素，包括离散Kirchhoff模型、带选择性简化积分的Reissner-Mindlin模型以及张量分量混合插值（MITC4）模型[22]。Townsend和Kim[23]后来提出了基于水平集的屈曲分析拓扑优化方法，Pham和Pham[24]则开发了适用于Reissner-Mindlin板的多边形框架。近期，拓扑优化进一步扩展到了多材料与梯度结构领域。Wu等人[25]提出了基于RAMP方法的热力学屈曲优化框架，采用了广义热应力系数；Nguyen和Bui[26]开发了无梯度模型用于处理变厚度板问题；而Banh等人[27]则提出了一种统一的多功能梯度结构动态多材料框架。

尽管上述进展极大推动了轻质高效多材料结构的设计，但大多数研究仍主要聚焦于刚度或柔度最小化问题。然而，结构稳定性问题，尤其是与屈曲相关的问题，会带来额外的复杂性，依然是拓扑优化面临的主要挑战。受屈曲约束的结构对特征值扰动以及由于几何刚度矩阵与结构响应之间的非线性依赖而产生的数值不稳定性极为敏感。这些因素往往会导致系统矩阵条件不良或不定，进而产生虚假或中间屈曲模式，影响临界载荷因子及其灵敏度的准确性。

对于连续体结构，Neves等人[28]首次尝试利用基于均质化的拓扑优化框架来最大化线性化屈曲载荷，但该方法忽略了低密度区域中元素的几何刚度。不过，这种截断策略可能会引发振荡行为与收敛问题。Bends?e和Sigmund[9]随后提出了针对弹性刚度矩阵与几何刚度矩阵的差异化惩罚机制，这一思路此后被广泛采用并进一步发展[29]–[31]。Gao和Ma[32]重新审视了基于屈曲的拓扑优化方法，旨在缓解刚度与稳定性之间的冲突并抑制虚假屈曲模式，而Lindgaard和Dahl[33]则将几何非线性纳入分析之中。此后，Dunning等人[34]以及Bian和Feng[35]又开发出了用于大规模特征值问题的高效迭代算法。Ferrari和Sigmund[36]对基于屈曲约束的拓扑优化中的关键问题进行了全面总结，包括刚度与稳定性之间的竞争、多重屈曲模式的激活、不一致灵敏度的处理以及非协调有限元的使用等。为进一步稳定优化过程，Gao和Li[37]提出了一种自动惩罚延续策略，可动态调节惩罚参数，从而实现有效且稳定的屈曲约束。Banh等人[12]后来通过改进后的加性连续体方法对该策略进行了扩展，将其应用于基于广义SIMP形式的纯机械载荷作用下的多材料系统。

从多物理场视角来看，由于热场与力学场本质上是相互耦合的，温度变化会显著影响结构稳定性。温度上升可能引发压缩应力，从而导致热屈曲或耦合热力学屈曲，尤其是在弹性模量与热膨胀系数存在差异的多材料系统中，这种效应会进一步加剧结构的不稳定性。Rodrigues和Fernandes[38]的开创性工作为通过均质化方法对受热载荷作用的结构进行拓扑优化奠定了基础，他们发现温度变化会大幅改变最优结构拓扑。此后，针对热力学问题与热力学-力学耦合问题的优化研究日益增多，许多研究致力于在复杂热环境条件下提升结构的刚度、强度与可靠性[39]–[44]。早期的研究大多针对层状复合材料，利用遗传算法优化铺层顺序，并尽可能提高热诱导屈曲载荷[45]–[47]。后续研究则将这类方法扩展到受热力学-力学耦合载荷作用的连续体模型。例如，Deng和Suresh[48]采用了水平集方法处理单材料系统，而Stanford和Beran[49]则开发了基于SIMP方法的金属面板优化框架，用于分析同时承受热载荷与机械载荷的情况。近期的研究成果还包括Wu等人[25]提出的基于RAMP方法的模型，以及Gan和Wang[50]、Gan[51]开发的基于SIMP方法的模型，这些方法用于研究多材料设计中的热-固耦合效应。Lee等人[52]进一步探索了基于地形特征与多尺寸控制的策略，用以调控复合板中的屈曲温度与模式形态。

