基于偏微分方程方法，实现大规模多维度异构多智能体系统的近似固定时间H∞部署

《Expert Systems with Applications》：Practically fixed-time H ∞ deployment of large-scale heterogeneous multi-agent systems with multiple dimensions via a PDE-based approach

　　徐来祥|习浩|赵俊民
中国河南省平顶山市河南城建大学计算机与数据科学学院，467036

**摘要**
本文针对具有多维特性及外部干扰的大规模异构多智能体系统，采用偏微分方程方法研究实际固定时间H∞部署问题。首先假设智能体数量足够多，通过设计特殊的网络通信协议并结合用于空间离散系统的连续介质技术，将智能体的跟踪误差建模为多维异构偏微分方程系统。其次，运用单点控制方案确保所构建的异构偏微分方程误差系统的适定性与固定时间稳定性。第三，通过构造李雅普诺夫函数，并提出新的引理与推导方法，建立了确保跟踪误差系统实际固定时间H∞稳定性的严格准则。最后，本文通过数值算例、对比示例与应用案例，验证了所提方法的有效性、优越性与实用性。

**引言**
多智能体系统的协同控制问题在无人机、智能交通、生态监测等领域得到了广泛研究与应用（Fei, Shi, Li, Liu, Qu, 2024; Huang, Samson, Zhang, Li, 2025; Ni, Song, Huang, Wang, 2025b; Zhang, Wu, Kwok, Huang, Chakrabarti, Zhou, 2025d）。其中，编队控制是多智能体协同控制中的关键课题。在现有的多智能体系统编队控制研究中，大多数学者将系统模型构建为传统的常微分方程，通常每个智能体对应一个微分方程。因此，当智能体数量较多时，所构建的微分方程系统会存在系统维度高、分析难度大以及控制效果差等问题。为解决由大规模多智能体系统带来的这些问题，一些学者开始尝试将偏微分方程引入多智能体系统的建模与控制中（Ferrari-Trecate, Buffa, & Gati, 2006）。基于偏微分方程的方法具有明显优势：它适用于大规模多智能体系统，能够用一个偏微分方程描述大量智能体的动态特性，从而降低理论分析的难度并提升控制效果（Freudenthaler, Meurer, 2020; Meurer, Krstic, 2011; Wei, Fridman, Selivanov, Johansson, 2019b）。目前，基于偏微分方程的多智能体编队控制研究主要集中在空间部署方面，这可视为一类基于位置的编队问题（Oh, Park, & Ahn, 2015）。多智能体系统的部署是指通过局部交互与协同控制协议，驱动大量自主智能体实现预定的空间配置、分布或覆盖模式的过程（Man, Xiao, Sheng, & Zeng, 2025）。典型的应用场景包括机器人集群部署、大规模环境监测传感器布置、自主监视与巡逻以及协同无人机集群的初始化。根据控制器设计思路，基于偏微分方程的多智能体系统研究大致可分为回退法与非回退法两类。回退法通过引入虚拟控制输入来稳定系统核心，从而为控制器设计与稳定性验证提供结构化路径。基于这一思想，多项研究通过创建定制的核心映射并应用适当的变量变换，为大规模多智能体系统设计了基于偏微分方程的空间部署方案（Freudenthaler, Meurer, 2016; Frihauf, Krstic, 2011; Qi, Vazquez, Krstic, 2015; Qi, Wang, Fang, Diagne, 2019）。尽管回退法具有优点，但它通常需要复杂的推导步骤和大量的计算工作，且在面对更复杂的系统行为时其适用性会受到限制。此外，这些研究主要聚焦于线性或半线性智能体动力学，对非线性多智能体系统的偏微分方程导向空间部署研究不足。为克服这些局限，越来越多的研究转向避免使用回退法的偏微分方程驱动部署框架。例如，Wei等人（2019a）研究了嵌入三维空间中的光滑曲线上的一阶多智能体系统部署，提出了系统的ODE–PDE转换机制，并证明通过适当选择控制器增益，可在足够小的延迟下实现任意期望的衰减率。考虑到实际网络中的不完美因素，如非均匀采样、通信延迟和量化效应，Terushkin与Fridman（2021）分析了二维和三维域中沿理想光滑路径的一阶和二阶非线性多智能体系统部署问题。Su与Xu（2022）研究了有无时间延迟情况下二阶光滑曲线上的多智能体运动规划问题。Selivanov与Fridman（2022）还提出了一种基于双曲偏微分方程的部署框架，该框架能够在保持闭环稳定的同时便于估计领导智能体的输入延迟。Zhang等人（2025b）研究了一种基于切换控制的部署策略，用于受非线性Kuramoto–Sivashinsky模型支配的多智能体系统，通过输出反馈切换控制机制动态选择单个领导智能体进行信息传输。此外，Khansili与Selivanov（2025）为链型拓扑的多智能体系统开发了一种基于偏微分方程的全局控制框架，通过加强领导智能体间的通信以及采用Wentzell型边界控制，提升了状态估计、集群凝聚性及部署精度。值得指出的是，目前大多数基于偏微分方程的多智能体系统编队控制研究都是在无限时间范围内进行的，这可能无法满足现实应用中严格的时效要求（Ahmad, Shafiq, 2020; Duan, Zhang, Cai, Zhang, 2020; Surendar, Muthtamilselvan, 2024）。相比之下，基于常微分方程的多智能体系统编队控制研究中已广泛探讨了有限时间控制方案，如Wu等人（2024）、Zhang等人（2025a）、Zhang等人（2025c）的研究，也有若干论文研究基于偏微分方程的多智能体系统有限时间部署问题（Man, Sheng, Chen, Zeng, 2023; Meurer, Krstic, 2011; Wei, Cui, Zhang, Zhang, 2024; Wei, Cui, Liu, Nie, 2025）。