有限元方法的平滑型后验误差估计

《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：Smoother-type a posteriori error estimates for finite element methods

　　余文利|浙江大学数学科学学院，中国浙江省杭州市余杭塘路866号，邮编310058摘要本文基于线性迭代求解器的平滑器，提出了易于使用的有限元方法后验误差估计方法。所提出的方法利用简单的平滑器，如雅可比或高斯-赛德尔迭代，在辅助的更细网格上处理有限元残差，以实现后验误差控制。该方法的实现具有线性复杂度，仅需一个从粗网格到细网格的扩展算子。对于对称问题，我们在饱和假设下证明了平滑型误差估计器的可靠性和高效性。针对各种偏微分方程的数值实验表明，所提出的平滑型误差估计器在精度上优于残差型估计器，并且对物理参数和多项式阶数具有鲁棒性。引言自适应网格细化是竞争性数值方法中常用的技术，用于处理奇点与尖锐梯度，同时在大规模数值模拟中节省计算成本。在自适应有限元方法中，后验误差估计是均衡误差分布并构建近乎最优的局部细化网格的关键工具，相关基础内容可参考[1]、[2]、[3]、[4]。AFEMs的经典后验误差估计包括残差估计、超收敛恢复法、双权重残差估计、平衡估计、分层基函数估计以及函数型后验误差估计，该领域的相关参考文献可参见[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]、[11]、[12]、[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]。有限元方法的后验误差估计也与迭代线性求解器密切相关，因为这两种方法都旨在为解算子在某些残差上的作用开发可计算的近似值。例如，分层基函数求解器的理念促成了[6]、[20]中分层基函数误差估计的发展。多网格求解器结合超收敛技术被用于构建后验误差估计[21]、[22]。在[23]中，残差误差估计器被应用于通过多次平滑处理得到的不精确中间解，以此在AFEMs中节省计算成本。[24]、[25]表明，在无限维空间上应用加性算子预处理，可为H(grad)、H(curl)和H(div)问题得到隐式且对参数具有鲁棒性的后验误差估计。相反，后验误差估计也被用于多网格方法中设计粗网格，以及域分解方法中控制迭代代数误差，相关内容可参见[26]、[27]、[28]。我们将沿袭[24]、[25]的研究思路，基于迭代线性求解器的平滑器推导后验误差估计。平滑器是指在细网格上进行的简单基本迭代，如雅可比或高斯-赛德尔方法，它们能有效抑制有限元误差中的高频分量。我们将证明，合适的平滑器可直接为泊松方程、旋度旋度方程、毕奥方程、对流-扩散方程和亥姆霍兹方程等各种偏微分方程的有限元方法提供高质量的后验误差估计。数值实验表明，基于平滑器的误差估计器的有效率比基于残差的后验误差估计器更高。与[24]、[25]中推导的涉及不可计算局部问题的加性预处理型隐式误差估计器不同，所提出的平滑型后验误差估计器是完全可计算的。此外，本文还引入了一类受收缩迭代方法启发的新误差估计器，这类估计器特别适合处理非对称问题。对于拉格朗日有限元离散化，由于无需求解分段局部问题，这类平滑型误差估计器是显式的。在网格Th上实现平滑型后验误差估计的方法类似于双网格求解器。具体而言，我们将使用简单的平滑器S，例如在辅助的更细网格Th/2上进行的雅可比迭代、块雅可比迭代或高斯-赛德尔迭代。此时，平滑型后验误差估计的形式为‖Sr‖或〈r,Sr〉，其中r是转移到Th/2上的有限元残差，‖•‖为所关注的范数，?•, •?为原始空间与对偶空间之间的内积。在饱和假设下，我们证明了这类后验误差估计的可靠性和高效性。基于同一假设，[29]、[30]中对由嵌套网格上有限元解的差值∥uh?uh/2∥驱动的自适应有限元方法和边界元方法进行了分析，而计算更细网格上的解uh/2的成本远高于平滑操作Sr。本文中的平滑型后验误差分析为将现有的复杂偏微分方程系统的迭代求解器直接转化为具有诸多优良特性的后验误差估计器提供了可能。例如，复杂的多物理场问题可通过依赖一组物理参数（如拉梅常数和渗透率）的鞍点系统来建模。在数值研究中，常见的第一步是进行离散的inf-sup稳定性分析，并采用均匀高效的块对角线预处理器。所提出的框架避免了为多物理场问题重复进行后验误差分析，能够将其求解器改写为对参数具有鲁棒性的平滑型后验误差估计器，毕奥固结模型中的应用可见第4.2节。此外，数值实验表明，平滑型后验误差估计的有效性对有限元的多项式阶数具有鲁棒性（即p-鲁棒性）。p-鲁棒性是hp-AFEMs以及使用非常高阶有限元进行实际模拟时的重要特性（参见[1]、[31]、[32]）。在现有文献中，知名的p-鲁棒后验误差估计包括基于在每个顶点区域求解局部问题的平衡估计和超收敛估计，相关内容可参见[33]、[34]。与传统的p-鲁棒估计器相比，逐点型的平滑型误差估计器更易于实现，且无需在局部区域求解辅助问题。本文的其余结构如下：第2节介绍预备知识并构建抽象框架；第3节利用迭代求解器的平滑器为正定问题推导后验误差估计；第4节探讨对称鞍点问题的平滑型后验误差估计；第5节展示平滑型估计器在対流-扩散方程和亥姆霍兹方程中的应用；第6节为结论性意见。摘要框架在本节中，我们针对可在稳定子空间分解的希尔伯特空间中描述的抽象正定模型，提出了两种平滑型后验误差估计方法。离散环境空间为了构建更实用且高效的后验误差估计，我们利用由网格细化或多项式增强产生的有限维离散环境空间V。对称系统的块对角线估计器借助块对角线预处理技术（参见[55]），可将第3节中的平滑型后验误差估计方法轻松推广到鞍点问题。设Σ和U为希尔伯特空间。该鞍点问题旨在寻找σ∈Σ和u∈U，使得a(σ,τ)+b(τ,u)=g(τ)，τ∈Σ，b(σ,v)=f(v)，v∈U。此处a:Σ×Σ→R，b:Σ×U→R为有界双线性形式，a是对称的，f∈U*，g∈Σ*。设Σh×Uh?Σ×U为一对具有内积〈AΣ的非对称问题的误差估计器对鞍点问题的平滑型后验误差估计进行严格研究超出了本文的范围。不过，诸如‖Sh/2ar‖这样的误差估计器仍适用于任意线性偏微分方程。结论性意见本文构建了一个将后验误差估计与迭代线性求解器的平滑器相联系的实用框架。通过利用现有预处理器和线性求解器的平滑器，我们为泊松方程、旋度旋度方程、毕奥方程、对流-扩散方程和亥姆霍兹方程等各种偏微分方程推导出了后验误差估计。对于对称问题，借助两级稳定性分析，我们已经从理论上验证了平滑型误差估计器的可靠性和高效性。资金支持本研究得到了中国国家重点研发计划项目（项目编号2024YFA1012600）以及中国国家自然科学基金项目（项目编号12471346）的支持。作者贡献说明余文利：撰写——初稿、方法论、资金获取、正式分析、概念构思。韩水：撰写——审阅与编辑、可视化、验证、软件开发、研究实施。利益冲突声明余文利声明其获得了中国国家自然科学基金的财政支持。其他作者均声明没有已知的可能影响本文工作的财务利益或个人关系。