基于小波的新型方法的发展，用于解决存在卡普托-卡图甘波拉分数阶导数的特定类别的分数阶最优控制问题

《Applied Numerical Mathematics》：Development of novel wavelet-based method to solve a specific class of fractional optimal control problems by the presence of the Caputo-Katugampola fractional derivative

　　艾哈迈德·卡里姆·穆塔沙尔|梅赫尔达德·拉凯斯塔尼|埃尔米拉·阿什帕扎德|宾·汉
伊朗大不里士大学数学、统计学与计算机科学学院

摘要
本文采用分数阶阿尔珀特多小波方法，构建了一种谱域直接法，用于求解包含卡普托-卡图甘波拉分数阶微分方程的分数阶最优控制问题。通过引入一种新的导数算子及相应的正交基，可有效简化卡普托-卡图甘波拉导数的计算过程。本文还给出了与分数阶基相关的若干重要理论结果和分析。通过多个实验问题对数值结果进行了验证。

引言
分数阶微积分在生物医学工程、光学与图像处理、柔性结构主动控制以及广义粘弹性系统等诸多领域推动了现代数学的发展[1]、[2]，因为在这些领域中，传统的整数阶方法往往无法准确描述系统的动态特性。虽然分数阶积分的定义较为唯一，但分数阶导数却存在多种表述形式，包括卡普托导数、黎曼-刘维尔导数以及哈达玛德导数[1]、[2]。最优控制问题在航空航天工程、量子力学以及航天飞机动力学等领域普遍存在。阿什帕扎德等人[4]、[5]提出了基于导数正交小波方法和卡迪纳尔厄米插值多尺度函数的有约束最优控制问题的近似解法。随着分数阶微积分在各类工程学科中应用范围的不断扩大，基于该理论模型的研究也日益增多。因此，许多研究开始探讨包含分数阶成分的最优控制问题，即动态约束或性能指标中的至少一项包含分数阶导数。由于分数阶最优控制问题能够比整数阶对应模型更准确地描述各种现象，因此受到了众多研究人员的关注。然而，对于非线性分数阶最优控制问题，通常难以获得解析解；即便存在解析解，其表达形式往往也极为复杂。因此，亟需开发出能够有效处理这类问题的高效数值方法。

阿格拉瓦尔[16]提出了一类分数阶最优控制问题的通用框架，其结构与传统最优控制问题十分相似。阿什帕扎德等人[17]则针对受不等式约束的多维分数阶最优控制问题，开发了双正交多小波方法。萨胡、萨哈和雷[18]则采用了正交小波技术来求解分数阶最优控制问题。阿卜杜勒哈克姆等人[19]使用移位切比雪夫多项式来估计解，而哈萨尼[20]则利用广义伯努利多项式来解决非线性分数阶最优控制问题。海达里等人[21]、[22]研究了带约束的分段分数阶最优控制问题，随后他们又将分段切列什科夫函数应用于此类问题的求解[23]。自由终了时间分数阶最优控制问题的数值研究见[24]，而基于勒让德谱配置方法的近似解策略则见于[25]。有文献[26]提出了利用分数阶切比雪夫小波求解变阶分数阶最优控制问题的数值方法。另一项研究则采用了分数阶分段伯努利函数来处理分数阶最优控制问题[27]。拉布伊等人[28]提出了基于布巴克尔小波的非线性分数阶最优控制问题求解方法。为处理具有时滞的最优控制问题，马梅赫拉希[29]提出了基于里茨方法的近似解法。马尔兹班[30]则采用结合块脉冲函数与分数阶切比雪夫函数的混合方案，来处理由非线性多时滞系统驱动的最优控制问题。卡拉米等人[31]提出了利用广义卢卡斯多项式求解一类非线性分数阶最优控制问题的间接方法。另有研究[32]引入了基于三次厄米样条函数的小波配置技术来求解最优控制问题，而[33]则研究了涉及卡普托-法布里齐奥分数阶导数的分数阶最优控制问题。在上述研究中，分数阶最优控制问题大多是基于黎曼-刘维尔导数或卡普托导数来构建的。

设Dα,ρ为卡普托-卡图甘波拉分数阶导数算子。本文研究的控制问题可表示为：
S1x˙(t)+S2Dα,ρx(t)=H(t,x(t))u(t)+R(t,x(t)),
x(a)=xa, x(tf)=xf，
其中S1、S2为非零常数，tf、xa、xf为固定的实数值。同时假设对于所有t∈[a, tf]，都有H(t,x(t))≠0。

该控制问题的目标是在满足方程(1.1)-(1.2)所定义的动态系统的前提下，确定最优控制函数u(t)以及相应的状态轨迹x(t)，并最小化以下性能指标：
minx,uJ(x,u,tf)=∫atfG(t,x(t),u(t))dt。

