时变随机微分方程的随机θ方法的强收敛性与Mittag-Leffler稳定性

《Applied Mathematics and Computation》：Strong convergence and Mittag-Leffler stability of stochastic theta method for time-changed stochastic differential equations

　　陈静伟|叶军|陈金文|王志东 中国北京清华大学姚期智数学科学中心，邮编100084

摘要
本文提出了一种新的α参数化框架，用于求解时变随机微分方程（TCSDEs），并将收敛速率与底层随机过程的驱动参数明确联系起来。在理论上，我们利用Mittag-Leffler函数得到了逆α稳定子过程E的精确矩估计和指数矩估计。对于由时变布朗运动驱动的一类通用SDEs，其系数具有时空依赖性且满足局部Lipschitz条件，我们研究了随机θ方法的应用。我们证明了收敛阶会动态响应稳定子过程D的稳定性指数α，从而弥补了传统方法将这些因素独立处理的不足。此外，我们还为TCSDEs的精确解和数值解提出了Mittag-Leffler稳定性概念，并在此框架下建立了严格的稳定性准则。通过全面的数值模拟验证了所有理论结果，并展示了所提方法的有效性。

引言
由时变布朗运动驱动的随机微分方程（SDEs），也称为时变SDEs（TCSDEs），已成为建模具有陷阱、等待或延迟现象的复杂系统的基本工具。这类现象在数学金融[1]、[2]、物理学[3]、生物学[4]、[5]以及水文学[6]等领域极为常见。例如，时变过程可以描述金融市场中的周期性停滞现象。Magdziarz [1]将亚扩散引入期权定价中，结果表明时变Black-Scholes模型的表现优于原始模型。关于时变随机微分方程、时间分数Fokker-Planck方程（FFPE）以及亚扩散之间的通用理论及三角关系，可在[7]中找到详细研究。

然而，实践中遇到的大多数TCSDEs都无法得到封闭形式解，这就需要开发数值近似方案。现有研究并未将随机θ方法应用于TCSDEs，也未分析过局部Lipschitz条件的情况。同时还有两个关键问题需要解答：
(Q1) 稳定性指数α是否本质上限制了数值方法的强收敛阶？
(Q2) 能否改进传统的稳定性分析，以明确纳入α的影响？具体而言，我们能否建立一种稳定性准则，不仅能确保解的有界性，还能体现由稳定性指数α决定的特征性Mittag-Leffler衰减行为？

本文研究了ST方法的α缩放强收敛性，以及具有时空依赖系数的以下TCSDEs的精确解和数值解的新增Mittag-Leffler稳定性：Xt=x0+∫0tF(s,Xs)dEs+∫0tG(s,Xs)dBEs，其中系数F和G满足某些非全局Lipschitz条件，B=(Bt)t≥0是标准布朗运动，而E=(Et)t≥0则是与B无关的、具有α?∈(0, 1)的α稳定子过程D=(Dt)t≥0的逆过程。建立这样的α敏感框架将为这类SDEs的数值分析提供理论基础和更广泛的应用可能性。

时变过程是指通过另一个非递减过程Tt对随机过程Zt的时间进行变换后得到的新过程ZTt，该非递减过程被称为随机时钟或依赖过程。两个过程可以是独立的，也可以是相关的。这样一来，经典的SDEXt=x0+∫0tF(s,Xs)ds+∫0tG(s,Xs)dZst就会转化为TCSDEs，即Xt=x0+∫0tF(s,Xs)dTs+∫0tG(s,Xs)dZTs。一种常见的从属过程是B°E=(BEt)t≥0，称为时变布朗运动，其中B=(Bt)t≥0是标准布朗运动，E=(Et)t≥0则是与B无关的、具有无限Lévy测度的子过程D=(Dt)≥0的逆过程。时变布朗运动的泛化形式主要包括时变分数布朗运动[8]、[9]、[10]以及由时变半鞅驱动的SDEs[11]。此外，TCSDEs还可以由Lévy噪声驱动，相关研究可见[12]、[13]、[14]。

当比较具有时空依赖系数的广义TCSDEs类别（1）与Xt=x0+∫0tF(Xs)dEs+∫0tG(Xs)dBEs时，主要挑战在于控制过程演变的内部时间变化Es与系数函数中的外部时间变量s之间的不同步问题。如果二者同步，即dXt=F(Et,Xt)dEt+G(Et,Xt)dBEt，X0=x0，那么我们就可以利用TCSDEs与经典It? SDEs之间的对偶原理，从而简化很多工作。更准确地说，对偶原理将TCSDEs（3）与对应的经典It? SDEdYt=F(t,Yt)dt+G(t,Yt)dBt，Y0=x0联系起来。如果Yt满足方程（4），那么Xt:=YEt就满足方程（3）；反之，如果Xt满足方程（3），那么Yt:=XDt就满足方程（4）。因此，分析TCSDEs的强收敛性主要有两种方法。利用对偶原理，Jum和Kobayashi [15]在系数满足标准Lipschitz假设的前提下，研究了SDEs的欧拉-马鲁亚马方案的强收敛性和弱收敛性。Liu等人[16]采用了截断欧拉-马鲁亚马方法来近似方程（1），该方法要求时间变量具有H?lder连续性，状态变量则具有超线性增长特性。Deng [17]则为具有超线性增长系数的方程（3）建立了向后欧拉-马鲁亚马方案。对于一大类由时变布朗运动驱动的SDEs（1），由于其系数形式更为复杂，因此无法应用对偶原理。Jin和Kobayashi [18]研究了方程（1）的欧拉-马鲁亚马方案。Jin和Kobayashi [19]则在时间变化的Lipschitz界限条件下，研究了包含随机积分器和非随机积分器的TCSDEs的欧拉-马鲁亚马方案与Milstein方案的收敛性。