然而，在多智能体系统的控制问题中，有限时间控制虽然能确保在有限时间内收敛，但其收敛时间通常取决于初始条件。因此，尤其是在大规模异构系统或存在外部干扰的情况下，它可能无法提供全局一致的性能或可预测的时效性（Zuo, Han, Ning, Ge, & Zhang, 2018）。而固定时间控制则具有显著优势：其收敛时间与初始状态无关。这一特性极大地提升了实际部署中的可靠性、鲁棒性及时间可预测性，尤其适用于需要严格时间保障的任务（Cheng, Zhang, Jiang, Ding, 2021; Gao, Chen, 2024; Guo, Tan, Feng, Wang, 2025; Han, Jiang, Zhao, 2024）。在多智能体系统固定时间控制的相关结果中，实际固定时间收敛性对于满足多智能体系统的各种实际控制需求具有重要意义（Cao, Liu; Li, Li, Guo, Zuo, Zheng, 2025; Ni, Mu, Kong, Zhu, 2025a）。例如，在协调水下采样任务中，机器人需在预定的固定时间内到达目标采样区域附近，而非精确到达几何位置——后者虽能满足有效测量需求，但难以考虑深度估计和流体动力学的不确定性。然而据我们所知，目前尚无基于偏微分方程的多智能体系统固定时间协同控制的相关研究成果。弥补这一空白正是本文的主要动机之一。尽管基于偏微分方程的多智能体系统协同控制已取得一定进展，但现有绝大多数基于偏微分方程的研究都集中在状态变量为一维的智能体上，如标量位置（Ferrari-Trecate, Buffa, Gati, 2006; Freudenthaler, Meurer, 2016; Freudenthaler, Meurer, 2020; Frihauf, Krstic, 2011; Man, Sheng, Chen, Zeng, 2023; Man, Xiao, Sheng, Zeng, 2025; Meurer, Krstic, 2011; Qi, Vazquez, Krstic, 2015; Qi, Wang, Fang, Diagne, 2019; Selivanov, Fridman, 2022; Su, Xu, 2022; Terushkin, Fridman, 2021; Wei, Cui, Zhang, Zhang, 2024; Wei, Fridman, Johansson, 2019a; Wei, Fridman, Selivanov, Johansson, 2019b; Wei, Cui, Liu, Nie, 2025; Zhang, Kang, Wang, 2025b）。这种简化虽然有利于理论分析，但却严重限制了现有框架在许多实际系统中的应用，因为在这些系统中智能体本质上具有多维动力学特性。在许多现实应用中，如无人机集群、自主机器人团队、智能交通网络和分布式能源系统，每个智能体的状态通常包含多个耦合变量，如位置-速度对、姿态运动学参数，或受环境相互作用影响的内在动态状态。这些多维特性从根本上改变了系统的集体行为和协调需求。当智能体状态变为多维时，时空交互结构会变得极为复杂，必须明确考虑交叉耦合动力学、各向异性信息传播以及方向依赖性约束。在这种情况下，现有的一维建模方法无法准确捕捉潜在的协调机制，从而导致建模误差、稳定性裕度下降以及在大规模异构部署中性能不可预测（Xiao & Wang, 2007）。此外，多维多智能体系统的协调还带来了新的分析挑战，如处理交叉导数耦合、设计作用于向量值场的控制律，以及确保在不确定或时变运行条件下的适定性与鲁棒性（Wang, He, Zheng, Fan, & Liu, 2017）。这些局限性凸显出迫切需要将现有的基于偏微分方程的方法扩展到具有真正多维状态的多智能体系统。正是出于这一需求，本文研究了具有多维动态变量的多智能体系统的部署问题，旨在提供更真实的建模能力及更强的性能保障。基于上述讨论，本文采用基于偏微分方程的方法，研究具有多维特性及外部干扰的大规模异构多智能体系统的实际固定时间部署问题。本文的主要贡献可归纳为以下两个方面：
•现有基于偏微分方程的多智能体系统部署研究大多集中在状态变量为一维的智能体上，如前述文献所示，这极大地限制了这些框架在真实多维系统中的应用。为解决这一问题，本文研究了具有多维动态变量的多智能体系统的部署问题，旨在提供更真实的建模能力及更强的性能保障。因此，本文的研究成果拓宽了基于偏微分方程方法的适用范围，为在复杂的大规模多维多智能体系统中实现可扩展的协同控制奠定了基础。
•本文采用基于偏微分方程的方法实现了多智能体系统的实际固定时间部署，具体而言，我们设计了专用的网络通信协议和单点控制方案。与那些将基于偏微分方程的方法用于指数部署（Ferrari-Trecate, Buffa, Gati, 2006; Freudenthaler, Meurer, 2016; Freudenthaler, Meurer, 2020; Frihauf, Krstic, 2011; Man, Xiao, Sheng, Zeng, 2025; Qi, Vazquez, Krstic, 2015; Qi, Wang, Fang, Diagne, 2019; Selivanov, Fridman, 2022; Su, Xu, 2022; Terushkin, Fridman, 2021; Wei, Fridman, Johansson, 2019a; Wei, Fridman, Selivanov, Johansson, 2019b; Zhang, Kang, Wang, 2025b）或有限时间部署（Man, Sheng, Chen, Zeng, 2023; Meurer, Krstic, 2011; Wei, Cui, Zhang, Zhang, 2024; Wei, Cui, Liu, Nie, 2025）的现有研究相比，本文的方法更为通用，也更符合大规模多智能体系统在实际应用中对协同时间限制的严格要求。

