基于WEB样条的等几何分析方法，用于隐式修剪几何形状上的对流-扩散问题和不可压缩纳维-斯托克斯问题

《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：WEB-spline based isogeometric analysis for advection–diffusion and incompressible Navier–Stokes problems on implicitly trimmed geometries

本研究将加权扩展B样条应用于隐式修剪几何上的输运和不可压缩Navier-Stokes问题，开发了WEB-IGA-G和WEB-IGA-C方法，结合SUPG稳定技术抑制数值振荡，并验证了其高阶收敛性和计算效率。

　　

杨静静|曹静怡|周佩|朱春刚

大连理工大学数学科学学院，中国大连116024

摘要

本研究探讨了加权扩展B样条（WEB样条）在等几何分析（IGA）背景下，应用于隐式修剪域上的对流-扩散问题和不可压缩Navier-Stokes问题的方法。所提出的方法允许对修剪域进行单块参数化，并能够自然地在对修剪边界上施加Dirichlet边界条件。为了减轻以对流为主流动中的虚假振荡，将流线迎风/Petrov-Galerkin（SUPG）技术适配到基于WEB样条的等几何Galerkin方法（WEB-IGA-G）和等几何配置方法（WEB-IGA-C）中。对于Stokes和Navier-Stokes问题，引入了一对inf–sup稳定的WEB样条空间，这一设计灵感来自Taylor-Hood元素。我们详细介绍了每个未知量的离散化过程，并且对于WEB-IGA-C方案，指定了惩罚函数方法的使用。数值实验表明，WEB-IGA-G和WEB-IGA-C方法在处理对流-扩散方程、Stokes方程和不可压缩Navier-Stokes方程时表现出优异的性能，全面的比较突出了它们的收敛特性和计算效率。在修剪流形上对动态问题的模拟以及围绕圆柱体的流动模拟进一步证明了所提方案的稳健性和适用性。

引言

等几何分析（IGA）是一种计算方法[1]，[2]，它将有限元分析（FEA）——计算机辅助工程（CAE）的基本引擎，与非均匀有理B样条（NURBS）——计算机辅助设计（CAD）的数学语言无缝集成。通过使用参数化技术精确描述物理问题的计算域和边界条件，IGA有效地避免了FEA中固有的网格生成复杂性和几何近似误差[3]，[4]，[5]。等几何Galerkin方法（IGA-G）是IGA中最常用的技术，它建立在传统Galerkin有限元方法的数学基础和稳定性分析之上[6]。它广泛应用于需要高精度分析、施加复杂边界条件以及高阶导数连续性的工程和物理问题中[7]，[8]，[9]。另一种重要的方法是等几何配置方法（IGA-C），该方法在域内的特定配置点强制执行偏微分方程（PDEs）的强形式[10]，[11]。IGA-C的潜在成本优势使其成功应用于需要高计算效率的各种力学问题[12]，[13]，[14]。

在流体力学中，IGA提供了一种新的视角，通过研究流体流动的几何特性和相关PDEs来理解和解决复杂问题。例如，IGA-G结合流线迎风/Petrov-Galerkin（SUPG）方法，在处理对流-扩散方程（ADEs）的挑战性测试案例中表现出稳健的性能[1]，[15]。在[16]，[17]，[18]中，系统研究了IGA-G在不可压缩粘性流动问题中的应用，主要是通过构建inf–sup稳定的样条空间（Raviart Thomas、Nédélec和Taylor-Hood空间）来近似速度场和压力场。随后，Taylor-Hood元素被优雅地推广以实现inf-sup稳定性、提高效率，并与分层样条完全兼容[19]，[20]，[21]。除了这些进展，IGA-C在处理对流-扩散问题方面也取得了一些进展[22]，[23]，并且通过基于速度-涡度-压力公式的发展，进一步扩展到了不可压缩Navier-Stokes流动[24]，[25]。

