从微观力学到结构预测：单元格构型在直接FE2方法分析单向复合材料横向裂纹中的作用

《Composite Structures》：From micromechanics to structural prediction: The role of unit cell configurations in transverse cracking of unidirectional composites using direct FE2

　　穆罕默德·拉伊汉·菲尔道斯|塔塔奇普塔·迪尔甘塔拉|萨特里奥·维卡克索诺|安妮莎·朱苏夫|迪托·普伦甘|文森特·本格·切·坦
印度尼西亚万隆市甘内沙街10号，万隆理工学院机械与航空航天工程系，邮编40132

**摘要**
Direct FE2是一种将微观尺度与宏观尺度的独立有限元模拟整合为单一模拟的方法。该方法被用于分析连续体宏观尺度下的异质材料，同时考虑其微观力学特性。在传统的多尺度FE2模拟中，宏观尺度单元的本构行为是通过简化后的单纤维单元模型经均匀化处理得到的。这种模型代表了复合材料中特定的纤维体积分数，从而产生相应的力学行为。然而，这类模型往往忽视了纤维间距离的影响，而纤维间距离实际上会显著影响复合材料的损伤起始与发展过程。本研究应用Direct FE2框架，探讨了玻璃纤维/聚丙烯单向复合材料的代表性单元中纤维间距离及纤维排列对材料性能的影响。研究结果表明，单元内的不同纤维配置会改变材料的横向损伤行为；此外，合理设计的单元可在保持与具有更多纤维的统计代表性单元相同预测精度的同时，降低计算成本。

**引言**
多尺度模拟方法在异质材料及复合材料领域的应用日益广泛，它能够根据微观结构特征预测宏观结构响应。这些方法旨在通过将微观机制与宏观性能相联系，实现不同长度尺度上的材料行为关联[1] [2] [3] [4]。通过解析微观尺度上的基本机制，如塑性起始与损伤发展过程，多尺度框架能够为非弹性材料行为提供基于物理的描述[5] [6] [7] [8]。早期的研究已展现出该方法的潜力——例如，Smit等人[9]采用了包含微观与宏观离散化的多层有限元公式，通过均匀化处理来考虑大变形与粘弹性效应。近期，Herwig等人[10]则应用了基于介观RVE的并行方案，将介观行为与结构尺度上的黏结元素相结合，用于模拟双悬臂梁的分层现象。

多尺度模拟策略通常可分为两大类：层次化方法与并行方法[11]。在层次化（或顺序）框架中，微观问题与宏观问题分别求解，信息以单向方式传递。首先通过均匀化计算出有效的材料属性，再将其输入结构尺度模型以进行各类响应预测[12] [13] [14]。这种方法已被广泛应用于竹子-环氧树脂复合材料的校准[15] [16]、低速冲击研究[17] [18]、冲击后的压缩行为研究[19] [20] [21]，以及与相场方法结合的交错结构分析[22] [23]。近期的应用表明，这类方法具有很强的灵活性，从传统的数据库技术[24]到依赖高密度数据集以提高精度的更先进的子域搜索策略[25]均有应用。此外，新兴的数据驱动[26] [27]以及基于机器学习的方法[28] [29] [30]进一步提升了层次化多尺度分析的实用性，它们能够实现微观尺度与宏观尺度之间的高效、基于替代模型的映射。不过，由于这些方法仍依赖于均匀化处理，且无法捕捉加载过程中的微观结构演变，因此人们开始采用并行多尺度方法，即同时求解微观与宏观场量。

在并行多尺度方法中，多个长度尺度上的响应可同时计算[31] [32] [33]。这一框架已在多种类型的RVE研究中取得了重大进展，涵盖颗粒系统[34] [35] [36]、编织结构[15] [37] [38] [39]以及编织复合材料[20] [40] [41] [42]。它还推动了各种计算策略的发展，包括域分解技术[43]以及耦合有限元-FFT方案[44]。除此之外，Fish等人[45]开发了一种基于“单位分割”原理的多尺度框架，可将均匀化方法扩展到那些不存在明确尺度分离的问题中。Samilauer等人[46]也将并行多尺度策略应用于断裂预测，他们利用重复单元细胞来估算编织复合材料的断裂能。在用于模拟异质材料的并行多尺度方法中，最新的进展之一便是Direct FE2方法[47] [48]。

在Direct FE2方法中，微观力学模型，即RVE或单元细胞，被直接嵌入到与宏观模型相同的有限元模型中[49]。在宏观元素的每个高斯点处，都会放置一个代表微观尺度上复合材料结构的单元细胞[50] [51] [52] [53]。随后，通过建立多点约束，可实现模拟过程中微观与宏观行为之间的关联。此外，还会在微观力学模型中引入周期性边界条件，以确保微观结构在相反边界间的连续位移。与通常需要单独进行均匀化处理的层次化多尺度建模不同，Direct FE2方法能够直接从微观力学行为出发计算宏观响应。因此，不同尺度下的材料响应都可以在统一的计算框架内得到描述。在Direct FE2方法中，宏观响应d可通过缩放矩阵L从微观位移d?中直接得出，即d=Ld?[49]。由此可见，选择合适的单元细胞对于获得准确结果至关重要。