本文共分为五部分。第一部分介绍研究背景、研究动机及主要贡献概述。第二部分详细描述所研究的多智能体系统、设计的网络通信协议、设计的单点控制方案，以及一些关键的定义和引理。第三部分利用李雅普诺夫函数方法推导出主要的固定时间部署结果，并给出一个推论，该推论基于偏微分方程解决了具有多维特性的大规模多智能体系统的实际有限时间部署问题。第四部分通过数值研究验证了所提出的通信与控制策略的有效性、优越性及实用性，为理论结论提供支持。最后，第五部分总结全文，强调本文的主要研究成果。

**系统描述与设计**
在二维或三维空间中，用?表示空间轴的序号，具有多维特性的大规模异构多智能体系统的动力学可表示为：
{x˙i?(t)=ui?(t)+Ff?(xi?(t))+δi?(t), i∈Ξ1,
y˙j?(t)=vj?(t)+Gg?(yj?(t))+δj?(t), j∈Ξ2}
其中，xi?(t)=[xi1?(t), xi2?(t), ..., xip?(t)]T和yj?(t)=[yj1?(t), yj2?(t), ..., yjp?(t)]T分别表示第i个和第j个智能体在第?个空间轴上的状态。在二维空间中，?∈{1, 2}，而在三维空间中，?∈{1, 2, 3}，且ui?(t)∈Rp×1、vj?(t)∈Rp×1。实际固定时间部署定理1：给定一个标量0<λ<1、?>0、λ>0以及偏微分方程误差系统（6）的适当参数，存在控制器增益矩阵K，若满足以下矩阵不等式，则可保证大规模多维异构多智能体系统（1）的实际固定时间部署：Ψ1=[ε11ε12ε13*ε22ε23**ε33]<0，Ψ2=[ε?11ε?12ε?13*ε?22ε?23**ε?33]<0，其中ε11=?π22l?2W+2FA+I+?λ，ε12=?π22l?2W，ε13=I，ε22=2WKl??π22l?2W，ε23=0，ε33=?λ2，ε?11=?π22(l?l?)2R+2GB+I+?λ，ε?12=?π22(l?l?)2R，ε?13=I，ε?22=?2RKl?l??π22(l?l?)。仿真研究：为清晰展示本文主要结果的合理性、优越性及实用性，本节给出了数值算例、对比算例和应用算例。需说明的是，文中推导的矩阵不等式条件是使用MATLAB（R2023a）中的LMI Control Toolbox求解的，数值求解则采用MATLAB（R2023a）中的ode45函数。结论：本文通过基于偏微分方程的建模与控制策略，为受外部干扰影响的大规模多维异构多智能体系统构建了实际固定时间的H∞部署框架。随后采用专门的NCPs和单点控制方案，以确保误差动态系统的适定性与固定时间稳定性。此外，通过构造合适的李雅普诺夫函数，结合新提出的引理以及经过优化的方法，进一步提升了系统的性能。作者声明：我们声明题为“基于偏微分方程方法实现大规模多维异构多智能体系统实际固定时间H∞部署”的手稿为原创作品，此前未曾发表，也不存在在其他地方待发表的情况。我们确认所有列出的作者均已阅读并同意该手稿的内容，且没有其他符合作者资格但未被列入名单的人士。我们进一步确认手稿的撰写顺序如下。未引用表格1：利益冲突声明：作者声明自己没有已知的可能影响本文研究成果的财务利益或个人关系。