尽管取得了这些进展，大多数研究仍局限于耦合模型，即热载荷与机械载荷通过单一屈曲载荷因子同时进行缩放。虽然这种比例假设简化了实现过程，但它过度简化了实际物理情况，因为热效应与机械效应通常是独立的，可以分别引发屈曲现象。为克服这一限制，近年来的研究开始转向解耦模型，以便独立分析由热效应与机械效应分别引发的屈曲现象。Wang和Sigmund[53]提出了一种广义解耦框架，能够区分机械场与均匀热场各自的效应，从而更真实地描述多物理场下的屈曲现象。不过，这种模型仍存在一个关键缺陷：在优化过程中，特征值问题det(A+λB)=0中的基准刚度矩阵A必须始终保持正定性，才能保证存在实数的临界屈曲因子。而在热力学-力学问题中，这一条件往往无法满足，从而导致出现复数特征值、数值不稳定以及非物理性的优化结果，尤其是在温度场不均匀的情况下。

为填补这一空白，本研究提出了一种全面的框架，用于精确评估与优化耦合热力学系统中的解耦屈曲问题。其核心是所提出的保持稳定性的载荷调节方案，该方案能够确保优化过程中的基准刚度项始终保持严格正定性，从而维持结构稳定性，避免在整个分析过程中出现谱失真现象。无论温度场是均匀的还是空间变化的，该方案都会严格保障基准刚度矩阵的预屈曲阈值条件，从而为复杂的热弹性系统提供稳健且符合物理规律的设计策略。此外，RACM框架也被重新设计，以适应耦合热力学问题，提升了多物理场相互作用下的数值一致性与收敛稳定性。所提出的方法还被应用于基于广义SIMP的多材料场景中，增强了设计的灵活性与材料适应性。同时，该方法还通过成熟的MITC4插值方案被适配到曲面壳结构中，有效缓解了剪切锁定效应，能够准确反映当前模型的几何曲率。最后，通过改进的双重插值策略，可以抑制低刚度区域或断裂区域中的虚假屈曲模式，从而形成一种专门为耦合热弹性拓扑优化设计的精细且稳定的优化框架，确保其在各类工程应用中都能表现出可靠的性能。

本文结构如下：第2节介绍了热力学-力学耦合的控制关系，这些关系是开展耦合热力学与机械载荷作用下的线性化屈曲分析的基础。第3节概述了曲面壳元素的建模方法，随后阐述了本研究中采用的三种不同屈曲模型及其相应的离散化方法。第4节在耦合热力学-力学载荷作用下的广义线性化屈曲分析框架下，系统介绍了各项稳定性修正措施。该节还阐明了所提出的载荷调节方案的理论意义，并明确了其有效性与稳定性的充要条件。第5节建立了与本研究中三种屈曲问题相对应的材料建模方法与公式，同时全面给出了问题描述与详细的灵敏度分析公式。第6节通过一系列数值算例验证了所提方法的有效性与稳定性，第7节则对全文内容进行总结与讨论。为消除由非物理意义上的元素级密度所导致的棋盘格图案，本文采用了密度过滤方案[1]。设ψˉ={ψ1,ψ2}表示原始的（非物理的）设计变量。数值示例通过多个具有代表性的屈曲问题，对热载荷和机械载荷的共同影响进行了全面研究。此外，还通过从二维平面梁板到弯曲壳状结构等多种模型，系统地分析了这些示例中的设计域，从而展现了所提方法的灵活性。具体而言，第一个示例考虑了一个典型的二维连续柱状结构在某种载荷作用下的情况。结论本研究提出了一种新的多材料拓扑优化框架解决方案，旨在在热机械载荷作用下最大化线性化屈曲承载能力。与以往的方法不同，本工作为涉及屈曲约束的问题提供了完整的建模方法，并有多项重要贡献。首先，针对温度场不存在的耦合热机械系统中的三种屈曲问题，建立了一致的建模方法。作者贡献声明Thanh T. Banh：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，可视化，验证，软件，资源，方法论，研究，形式分析，数据整理，概念构建。Minh-Chien Trinh：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写。Hyungmin Jun：监督，项目管理，资金获取。利益冲突声明作者声明不存在任何可能影响本文所述工作的已知财务利益或个人关系。