直升机的飞行性能和振动水平是影响其应用和推广的重要因素[1]。因此，在设计阶段准确计算旋翼结构的振动载荷是提高直升机整体性能的关键。除了提高空气动力学模型的准确性外，准确建模叶片结构以及改进载荷计算方法也非常重要。
经过数十年的发展，叶片建模的准确性也在不断提高。早期的叶片模型被建模为刚性杆[2]，根部允许摆动、前后移动以及围绕铰链的扭转。如今，在精度要求不高的领域中仍会使用这种模型。Houbolt和Brooks[3]于1957年首次提出了考虑弹性叶片摆动变形的梁理论应用。1974年，Hodges和Dowell[4]利用排序方案推导出二阶精度的非线性梁理论模型，并发现哈密顿变分原理的推导与牛顿定律等价。尽管二阶近似非线性能够捕捉到与旋转梁相关的某些非线性耦合现象，但仍无法满足更高的精度要求。因此，研究人员开始开发几何精度更高的大变形梁模型。Hodges和Danielson[5,6]考虑了旋转对大变形梁模型的影响，建立了相应的旋转梁模型，并用于旋翼叶片的动态分析，得到了与实验一致的结果；不久之后，Minguet等人[7]也提出了类似的大变形旋转梁模型，并将其应用于复合材料的叶片动态分析。还有许多类似的研究[8,9]。作为多组分结构，多体动力学是旋翼的合适建模方法。Bauchau[10]较早建立了旋翼的多体动力学模型，使用运动副连接大型旋转柔性部件[[11], [12], [13]]。许多直升机综合分析平台[14,15]也是基于多体动力学思想进行直升机动态建模的。对于螺旋桨叶片也有多种建模方法，叶片结构载荷的计算方法也有待开发。
旋翼载荷的计算是直升机设计和振动控制中需要考虑的重要因素[16]。在旋翼运动部件的设计中，疲劳寿命的评估在很大程度上取决于载荷估计的准确性。早期，学者们已经开展了旋翼载荷计算的研究。Sweerts[17]使用模态叠加方法计算了振动载荷，发现叶片根部的载荷存在显著差异。Bielawa[18]比较了力积分法和模态曲率法在求解复合材料叶片载荷时的准确性，结果表明力积分法的整体准确性较好，但也存在数值误差。关于模态方法，Hodges[19]提出了一种基于Ritz方法的模态方法，利用有限元工程梁理论求解各向异性旋转梁的响应和载荷，能够准确计算结构剪力。随着直升机仿真平台的发展，许多研究人员开始使用旋翼综合分析平台来计算结构载荷。Maier等人[20]、Bousman等人[21]使用CAMRAD计算结构载荷，并将其与风洞或飞行数据进行了比较，研究了影响载荷计算的各种因素。结果表明，曲率法和有限差分法的计算结果与实验值较为接近，而力积分法需要较小的积分步长才能获得更好的结果。空气动力学模型是影响载荷计算准确性的重要因素[22]。因此，随着空气动力学模型的发展，研究人员开始使用非稳态空气动力学模型来分析振动载荷。Torok等人[23]使用尾流模型和非稳态空气动力学模型计算叶片载荷。在高前进比和高升力系数下，非线性空气动力学模型可以提高计算精度。为了追求更高的精度，利用CFD/CSD耦合求解旋翼载荷已成为研究热点。Yeo等人[24,25]使用综合旋翼分析工具进行了类似的研究，表明非线性阻尼器模型是准确预测根部弦向弯矩和阻尼器载荷的关键。类似的CFD/CSD研究还包括[26,27]。然而，CFD/CSD对计算资源的要求极高，这限制了其应用范围。使用梁理论对细长叶片进行建模仍然是叶片动力学领域中最常用的方法之一，而柔性梁模型可以实现理想的精度。因此，也需要基于梁理论开发一种快速的旋翼载荷计算方法。
鉴于直升机叶片结构载荷的重要性，上述研究建立了基于不同叶片动力学模型的多种叶片载荷计算方法，如模态法、曲率法等。然而，每种方法都与叶片动力学模型分离，需要先计算叶片动力学响应，再使用各种载荷计算方法来求解结构载荷。这不仅需要重新构建计算方法，还会引入不必要的数值误差[18]；另一种结合CFD/CSD的叶片结构载荷计算方法可以在一定程度上提高计算精度，但会消耗大量计算资源且计算效率较低，限制了该方法的发展；因此，本文提出的基于有限元撕裂与互联（FETI）的叶片结构载荷计算方法可以改善上述缺点。
FETI方法是一种区域分解方法。初始域分解方法的思想起源于Schwarz提出的Schwarz交替方法[28]，该方法将计算域划分为尽可能规则的多个子域，并在这些子域内求解原问题。如今，域分解通常分为两大类：平衡域分解（BDD）方法[29]和FETI方法[30]。前者确保了界面处位移的连续性[31]，而后者通过引入拉格朗日乘数增强了界面处节点位移的连续性。FETI方法最初由Farhat等人于1991年[32]提出，用于并行求解线性弹性静力问题的有限元方程。随后，Farhat将这种方法扩展到壳单元和梁单元的结构动力学问题[33]。后来，Farhat等人[34]开发的FETI-DP算法将界面分为两部分。该方法已应用于多个领域[35]。
因此，本文基于FETI方法将其应用于叶片建模。首先，根据区域分解的思想，将叶片划分为多个子域，并建立子域之间的位移协调条件；然后，基于运动描述和变形特性，利用凯恩方程建立子域的动态模型；进一步结合子域间的约束方程，得到完整的叶片动态系统，并引入拉普拉斯乘数来求解动态模型；最后，通过将静态和动态示例与实际实验数据进行比较，验证了载荷求解算法的有效性。该方法的最大优点在于，在多体动力学理论中，引入的拉格朗日乘数与约束反力相关[36]。因此，可以利用拉格朗日乘数求解子域间的约束反力（即结构载荷），然后在子域内利用达朗贝尔原理轻松计算任意截面的载荷。此外，基于该方法建立的动态模型，每个子域的系数矩阵是解耦的，即添加或删除一个子域不会影响其他子域的系数矩阵，形成了模块化组装的优势。
本文的结构如下：第2节根据叶片的运动和变形特性，详细推导了每个子域的广义力。然后利用凯恩方程建立子域的动态模型。通过FETI方法在子域界面之间引入拉格朗日乘数，从而得到模块化组装的叶片动态模型。第3节推导出每个子域的界面载荷，再利用达朗贝尔原理计算子域内任意截面的载荷。第4节给出了几个数值示例，以验证本文建立的模型和求解截面载荷的算法的正确性。最后，第5节总结了本文的内容。
