一种基于蒙特卡洛方法的统一方法，用于具有任意边界的腔体的声学分析

《Applied Mathematical Modelling》：A unified approach for acoustic analysis of cavities with arbitrary boundaries based on monte carlo method

闭式声腔的任意边界自然频率与声压响应分析中，本文提出基于Ritz方法和Chebyshev多项式的半解析方法，结合蒙特卡洛积分处理复杂边界的区域积分问题，通过高向量化的矩阵装配方案提升大规模采样的计算效率。验证表明该方法在矩形斜墙腔等复杂几何声腔中具有与有限元法相近的精度，且计算效率显著提升。

　　

赵鹏城|曹一鹏|刘一军

哈尔滨工程大学动力与能源工程学院，哈尔滨，150001，中国

摘要

本文提出了一种半解析方法，用于分析具有任意边界的封闭声腔的自然频率和声压响应。结合Ritz方法和Chebyshev多项式来求解具有边界条件的能量方程。近年来，传统方法已经对规则声腔进行了充分研究，但在计算具有不规则几何形状和复杂边界的声腔响应时遇到了挑战。本文采用Chebyshev多项式作为试函数，并通过Ritz方法求解能量方程。通过蒙特卡洛方法对不规则声学区域进行积分，从而得到其声学响应。与数值方法相比，该方法不依赖于元素大小和计算频率。此外，该方法还可以用于计算具有阻抗边界的声腔的声学响应。本文提出了一种高度向量化的矩阵组装方案，以提高大规模采样条件下的矩阵组装效率。通过具有传统边界的矩形声腔验证了该方法的准确性和收敛性。进一步地，与有限元方法相比，三种具有复杂几何形状的模型的声学结果几乎相同，这证明了该方法的准确性和有效性。而且该方法具有更高的计算效率。

引言

封闭声腔在室内声学中得到广泛应用，包括飞机、船舶、音乐厅和录音室等。研究它们的声学特性对于优化声学设计和噪声控制是必要的。封闭声腔研究的一个核心目标是开发高效的解析方法。对于具有规则形状的三维声腔（如矩形、圆柱形和球形），可以通过解析方法获得其特征解[1]。此外，也可以通过解析方法获得特殊不规则声腔的声学特性，例如具有非均匀吸音材料的矩形声腔[2]和椭圆圆柱形声腔[3]。然而，对于具有复杂几何形状和边界条件的声学响应，解析方法的适用性受到显著限制。

鉴于上述解析方法的局限性，数值方法（如有限元方法（FEM）、有限差分方法[4],[5]等）已被广泛用于求解封闭声腔问题。Petyt等人[6]开发了一个有限元模型来研究不规则形状声腔的声学模式。随后，FEM被广泛应用于各种不规则声腔的研究，包括阻抗特性[7],[8]、频率响应[9]、耦合机制[10]和能量分布[11]。然而，FEM需要在网格尺寸、频率和计算效率之间取得平衡，因为过于精细的网格会显著降低效率，但在高频分析中需要精细的网格。为了提高计算效率和准确性，提出了几种改进的数值方法，包括无网格Galerkin方法[12]、基于Green函数的无网格方法[13]、质量重分布有限元方法[14]和优化的Galerkin/最小二乘方法[15]，这些方法可以在一定程度上改善计算效率、色散误差和非结构化网格之间的关系。此外，结合谱积分和FEM的三维声学方法[16]以及优化技术[17]也提高了模型的性能。

尽管上述解析和数值方法在解决基本和相对复杂的声学腔问题方面表现良好，但大多数复杂几何声腔的几何形状、频率范围和计算规模限制了这些方法的应用。近年来，半解析方法为应对这些挑战提供了新的途径。基于变分原理，杜等人[18]提出了一种改进的傅里叶级数方法，用于分析具有任意阻抗边界条件的矩形声腔的声学特性。此外，还通过耦合边界的连续性条件研究了某些复杂形状和边界声腔的声学特性，例如矩形[19],[20],[21],[22],[23]、梯形声腔及其耦合结构[24],[25],[26]以及旋转封闭声腔[27],[28]。此外，还应用了坐标变换[29]和映射[30],[31],[32]等方法来解决复杂形状封闭腔的问题。然而，这些方法在描述复杂几何形状方面的能力仍然有限。宋[33]提出了一种基于等几何分析的振动-声学建模方法，可以通过调整控制点和相应权重来准确描述不规则几何形状，但其计算相对复杂。陈等人[34]提出了一个框架，结合神经表面重建和边界元方法，从多视角声纳图像自动建模水下几何形状并模拟声波传播。王[35]提出了一种方法，将Burton Miller型奇异边界方法与Loop细分表面相结合，用于高效准确地模拟三维复杂结构中的声辐射和散射问题。此外，统计能量方法[36]和实验方法[37]也被用于相对高效地分析声学问题。

总之，封闭腔的声学特性分析受到了越来越多的关注，半解析方法在解决声学特性问题中得到了广泛应用。然而，现有方法仍存在一些局限性，如几何描述和复杂计算方面的问题。因此，本文提出了一种结合Ritz方法、Chebyshev多项式和蒙特卡洛方法的通用数学方法。Ritz方法是一种基于最小势能的数值方法，它使用全局试函数来求解微分方程的边界值问题[38]，从而避免了求解过程中对网格或节点的需求，并具有高计算效率。由于Chebyshev多项式的谱收敛特性及其适用于不规则几何形状，因此将其作为试函数。值得注意的是，本文提出的方法也适用于其他合适的试函数，这也证明了本文提出的数学框架的通用性。蒙特卡洛方法能够高效处理具有复杂边界的区域积分计算。提出了一种高度向量化的矩阵组装方案，以提高大规模采样条件下的矩阵组装效率。此外，声学边界被视为阻抗边界。该方法可以统一处理具有复杂几何形状和任意声学边界的封闭声腔。无需进行特定的几何调整或网格生成，它为声学边界值问题提供了一种独立且广泛适用的策略。

章节摘录

声腔的声学描述

本研究基于声学原理，并采用能量方法来描述声学系统。在笛卡尔坐标系中构建了三维复杂声场的数学模型，选择三维Chebyshev多项式作为试函数。使用Ritz方法计算内部声场的自然频率。下面给出了声学系统的拉格朗日方程[24]：$\begin{array}{c}L=V_a?T_a?W_{wll}?W_s\end{array}$

在方程(1)中，V_a表示

模型验证

在本节中，通过几个案例研究了所提出方法的收敛性和准确性。Ritz方法中试函数的截断阶数和蒙特卡洛方法中的积分点数量都会影响计算结果。首先，研究了所提出方法的收敛性。

计算了具有倾斜壁的矩形声腔的声学特性。声腔的几何形状如图1所示。

结论

本文提出了一种半解析方法，用于求解复杂声腔和边界的声学特性。该方法基于Ritz方法，使用Chebyshev多项式作为试函数，并采用蒙特卡洛方法处理复杂域中的区域积分。采用了具有倾斜壁的矩形声腔，并通过本文提出的方法验证了其准确性和收敛性。此外，还研究了三种声腔的声学响应

CRediT作者贡献声明

赵鹏城：撰写——原始草稿、可视化、软件、形式分析、概念化。曹一鹏：撰写——审阅与编辑、验证、监督、资源管理、项目管理。刘一军：可视化、验证。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。