然而，大多数关于流体力学中IGA的研究仍然局限于简单几何域的问题[10]，[26]。对于包含孔洞或复杂内部边界的修剪几何体的分析[27]，仍需要进一步研究[28]。一个主要困难在于标准基于NURBS的IGA中张量积网格结构的拓扑灵活性有限，这增加了修剪域的单块参数化的复杂性。一种常见的方法是使用多块表示法，将复杂几何体分解为多个张量积块[29]，[30]，[31]。然而，这引入了确保块边界连续性的挑战，通常需要额外的繁琐工作[32]，[33]。另一种策略是将整个几何体转换为一个统一的、适合分析的模型，并直接使用CAD系统中的修剪信息进行IGA[34]。修剪元素通常通过复杂的几何投影方案来确定，积分是在通过分解规则单元获得的三角形单元上进行的[35]，[36]。此外，还引入了高级样条公式，如T样条[15]，[37]及其扩展，加权T样条[38]，[39]，以将多个修剪的NURBS块重新参数化为一个连续的T样条表面，从而在保持修剪曲线的同时缓解了块交叉处的连续性问题。

近几十年来，浸没式等几何分析方法迅速发展成为一种处理修剪几何体的强大计算范式，它有效地将IGA与浸没边界方法[40]，[41]集成在一起。这种方法将修剪模型嵌入到一个更大且几何上更简单的域中，在那里构建网格和近似空间更加容易[42]，[43]，[44]，[45]。在这个框架内，修剪边界不是作为离散的参数化曲线表示，而是作为物理域内的隐式定义的界面。然后，将背景网格上的高阶IGA基函数与针对切割单元的定制积分方案结合使用，以确保准确性和稳定性[46]。在对修剪边界施加边界条件（例如，Dirichlet条件）时，通常使用Nitsche方法等弱强制方法[47]。然而，这些方法可能无法确保边界层的数值精度。在流体动力学中，浸没式等几何分析方法已成功应用于各种具有挑战性的问题，包括具有复杂和移动边界的流动[48]，[49]、多相和自由表面流动[50]，[51]，[52]、高雷诺数湍流[53]以及流体-结构相互作用[54]，[55]，[56]，这得益于其在几何处理方面的灵活性。

同时，加权扩展B样条（WEB样条）在[57]，[58]，[59]，[60]中被提出，作为一种处理浸没边界问题的有前景的方法，并已扩展到简单几何域上的流动模拟，如Stokes和Navier-Stokes流动[61]，[62]。该技术将修剪几何体的隐式表示直接集成到近似空间的构建中，从而自然满足修剪边界上的Dirichlet条件。然而，流体力学问题通常涉及具有复杂修剪几何形状的计算域，这些几何形状具有复杂的边界或三维修剪表面。在这种情况下，WEB样条依赖于单一权重函数来表征整个域，往往导致繁琐且往往不直观的隐式表示。一个自然的提议是将修剪边界的隐式表示与单张量积IGA参数化结合起来，这不仅允许更灵活地描述复杂的流体域，还有效地减少了切割单元的数量。虽然基础的IGA文献[1]已经介绍了基于WEB样条的IGA方法（WEB-IGA）在隐式修剪域上的可行性，但只有少数最近的研究尝试将这两个领域结合起来[63]，[64]。对于具有浸没边界的流动问题，它们的数值行为、稳定性要求和边界处理方案的系统开发和全面评估仍然缺乏。

在本文中，我们专注于基于WEB样条的IGA Galerkin（WEB-IGA-G）和IGA配置（WEB-IGA-C）近似在流体力学中的应用和评估，特别是对于隐式修剪几何体上的对流-扩散和不可压缩Navier-Stokes问题。为了抑制可能由对流主导的流动引起的虚假振荡，我们将经典的SUPG稳定技术[25]，[65]适配到WEB-IGA方案中。在离散化Stokes和Navier-Stokes方程时，满足inf–sup条件的稳定速度-压力空间对是避免锁定和数值不稳定性的关键。在这个切割单元的背景下，我们研究了使用Taylor-Hood元素族的WEB-IGA方法的性能，这些元素在符合网格的情况下已被证明表现良好[17]。在WEB-IGA-C方案中，我们进一步引入了一个梯度惩罚项，灵感来自[66]，以弱强制方式对外部边界施加Dirichlet边界条件。这种方法旨在减轻由于在速度场中强施加Dirichlet条件而可能产生的压力不稳定性。此外，我们将WEB-IGA近似方法的应用扩展到围绕圆柱体的流动，这已成为评估Navier-Stokes方程瞬态算法的基准测试。本工作的主要贡献如下：