阿尔梅达等人[34]提出了一种新的分数阶算子——卡普托-卡图甘波拉导数，它既统一了卡普托导数与卡普托-哈达玛德导数，又对其进行了扩展。与其他分数阶导数定义相比，如阿坦加纳-巴莱亚努、卡普托以及卡普托-法布里齐奥所提出的定义，卡普托-卡图甘波拉导数具有更高的灵活性以及更好的特性。值得注意的是，除了分数阶参数外，它还包含一个额外的参数ρ，这一参数为建模复杂的现实世界现象提供了更多的自由度，从而提升了建模精度[35]。

尽管人们对分数阶最优控制问题越来越感兴趣，但针对涉及卡普托-卡图甘波拉分数阶导数的这类问题的研究相对较少，目前仅有少数数值方法被提出用于解决此类问题。例如，斯韦拉姆等人[36]就利用切比雪夫多项式研究了由卡普托-卡图甘波拉导数定义的最优控制问题。本文的主要目的便是基于分数阶阿尔珀特多小波方法，构建一种用于求解涉及卡普托-卡图甘波拉导数的分数阶最优控制问题的配置方案。据我们所知，这是文献中首次尝试将此类方法应用于这类问题。

本文的结构如下：第2节概述了分数阶微积分的基本数学知识，并介绍了分数阶阿尔珀特多小波的一些优点。第3节提出了与分数阶阿尔珀特多小波相关的新型导数算子。第4节阐述了所提出的数值方案的构建方法。第5节通过多个涉及分数阶最优控制问题的数值示例，证明了该方法的有效性与适用性。第6节对全文内容进行总结。

片段一：分数阶阿尔珀特多小波系统
本节回顾了与分数阶导数及阿尔珀特多小波相关的若干定义与结果。在引入分数阶阿尔珀特多小波的同时，我们还构建了分数阶积分运算矩阵。

定义2.1
对于α>0，黎曼-刘维尔分数阶积分Iαy([37]、[38]、[39])定义为：
Iαy(t)=1/Γ(α)∫0^t (t?s)^{α?1}y(s)ds, t>0，
其中Γ为伽马函数。三种不同的分数阶导数定义如下：
(1) 黎曼-刘维尔分数阶导数……

片段二：数值方法的设计
下文介绍了求解方程组(1.3)-(1.2)的关键步骤。该方法属于直接数值方法，具体包括以下阶段：
步骤1：利用方程(1.1)，可从方程(1.3)中消去控制变量u，得到简化后的表达式：
u(t)=1/H(t,x(t))(S1x˙(t)+S2Dα,ρx(t)?R(t,x(t)))。
将方程(3.1)代入方程(1.3)后，可得：
J(x,tf)=∫atf G(t,x(t),1/H(t,x(t))(S1x˙(t)+S2Dα,ρx(t)?R(t,x(t))))dt。

步骤2：误差估计

定义4.1
设Ω为R中的某个开集，则由下式定义的空间Hs(Ω)称为s阶索伯列夫空间：
Hs(Ω)={f∈L2(Ω) | f^α ∈ L2(Ω), ?α, 0≤α≤s}。
该空间的范数定义为：
∥f∥s,Ω=(∑α=0^s ∥f^α∥L2(Ω)^2)^(1/2)。

定理4.1[50, 51]
设f∈Hr[0, L]，PJα,r(x)为f在空间VJα上的投影，则有：
inf∥f(x)?PJα,r(f(x))∥L2([0,L])≤2^?rJ∥f∥r,[0,L]=O(2^?rJ)。
我们给出了卡普托-卡图甘波拉分数阶导数算子的误差界估计。

定理4.2
设α∈(0, 1)，ρ>0，考虑函数y(ζ)……

片段三：方法的验证与检验
本节利用所提出的数值框架，对几个示例问题进行了分析。在本研究中，Ex和Eu分别表示状态变量x(t)与控制变量u(t)的最大绝对误差，其定义如下：
Ex=max_{t∈[0,1]}|x(t)?PJα,r(x)|，
Eu=max_{t∈[0,1]}|u(t)?PJα,r(u)|。

示例5.1
我们研究如下定义的一个分数阶最优控制问题：
minJ(x,u)=∫0^1 (tu(t)?(αρ+2)x(t))^2dt，
约束条件为：
x˙(t)+D0+α,ρx(t)=u(t)+2ραΓ(α+2ρ+1)Γ(αρ+3)Γ(2ρ+1)，
初始条件为x(0)=0，x(1)=2Γ(αρ+3)。
对于任意……

结论
本研究提出了一种专为受卡普托-卡图甘波拉分数阶导数控制的分数阶最优控制问题设计的数值方案。该算法基于分数阶插值缩放函数框架，其基本理论性质已得到严格证明。通过利用该框架下对应的积分与微分算子，可将分数阶最优控制问题转化为非线性代数方程组……