SDEs解的稳定性行为包括精确解的稳定性以及数值方法的数值稳定性。对于由时变半鞅驱动的SDEs，已有大量关于TCSDEs解析解的文献，但关于数值稳定性的研究却相对较少。对于由时变布朗运动驱动的SDEs，Kobayashi[11]证明了TCSDEs强解的存在唯一性定理，并通过其显式解给出了线性TCSDEs的稳定性结果。Wu [20]研究了由稳定子过程的逆过程驱动的SDEs的样本路径稳定性以及p阶矩渐近稳定性，但这些研究均不涉及时空依赖系数。Deng [17]表明，对于没有时空依赖系数的TCSDEs，向后欧拉-马鲁亚马（BEM）方法的数值均方多项式稳定性得以保持。Zhu、Li和Liu [21]研究了具有时空依赖系数的TCSDEs的几乎必然指数稳定性以及p阶矩指数稳定性。Li、Xu和Ma [22]给出了确保全局吸引集存在的充分条件，并证明了由时变布朗运动驱动的随机泛函微分方程（SFDEs）的指数稳定性。He等人[23]为一类由时变布朗运动驱动的SFDEs给出了p阶矩η稳定性和均方η稳定性的充分条件。Zhang和Yuan [24]、[25]分别给出了具有马尔可夫切换的时变SFDEs的指数稳定性以及具有马尔可夫切换的时变随机延迟微分方程解的渐近稳定性的充分条件。Shen、Zhang、Song和Wu [26]证明了由时变布朗运动驱动的、依赖于分布的SDEs的强解的存在唯一性定理，并得到了不同意义下的稳定性充分条件。对于由时变Lévy噪声驱动的SDEs，Nane和Ni [13]、[27]将[20]中的结果推广到由一般Lévy子过程的逆过程驱动的SDEs上，研究了其指数稳定性、概率稳定性以及渐近稳定性。Yin [28]研究了受脉冲效应影响的、由时变Lévy噪声驱动的非线性SDEs解的稳定性，同时还研究了某些含有脉冲的不稳定时变微分方程的随机扰动问题。Xu和Li [29]研究了一类由时变Lévy噪声驱动的SFDEs的h稳定性。

本文对问题（Q1）和（Q2）给出了肯定答案，其主要贡献如下：
•广义数值方案与系数条件：虽然ST方法是一种非常重要的隐式方法，且已在It? SDEs及其他变体问题上得到了深入研究[30]、[31]，但其在TCSDEs上的应用尚待探索。基于[19]的研究思路，我们的创新之处在于：（i）无需借助对偶原理，将该方法应用于系数具有时空依赖性的TCSDEs；（ii）将系数假设放宽为局部Lipschitz条件。
•逆子过程E的广义矩估计：我们利用Mittag-Leffler函数的性质推导出了精确公式（定理2.1和定理2.2）。
•精确解的广义矩不等式：我们为精确解建立了更为精细的、对α敏感的界限（定理3.1和引理3.1）。
•新的动态收敛阶：我们的分析不仅确定了ST方案的收敛速率，还表明其强收敛阶会随着稳定子过程D的稳定性指数α而发生明显变化。这一结论体现在定理4.3中，弥补了传统分析中将随机时钟和离散化方案视为相互独立因素的缺陷。
•为TCSDEs引入Mittag-Leffler稳定性概念：我们为TCSDEs提出了一种全新的稳定性概念（定义5.1），该概念能够准确描述由Mittag-Leffler函数Eα所决定的、类似代数式的缓慢衰减行为，而这正是亚扩散系统的典型特征。此外，我们还基于Lyapunov理论建立了这种稳定性的判定准则（定理5.1）。该定理明确指出，时间变化的稳定性指数α是决定系统矩值长期衰减率的关键参数，从而为经典指数稳定性（即α=1的特殊情况）提供了一个统一的分析框架。
•对数值Mittag-Leffler稳定性的严格分析：我们为离散化方案引入了数值Mittag-Leffler稳定性概念（定义6.1），并为ST方法给出了严格的稳定性准则（定理6.1）。我们的研究结果表明，当θ?∈?[1/2, 1]时，无论步长如何，该方法都能保持稳定性；而当θ?∈?[0, 1/2)时，只有在反映系统固有耗散和噪声结构的步长限制下，该方法才能保持稳定性。