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我们系统地开发了WEB-IGA-G和WEB-IGA-C近似的完整离散化方案，用于时间依赖的对流-扩散和不可压缩Navier–Stokes方程，这些方案允许直接在对修剪边界上施加Dirichlet条件。

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我们将基于残差的SUPG技术适配到WEB-IGA框架中，有效地解决了在粗网格上可能由对流和压力不稳定性引起的虚假振荡，同时保持了方法的原始收敛率。

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为修剪域上的不可压缩Stokes和Navier–Stokes流动提供了一对inf–sup稳定的WEB样条空间。在WEB-IGA-C方案中，提出了一种梯度惩罚项，通过在外部边界上弱施加Dirichlet条件来确保压力稳定性。

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WEB-IGA参数化的几何灵活性使得可以单块表示修剪形状，支持在具有复杂边界的流体域上进行模拟，包括那些定义在曲面上的域。这推进了WEB样条在流动问题中的应用。

本文的组织结构如下。第2节介绍了WEB-IGA框架，包括用于瞬态对流-扩散问题的基函数和离散化方法。第3节详细阐述了结合SUPG技术的稳定化WEB-IGA-G和WEB-IGA-C方法，并将其应用扩展到三维修剪表面上的瞬态对流主导流动。第4节使用通用的Stokes测试案例验证了所提出的类Taylor-Hood WEB样条空间，并测试了inf-sup稳定性。最后，第5节将对流稳定性纳入WEB-IGA方法中，用于Navier-Stokes方程，基准测试结果确认了高阶收敛率并展示了有前景的应用。最后，本文以总结和未来工作的讨论结束。

部分摘录

WEB-IGA方案

我们首先介绍了在[63]中提出的加权等几何方法（weighted IGA）的流程图，然后定义了将在后续分析中使用的WEB样条基函数，遵循[64]，[67]的精神。接下来，我们探讨了基于ADEs弱形式的WEB-IGA-G方案，以及基于ADEs强形式的WEB-IGA-C方案，参考了[64]。

对流稳定的WEB-IGA方案

ADEs控制着流体力学、环境科学和工程中的各种重要现象，是更复杂流体问题（如Navier-Stokes问题）的基础。在第2节概述了ADEs的基础知识后，我们现在可以继续开发在隐式修剪域上的对流稳定WEB-IGA方案，采用[65]中提出的SUPG稳定技术。

不可压缩Stokes方程

在本节中，我们专注于二维不可压缩Stokes方程的离散化和数值解，这些方程与计算流体动力学（CFD）中的ADEs密切相关。ADEs模拟了物质的传输过程，而Stokes方程描述了流体的运动。此外，Stokes方程在低速流动条件下是Navier-Stokes方程的简化版本，经常被用作初始条件

不可压缩Navier-Stokes流动

现在我们将提出的WEB-IGA方案扩展到非线性不可压缩Navier-Stokes方程，这是模拟航空航天工程和海军建筑等领域流体流动的标准模型[82]，[83]，[84]。首先，我们为修剪几何体推导了WEB-IGA-G和WEB-IGA-C方法的离散化方程，使用牛顿迭代法求解非线性项。然后使用一个人为构造的静止Navier-Stokes问题的解来测试两者

结论和未来展望

本文介绍了WEB-IGA方法的发展，提供了一种解决修剪几何体上的标量传输和不可压缩流动问题的新方法。SUPG技术被集成到WEB-IGA-G和WEB-IGA-C方案中，这一灵感来自于IGA-G离散化中使用的基于残差的稳定方法。在对流主导流动进行的数值实验表明，引入的稳定项有效地减轻了虚假振荡

CRediT作者贡献声明

杨静静：撰写——原始草稿，验证，方法论，数据管理。曹静怡：验证，数据管理。周佩：数据管理。朱春刚：可视化，项目管理，方法论，调查，资金获取。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。