双调和方程的改进型弱Galerkin方法

《Applied Numerical Mathematics》：A modified weak Galerkin method for the biharmonic equation

　　魏雅琪|王俊平
中国河南省新乡市河南师范大学数学与统计学院，453007

摘要
本文提出并分析了基于弱拉普拉斯算子的改进型弱Galerkin方法，用于求解双调和方程。为确保数值解的唯一性和存在性，设计了改进的稳定化机制。该新方法采用局部有限元空间，形式为(Pk(T),Pk?2(?T),Pk?2(?T))，k≥2，其中度数为k?2的多项式用于近似未知函数在每个元素边界上的迹及其法向导数。在不同Sobolev范数下建立了最优阶误差估计。通过数值算例验证了该新型弱Galerkin方法的有效性与可行性。

引言
本文旨在通过改进弱Galerkin有限元方法中常用的稳定化机制，开发一种新的数值方法来求解双调和方程。为简化问题，考虑如下模型：寻找未知函数u=u(x)，满足Δ2u=f在Ω内，u=g在?Ω上，?nu=χ在?Ω上，其中Ω是R2中的有界开多边形区域，f、g和χ为已知函数。此处?nu=?u·n，n为?Ω上的单位外法向量。对于问题(1.1)，常用的变分形式是寻找属于H2(Ω)的解u，使得u|?Ω=g，?nu|?Ω=χ，并且满足(Δu,Δv)=(f,v)，对所有v∈H02(Ω)成立，其中H02(Ω)={v∈H2(Ω)，v在?Ω上为零且?nv在?Ω上也为零}。

基于变分问题(1.2)为模型问题(1.1)设计协调有限元方法时，需要使用嵌入于H2(Ω)中的函数空间[1]。满足此要求的经典协调元素包括Argyris三角形、Bell三角形以及Bogner-Fox-Schmit矩形[1]。然而，由于严格的H2连续性要求，构建此类方法在科学计算中往往具有挑战性且难以实现。因此，人们提出了多种方法来放宽这些连续性约束，包括非协调和间断Galerkin方法。经典的非协调有限元例子包括基于(1.3)的Adini矩形[2]和Morley三角形[3]。此外，还提出了多种间断Galerkin方法，如内部惩罚间断Galerkin方法(IPDG)[4][5][6]、混合间断Galerkin方法(Mixed DGM)[7]、虚拟元素方法(VEM)[8][9]以及混合间断Galerkin方法(HDG)[10]。

弱Galerkin有限元方法通过使用弱微分算子，展现出独特的灵活性[11][12]。它能够适应一般的多边形或多面体网格，同时放宽了对有限元函数通常要求的连续性条件。凭借这些优势，弱Galerkin方法已被成功应用于众多问题。本文重点探讨其在双调和方程中的应用。

基于变分形式(1.2)，已有多种弱Galerkin方法被用于求解双调和方程。在Mu等人的研究中[13]，引入了一种基于多面体网格的弱Galerkin方法。该研究中的弱函数空间在每个元素T上定义为(Pk(T),Pk(?T),[Pk?1(?T)]d)，其中Pk(T)和Pk(?T)是用于分别近似元素T内部和边界上未知函数u的k次多项式空间，而[Pk?1(?T)]d则表示用于近似函数在元素边界上梯度值的向量值多项式空间，k≥2。在Mu等人的另一研究中[14]，他们采用了C0元素为双调和方程设计了弱Galerkin方法，并使用Scott-Zhang插值算子来建立误差估计。该方法依赖于三角形或四面体网格，这在网格灵活性方面存在局限。Ye和Zhang在[15]中提出了一种无需稳定化因子的弱Galerkin方法，采用了弱Galerkin空间(Pk(T),Pk(?T),Pk?1(?T))，并通过j>k的Pj(T)多项式来近似弱拉普拉斯算子。尽管该方法是在多边形划分基础上开发的，但它仅允许在元素边界上使用Pk(?T),Pk?1(?T)这类多项式，且j的取值相对较大。

问题的另一种变分形式是寻找属于H2(Ω)的解u，满足u|?Ω=g且?nu|?Ω=χ，同时满足∑i,j=12(?ij2u,?ij2v)=(f,v)，对所有v∈H02(Ω)成立。基于这一形式，又有一些新的弱Galerkin有限元方法被成功开发。在Wang和Wang的研究中[16]，引入了弱Hessian算子{?ij,w2}，并利用形式为(Pk(T),Pk?2(?T),[Pk?2(?T)]d)的局部元素空间设计了数值方案。在Li等人的研究中[17]，他们利用弱切向导数和弱二阶偏导数，为双调和问题设计了弱Galerkin方法，该方法通过使用(P2(T), P0(?T), P0(?T))元素，实现了与Morley元素相同的自由度。在Ye和Zhang的研究中[18]，又提出了一种基于弱Hessian的弱Galerkin方法，使用了(Pk?2(T),Pk?1(?T),[Pk(?T)]d)元素。Li等人在[19]中提出了一种广义弱Galerkin方法，其局部弱空间由(Pk(T), Pj(?T), [Pl(?T)]d)的任意组合构成，其中k≥2，j≥0，l≥0。虽然上述一些方法在元素边界上使用了Pk?2(?T)多项式空间，但基于Hessian的变分形式对其可行性至关重要。

本文的目标是基于变分形式(1.2)，开发一种用于双调和方程的弱Galerkin有限元方法，重点在于降低多项式的阶数。为实现这一目标，作为数值方案的关键组成部分，引入了一种改进的稳定化机制。除了传统弱Galerkin方法中使用的稳定化因子外，本文还引入了基于函数内部跳变的新型稳定化因子，进一步提升了多项式选择的灵活性。近似空间由形式为(Pk(T),Pk?2(?T),Pk?2(?T))的元素构成，弱拉普拉斯算子在Pk?2(T)中计算。这一设计使得该方法能够使用该问题设置下最低阶的多项式组合。

本文的一个核心创新点在于，首次在弱形式(1.2)的框架下，使用局部空间Pk?2(?T)来近似解的法向导数。据作者所知，此前尚无弱Galerkin方法能在保持理论严谨性的同时实现如此高的多项式阶数降低。此外，还为所提出的方法建立了最优阶误差估计。还需指出的是，该方法的实现需要将基于边缘的元素作为改进稳定化机制的一部分，这也是该方法的一个独特结构特征。

本文的其余部分结构如下：第2节介绍双调和方程的离散化方案，并证明数值解的存在性与唯一性。第3节进行误差分析，推导出弱Galerkin方法的最优收敛阶数。第4节通过三角形和多边形网格的数值实验，验证该方法的效率与精度。最后，第5节给出了另一种改进型弱Galerkin方案的结果，该方案同样实现了最优收敛速率。