具有时变延迟的分式线性系统的事件触发镇定：基于Halanay不等式的方法

《Applied Mathematics and Computation》：Event-triggered stabilization of fractional linear systems with time-varying delays: A Halanay inequality approach

　　施雨楚|杜菲菲|张世龙 中国西北农林科技大学理学院，杨凌712100 摘要 本文研究了具有时变延迟的分数阶线性系统的稳定性问题。首先，利用Mittag-Leffler函数的次乘性，构建了一个包含具有Mittag-Leffler衰减特性的扰动项的新分数阶Halanay不等式。其次，将李雅普诺夫稳定性理论与所提出的Halanay不等式相结合，在设计的事件触发控制方案下，以线性矩阵不等式的形式给出了Mittag-Leffler稳定性准则。此外，通过基于不等式的技术严格证明了系统中不存在齐诺行为，从而确保了所提控制策略的实际可行性。最后，通过两个数值算例验证了理论结果。引言 分数阶微积分通过将微分和积分推广到任意阶，扩展了传统的整数阶微积分。由于其固有的记忆性和遗传特性，这一数学框架为复杂动态系统提供了更强的建模能力[1]，从而引发了人们对分数阶系统的大量研究兴趣[2][3][4]。尽管这类系统在理论上具有优势，但其实际应用需要严格的稳定性分析——尤其是在考虑现实应用中不可避免的时间延迟时，这些延迟可能会引发系统的不稳定或振荡行为[5]。分数阶延迟系统的稳定性分析面临着巨大挑战。与传统的李雅普诺夫-克拉索夫斯基方法相比，Halanay不等式为那些具有不可微甚至无限大延迟导数的系统提供了一种有效的分析工具[6][7][8]。最近的进展使得人们开发出了结合了Mittag-Leffler函数次乘性特性的分数阶Halanay不等式[9][10]。虽然这些不等式能够建立系统的渐近稳定性，但无法描述系统解的衰减速率。为弥补这一缺陷，进一步的研究利用Mittag-Leffler函数的次乘性特性推导出了更强的分数阶Halanay不等式[9][10]。然而，这些结果仍然不完整，因为它们没有考虑受到外部扰动的系统。尽管现有研究已经探讨了受外部扰动函数影响的系统[11][12]，即使是那些具有Mittag-Leffler型衰减特性的系统，它们也仅能给出x(t)的上界估计，无法保证其趋于零。要克服这些限制，还需要进一步的研究。从实现角度来看，事件触发控制是一种节能的控制策略，其核心思想是在满足预定条件时才进行系统更新，从而有效降低通信和计算负担[4][13]。近年来，随着研究的不断深入，该方法已被扩展到分数阶时延系统，取得了一系列重要进展：例如，为循环神经网络提出了同步框架[14]，对开关耦合网络进行了投影同步分析[15]，还为霍普菲尔德神经网络建立了渐近稳定性准则[16]。然而，尽管取得了这些成就，仍存在一个根本性的实现难题——如何避免齐诺行为，即在有限时间内发生无限多次触发事件。显然，解决这一问题不仅是确保事件触发控制在分数阶时延系统中得以应用的必要步骤，也是其在工程实践中得到广泛应用的先决条件。基于以上分析，本文提出了一种新的框架，用于研究在事件触发控制作用下分数阶线性时延系统的Mittag-Leffler稳定性。该框架的主要思想和技术要素包括：构建具有Mittag-Leffler衰减特性的分数阶Halanay不等式、设计事件触发控制机制，以及以线性矩阵不等式的形式给出与延迟相关的稳定性准则。本文的后续章节将依次阐述这些内容。具体而言，第2节介绍必要的数学背景；在第3节的基础上，构建新的分数阶Halanay不等式；第4节则介绍事件触发控制问题以及一种新的触发策略；第5节为受控系统引入Mittag-Leffler稳定性准则；第6节通过数值仿真验证理论结果；最后，第7节总结本文的主要贡献，并探讨未来的研究方向。符号说明：N表示非负整数集，R+表示非负实数集。对于向量x∈Rn，其欧几里得范数记为‖x‖，而方阵A1∈Rn×n的谱范数记为‖A1‖。n×m矩阵A2的转置记为A2?。对于对称矩阵R∈Rn×n，符号R<0（R>0）表示R是负定（正定）矩阵，μmax(R)表示其最大特征值。