本文的结构如下：第2节中，我们研究了底层子过程D的性质，推导出了逆稳定子过程E的矩估计和指数估计的精确公式。第3节中，我们在单调性条件下得到了方程（1）精确解的精确矩界限，同时还估计了该精确解在有限时间区间内不会发散的概率。此外，我们还为任意两个精确解之差建立了矩界限。所有这些估计结果都对α敏感。第4节中，我们研究了ST方法的强收敛性。在证明主定理之前，我们首先定义了一个依赖于系数F和θ的函数f，然后证明了方程f(x)=b的解的存在唯一性。接着，我们证明了STM方案（22）的均方有界性。随后，我们展示了FBEM方案（29）与STM方案（22）在紧致域上始终保持接近的关系，并估计了两种方案在有限时间区间内都不会发散的概率。最后，我们利用之前的研究成果证明了ST方法的α缩放强收敛阶。第5节中，我们为TCSDES引入了Mittag-Leffler稳定性概念，并证明了相应的稳定性定理。第6节专门用于分析数值解的均方Mittag-Leffler稳定性。最后，在第6节中，我们通过几个示例来说明主要结果的实用价值与重要性。

片段摘录
逆子过程及相关矩
在本文中，设(Ω,F,P)为一个完备的概率空间，其上存在满足常规条件的过滤过程{Ft}t≥0（即右连续且单调递增，且F0包含所有P零集）。设D=(Dt)t≥0为一个起始值为0的子过程，其Laplace指数为ψ，杀灭率为0，漂移率为0，Lévy测度为v；也就是说，D是一个一维的非递减Lévy过程，其路径从0开始且具有càdlàg性质，其Laplace变换为E[e?ξDt]=e?tψ(ξ)，其中Laplace指数ψ: (0, ∞)?→(0, ∞)的表达式为ψ(ξ)=∫0∞(1/α-

依赖矩估计
在本文的其余部分，仍设(Ω,F,P)为一个完备的概率空间，其上存在满足常规条件的过滤过程{Ft}t≥0。设E为一个稳定性指数为0?<α<1且具有无限Lévy测度的稳定子过程D的逆过程。设B为一个与D无关的标准布朗运动。考虑如下TCSDEs：Xt=x0+∫0tF(s,Xs)dEs+∫0tG(s,Xs)dBEs，?t∈[0,T]，其中x0∈Rd是一个非随机常数，T?>0是一个有限时间范围，F(t,x):[0,T]×Rd→Rd和G(t,x):[0,T]×Rd→Rd×m都是可测函数。

ST方案的α缩放强收敛性
为了解析SDE（1）的解Xt，我们首先需要在区间[0, T]上近似逆子过程E，然后再近似时变布朗运动B°E。对E的近似依赖于子过程D。选定一个等距步长δ?∈(0, 1)和一个时间范围T?>0。我们首先通过设置D0=0以及Diδ:=D(i?1)δ+Zi，i=1,2,3,…，来模拟子过程D的样本路径，其中{i.i.d.序列{Zi}i∈N的分布为Zi=dDδ。人们可以通过某种方式生成随机变量Zi。

Mittag-Leffler稳定性
在确立了ST方法的强收敛性之后，我们将进一步研究底层TCSDE（1）的矩稳定性。我们为TCSDE提出了基于Mittag-Leffler意义下的新稳定性定义，并探讨了Lyapunov直接方法。假设F(0,0)=G(0,0)=0。

定义1：若对于任意初始值x0∈R，存在常数C、υ、p＞0以及0＜α＜1，使得E[|Xt|p]≤C|x0|pE[e?υEt]，或等价地E[|Xt|p]≤C|x0|pEα(?υtα)，其中Eα(z)=∑k=0∞zkΓ，则称TCSDE（1）的解是p阶Mittag-Leffler稳定的。

数值Mittag-Leffler稳定性

定义2：对于给定的步长δ＞0，若对于任意初始值x0∈R，存在常数C、γ＞0以及0＜α＜1，使得E[|X?τn|2]≤C|x0|2Eα(?γ(nδ)α)，其中Eα(z)=∑k=0∞zkΓ(αk+1)是一参数Mittag-Leffler函数，则称ST方法对TCSDE（1）是均方Mittag-Leffler稳定的。

我们需要以下假设。

假设6：存在正常数λ，使得对于所有x∈Rd，有〈x,F(t,x)〉+12|G(t,x)|2≤?λ|x|2。

定理8：在假设6.1成立的前提下，假设存在常数K5，使得|F(t,x)|2≤K5|x|2，那么：
1) 若θ

数值模拟

本节通过几个示例来展示TCSDE的性质以及我们之前证明的结果。对于给定的步长δ，ST方法对方程（1）的精确解和数值解可通过以下方式模拟：
1) 以步长δ模拟稳定子过程Dt的一条路径。（可参考[43]）
2) 利用公式（17）求出相应的近似逆子过程Et?。Et?可通过公式（18）高效地近似Et。
3) 直接模拟精确解。