一种用于解具有非光滑解的非线性温和分数阶终端值问题的新端点自适应谱方法

《Applied Numerical Mathematics》：A new endpoint-adaptive spectral method for nonlinear tempered fractional terminal value problems with non-smooth solutions

　　马哈茂德·A·扎基
沙特阿拉伯利雅得，伊玛目穆罕默德·本·萨乌德伊斯兰大学科学学院数学与统计系

摘要
本文构建并分析了一种新的端点自适应分数谱配置方法，用于处理涉及 tempered Caputo 导数的非线性终端值问题。与许多依赖分数变换或变量变换的现有方法不同，后者通常仅限于有理分数阶，且在奇异端点附近容易失去精度，而我们的框架直接采用了新型分数基函数。这种构造使得在处理有理和无理分数阶时具有灵活性，无需额外的平滑变换，同时能够自然捕捉终端值公式中出现的端点奇异性。此外，该方法为处理非光滑解提供了统一框架，在这种场景下，传统的基于多项式的方案往往无法保持谱精度。严格的误差分析证明了方法的收敛性，数值实验表明所提方法具有更高的精度和效率。总体而言，这种端点自适应方法填补了文献中的重要空白，为处理具有无理分数阶和非光滑行为的复杂 tempered 分数模型提供了强大且通用的计算框架。

引言
在 tempered 分数微分方程的数值分析中，其解的固有非光滑性是一个重大难题。这种有限的规则性通常是由分数幂律核引入的弱奇异性造成的，尤其是在初始时刻或空间域边界附近。当考虑右端导数或终端条件时，类似の奇异行为也可能出现在终端点附近，这进一步增加了分析和计算的复杂性[1]。尽管指数 tempering 因子可以改变分数算子的长期记忆效应，但它并不能消除这些端点奇异性。因此，包括有限差分、有限元和谱方法在内的传统高阶离散化技术的性能会下降，因为它们依赖于解的光滑性才能实现理论精度。因此，设计出能够在保持精度和效率的同时有效捕捉奇异结构的数值方法，已成为分数微积分领域一个重要且活跃的研究方向[2][3][4][5]。

Tempered Lévy 飞行在统计物理学以及数值分析工具的发展中起着重要作用[6]。在此背景下，[7]中的作者提出了用于求解 tempered 分数扩散方程的有限差分技术。此后，tempered 扩散方程在金融[8]和地球物理[9]等众多应用领域展现了显著影响力。近年来，为了解决 TFDEs，人们开发了多种数值技术，反映出其在建模复杂系统中的重要性。邓等人[10]提出了一种快速预测-校正方案，用于高效近似 TFDEs 的解。为了解决非线性 TFDEs问题，扎基[11]提出了一种谱配置框架，旨在准确捕捉解的固有奇异性。在相关研究中，[12][13]开发了针对含分数导数的积分-微分方程的二阶和四阶高阶数值方法。奥沃耶米[14]在配置框架中利用移位勒让德多项式来获得 TFDEs 的数值近似。此外，奥贝达特等人[15]提出了一种 tempered 分数自然变换方法，可应用于普通微分方程和偏微分方程的初始值问题，能够处理 Caputo 导数以及 Riemann–Liouville 类型的导数。在[16]中，作者们应用 Jacobi–Gauss–Lobatto 积分规则设计了用于 tempered 分数微分方程的预测-校正算法。阿尔梅达[17]利用中点积分规则构建了用于解决 tempered 分数微积分问题的欧拉型数值方案。此外，[18]还提出了一种结合谱配置与隐式 Runge–Kutta 方法的数值方案，用于求解一维和二维 tempered 空间分数 Allen–Cahn 方程。在[19]中，作者们基于二次插值多项式开发了一种预测-校正方法，适用于均匀和非均匀网格。[20]还提出了一种基于牛顿-科特斯积分与广义拉格朗日插值的乘积积分方法，用于求解各类 tempered 分数微分方程，包括初始值问题和终端值问题。

近年来，各种谱方案已被推广用于解决 tempered 分数微分方程。然而，大多数现有分析为了保持高阶精度，会对可行解的形式施加人为限制[21]。同时，它们往往忽视了一个重要事实：即便问题数据是光滑的，对应的解通常也包含弱奇异性。虽然最近开发的基于平滑变换的谱配置方法在分数阶为有理数时已被证明有效[11]，但将其扩展到无理分数阶的情况则要困难得多。受此启发，我们专注于那些解本身具有低规则性的更复杂情形，尤其是有理或无理分数阶的情况。

基于上述研究，本研究提出了一种新的数值方案，旨在克服平滑变换方法在有理分数阶方面的局限性，从而为准确高效地处理具有有理和无理分数阶的 tempered 微分方程中的非光滑解提供统一框架。具体而言，我们考虑以下分数非线性终端值问题：
tCD1θ,αψ(t)=G(t,ψ(t)), t∈(0,1], 0<θ<1, α≥0, ψ(1)=0， 其中 g:[0,1]×r→r 是给定的连续函数，tcd1θ,αψ(t) 表示阶数为 θ?∈?(0,1) 的右端 tempered caputo 导数[22]，定义如下： tcd1θ,αψ(t)=e^αt tcd1θ(e^?αtψ(t)), t∈(0,1]。 阶数为 θ 的右端 caputo 导数定义为： tcd1θψ(t)=tI11?θ(?dψ/dt), t∈(0,1]， 其中 ti1θ 表示阶数为 θ?>?0 的右端 Riemann–Liouville 分数积分：
tI1θψ(t)=1/Γ(θ)∫_t^1 (κ?t)^{θ?1}ψ(κ)dκ。