对于时变值t1,t2∈R，上确界范数∥x‖t1t2定义为supt1≤s≤t2{x(s)}。Γ(·)表示伽马函数，a∨b（a∧b）分别表示max{a, b}（min{a, b}），其中a,b∈R。此外，AC[0, T]表示定义在区间[0, T]上的绝对连续函数空间。部分内容预览 基础知识 为构建本文的理论框架，首先回顾了分数阶微积分中的一些基本概念和辅助结果。这些定义和引理在后续分析中会被反复使用，是推导主要结果的基础。定义1 [17] 假设0<α<1且x∈ac[0, t]，则x的caputo导数为cd0αx(t)=1/Γ(1?α)∫0^t x′(τ) (t?τ)^α dτ，其中γ(α)=∫0^∞ t^α?1 e^?t dt。当α=1时，根据[18]，Caputo导数就退化为传统的阶数为一的导数。分数阶Halanay不等式 本节提出了一个新的分数阶halanay不等式，它是分析mittag-leffler稳定性以及在分数阶线性时延系统中实施事件触发控制的基本工具。引理7 假设ω1、ω2、ω3、ρ均为正常数，且ω1>ω2+ω3。设x∈C1(R+,R+)满足CD0αx(t)≤?ω1x(t)+ω2‖x‖^t?ρt+ω3‖x‖^?ρ0Eα(?ρt^α)。那么有x(t)≤‖x‖^?ρ0Eα(?(μ∧ρ)t^α)，其中μ∧ρ=min{μ,ρ}，且μ是方程ω1?ω3=ω2Eα(?μρ^α)+μ的唯一解。证明 设g(μ)=ω2Eα(?μρ^α)+μ+ω3?ω1。根据引理1可知，g(μ)是……问题表述 具有时变延迟的分数阶线性系统可表示为{CD0αx(t)=Xx(t)+Yx(t?τ(t))+Zu(t)，t∈R；x(s)=η(s)，s∈[?ρ,0]}，其中X、Y∈Rn×n，Z∈Rn×m为常数矩阵，η∈C([?ρ,+∞),Rn)，u(t)=Kx(t)，x(t)∈Rn。时间延迟τ(t)∈[0, ?]，且?>0。定义4 [10] 假设0<α<1且μ、β>0。如果系统(11)的解满足∥x(t)∥≤[n(‖η‖)Eα(?μ(t?t0)^α)]β，?t>t0，其中n(s)为非负函数，满足n(0)=0且具有局部利普希茨性质，则认为该系统具有Mittag-Leffler稳定性。Mittag-Leffler稳定性准则 本节利用引理7来确定K的值，并确定方程(12)中的参数ω3、ρ和σ。通过这些参数，不仅可以确保系统(14)具有Mittag-Leffler稳定性，还能避免出现齐诺行为。定理1 设F=ZK。假设存在ω2、h>0，U∈Rn×n且U>0，以及K∈Rm×n，使得L=[(X+F)U+U(X?+F?)+(ω2+h)UYUUY??ω2U]为严格负定矩阵。那么系统(14)具有Mittag-Leffler稳定性，即∥x(t)∥≤‖P‖^?ρ0Eα(?(μ∧ρ)t^α)μmin(R)，其中R=U^?1，μ为……示例 本节通过两个数值算例来验证理论结果。示例1 考虑如下分数阶系统：CD0αx(t)=?ax(t)+bx(t?ρ)+cEα(?ρt^α)，t≥0，其中α=0.5，a=3，b=1，c=0.5，ρ=0.5，σ=2。当t∈[?0.5,0]时，x(t)=?(t)=1，且对所有s∈[?0.5,0]，都有|x(t)|=1。令V(t)=x(t)^2。根据引理6，有CD0^0.5V(t)≤2x(t)CD0^0.5x(t)。因此CD0^0.5V(t)≤2x(t)(?ax(t)+bx(t?ρ)+cE^0.5(?ρ^0.5))=?2aV(t)+2bx(t)x(t?ρ)+2cx(t)E^0.5(?ρ^0.5)。应用杨氏不等式，可得2bx(t)x(t?ρ)≤b^2x(t)^2+x(t?ρ)^2=b^2V(t)+V(t?ρ)，2cx(t)E^0.5(?ρt)……结论 本文提出了一种用于分析分数阶线性时延系统稳定性的新Halanay不等式。基于该不等式，本文在事件触发控制方案下，以线性矩阵不等式的形式推导出了与延迟相关的Mittag-Leffler稳定性准则，同时有效避免了齐诺行为。本文的主要贡献可归纳为以下几点：1) 提出了一种包含Mittag-Leffler型扰动项的新Halanay不等式。