Tan等人[49]研究了RVE网格划分策略及二次宏观元素对Direct FE2中载荷-位移响应的影响。Koyanagi等人[51]应用Direct FE2分析了圆柱形碳纤维增强塑料的应变率依赖型压缩破坏行为，而Raju等人[50]则研究了角向层合板的非线性剪切与损伤行为。在薄壳复合材料建模方面，Xu等人[47]与Zhi等人[48]分别基于Kirchhoff–Love理论与Mindlin–Reissner壳理论实现了Direct FE2公式。尽管这些研究展示了Direct FE2方法的广泛应用前景，但由于该方法的计算成本较高，它们通常使用具有相对简单周期性纤维排列的RVE。相比之下，那些不依赖Direct FE2、且纤维数量众多的高精度微观力学研究表明，纤维填充密度、空间分布以及纤维间间距会显著影响横向强度的预测结果。不过，据作者所知，目前尚无研究全面探讨单元细胞配置——尤其是纤维分布与纤维间间距——对Direct FE2方法中均匀化结果精确度的影响。

已有不少研究致力于确定微观力学模拟中的单元细胞形式。Swaminathan等人结合统计方法与光学显微图像分析技术，为含有非均匀分布夹杂物的弹性复合材料，以及存在界面脱粘现象的纤维增强微观结构，找到了统计等效的代表性体积元素[SERVE][54] [55]。Hassanzadeh-Aghdam等人提出了用于模拟碳纳米管涂层复合材料以及具有不同界面特性的形状记忆聚合物纳米复合材料的简化单元细胞设计[SUC][56] [57]。Pulungan等人[58]则提出了一种基于光学显微镜数据的几何两点概率函数，通过系统化、定量化的方法来确定统计RVE模型。总体而言，这些研究都强调了在预测复合材料行为时，准确表征微观结构形态的重要性。

Swaminathan与Ghosh[55]通过临界界面损伤分数，研究了RVE中纤维数量对复合材料响应的影响，结果表明，将纤维数量从约100增加至250以上，仅会使响应变化约3%。Li等人[29]则尝试通过结合微观力学与机器学习方法，建立一种与微观结构相关的强度准则，以综合考虑体积分数与纤维分布的影响。这些研究共同表明，仅增加RVE规模或单纯提升纤维数量并不足以完全捕捉由微观结构引发的界面效应。Pulungan等人[58]进一步指出，在使用包含数百根纤维的统计生成RVE进行横向裂纹预测时，纤维间间距具有重要意义；不过，这类高精度微观力学模型的计算成本极高，且仅适用于微观尺度研究。与之相比，本研究通过为Direct FE2并行多尺度框架设计出计算效率更高的单元细胞配置，无需依赖过大量的纤维即可实现准确的横向强度预测，从而解决了上述问题。

本研究提出了一种改进Direct FE2多尺度建模方法的方法，通过研究单元细胞配置——与纤维体积分数无关——对玻璃纤维/聚丙烯单向复合材料的横向开裂行为的影响，提升了该方法的精度。本文首先介绍了Direct FE2方法，随后阐述了用于材料建模的本构模型。接着，介绍了在宏观元素的高斯点处各放置一个单元细胞的二维单元细胞配置，用于分析横向拉伸载荷作用下的材料行为。此外，还在使用Direct FE2解决结构问题时引入了具有不同特征的单元细胞模型，以评估单元细胞配置在多尺度分析中的重要性。最后，本文给出了研究结果并进行讨论，以得出结论。除了这一案例研究之外，这些研究结果还可应用于其他需要建立RVE或单元细胞以提升复合材料力学行为预测精度、同时避免过度消耗计算资源的微观力学或多尺度分析中。

**Direct FE2公式**
构成固体力学有限元公式基础的虚功原理，也是Direct FE2方法的理论依据[49]。该原理提供了关联内部与外部虚功的一般框架，其表达式为：
∫Vδui,jσijdV=∫VδuibidV+∫Sδuitids
其中，u、σ、b和t分别代表位移张量、应力张量、体力以及表面牵引力。当采用高斯求积法对方程(1)的左侧进行数值积分时……

**材料与本构模型**
如图7所示，本研究中的单元细胞由三种不同的相组成。在复合单元细胞中，基体为聚丙烯热塑性材料，而增强相则采用E玻璃纤维的力学特性进行建模。最为重要的是，模拟中还考虑了基体与纤维之间的界面效应。本研究中所使用的所有材料参数均取自Yudhanto等人[76]的实验数据。

**单元细胞配置的影响**
本节探讨了单元细胞配置对单向玻璃纤维/聚丙烯复合材料在横向拉伸作用下的行为影响。研究中分析了几种不同的单元细胞配置，包括4纤维简单单元细胞与半随机化单元细胞。对于简单单元细胞，共设计了四种配置：(i)分散型配置；(ii)聚集型配置；(iii)改良菱形配置；以及(iv)改良六边形配置。之后，又研究了三种半随机化配置……

**结论**
本文通过将不同配置的单元细胞纳入Direct FE2的多尺度模拟中，研究了纤维间距、纤维位置以及纤维排列对玻璃纤维/聚丙烯单向复合材料的基体相横向损伤的影响。所设计的模型克服了传统仅依赖纤维体积分数的单元细胞设计所存在的缺陷，这类传统设计包括六边形、菱形以及矩形配置。

**作者贡献说明**
穆罕默德·拉伊汉·菲尔道斯：撰写——审稿与编辑、撰写——初稿、可视化、验证、研究、正式分析、数据整理、概念构建。
塔塔奇普塔·迪尔甘塔拉：撰写——审稿与编辑、验证、监督、概念构建。
萨特里奥·维卡克索诺：撰写——审稿与编辑、验证、监督、研究、概念构建。
安妮莎·朱苏夫：撰写——审稿与编辑、验证、监督、概念构建。
迪托·普伦甘：撰写——审稿与编辑……

**利益冲突声明**
作者声明，他们不存在任何可能影响本文所述工作的已知财务利益或个人关系。