对于 tempered 情形，相应的分数积分算子定义为：
stI1θ,αψ(t)=e^αt Γ(θ)∫_t^1 (κ?t)^{θ?1}e^?ακψ(κ)dκ。

将 stI1θ,α 应用于方程(1.1)的两边，该问题的等价积分形式为：
ψ(t)=e^αt Γ(θ)∫_t^1 (κ?t)^{θ?1}e^?ακG(κ,ψ(κ))dκ, t∈(0,1]。

Tempered 分数导数可以从两个角度来理解。左端版本取决于过程的过去演化，而右端版本则与未来的状态相关。因此，左端算子通常出现在初始值问题中[11]，而右端算子则自然适用于最终时间形式的方程[20]。这一区别非常重要，因为许多现实世界模型不仅涉及给定的初始条件，还涉及终端要求，比如在最优控制、边界值问题和逆时间公式中遇到的情况。此外，在变分分析中，这两种算子都起着作用，因为欧拉-拉格朗日方程包含了来自两方的贡献[16][17][23]。特别是，右端 Caputo 导数有助于捕捉由终端状态驱动的非局部效应，使当前动态能够体现未来的约束条件。基于这些见解，我们提出了一种利用右端 tempered Caputo 导数来求解分数微分方程的方法。

在数值处理 tempered 分数终端值问题时，一个核心难点在于：当解在终端点附近呈现较低规则性时，如何实现高阶精度。这种平滑性的丧失通常表现为由 tempering 效应和右端分数导数所固有的非局部记忆效应共同作用而产生的弱奇异性，这极大地限制了传统谱配置方案的效率。为了解决这一挑战，我们提出了一种新的谱配置方法，用于处理涉及右端 Caputo 导数的非线性 tempered 分数微分方程。该方法采用二类分数 Jacobi 多项式作为基函数，其结构能够自然容纳终端奇异性，为捕捉非局部相互作用以及处理低规则性解提供了有效框架。

基于上述动机，本文的其余部分结构如下：第2节介绍二类分数 Jacobi 函数的分析基础；第3节介绍用于右端 Caputo 分数微分方程的分数 Jacobi–Gauss 配置方法；第4节进行收敛性分析；最后，第5节通过数值实验验证理论结果，并展示所提方法的效率。

片段摘录

右端分数 Jacobi 函数
设 Θ=(0,1)，θ?∈?(0,1]。我们首先引入右端分数 Jacobi 空间：
Pmθ:=span{1,(1?t)^θ,?,(1?t)^mθ}, P?:=?_{m=0}^∞Pmθ。
这个空间为表示在 t=1 附近具有分数型行为的函数提供了灵活的基底。

定义1
设 θ,υ>?1 且 θ?∈?(0,1]。度数为 m 的右端分数 Jacobi 函数定义为：
Jmθ,υ,θ(t):=Pmθ,υ(1?2(1?t)^θ)=∑_{k=0}^m d^k,mθ,υ(1?t)^θk, t∈Θ, m=0,1,2,…，
其中 Pmθ,υ 表示经典的 Jacobi 多项式。当 θ=1 时，…

数值方案
首先注意到，右端 tempered Volterra 积分方程(1.6)在代数上等价于以下形式：
ψ(t)=e^αt Γ(θ)∫_t^1 θ((1?t)^θ?(1?κ)^θ)^{θ?1}(1?κ)^{θ?1}e^?ακKθ(t,κ)G(κ,ψ(κ))dκ，
其中 Kθ(t,κ)=1/θ(1?κ)/(1?θ(κ?t)(1?t)^θ?(1?κ)^θ)^{θ?1}, 0< /><κ<1。 两种形式(1.6)和(3.1)在 κ→t+ 时都表现出相同的弱奇异行为，而辅助核 kθ(t,κ)在开三角形区域{(t,κ):?0?<ξ<1。 对于任意 v?∈?c([t,1])，函数 ti?κ,m0,θ?1,θv 是关于拉伸变量 ξ=(κ?t)/(1?t) 的最多 m 阶多项式，并且根据定义满足插值性质： ti?κ,m0,θ?1,θv(κj0,θ?1,θ(t))=v(κj0,θ?1,θ(t)), 其中 κj0,θ?1,θ(t)=κ(t,ξj0,θ?1,θ)， 这里 {ξj0,θ?1,θ}j=0}^M 是… 数值实验 本节通过数值实验验证所提方法在处理 tempered 分数终端值问题时的精度和效率。对于有理和无理 tempered 分数阶，均评估了 lω0,θ?1,θ2 误差，并将结果与现有方法进行比较，以展示本方法的优点。 示例1 我们首先考虑线性测试问题： tcd1θ,αψ(t)=ψ(t)+G(t), t∈(0,1], ψ(1)=0， 其中 g(t)=Γ(1+θ)e^αt?(1?t)^θe^αt,><θ<1。
其精确解为：
ψ(t)=(1?t)…

结论
在本研究中，我们基于右端分数 jacobi 函数，开发并分析了一种新的端点自适应谱配置方法，用于求解线性和非线性类型的 tempered 分数终端值问题。所提方案旨在解决由弱终端奇异性、终端点附近解的规则性受限以及指数 tempering 效应所带来的主要数值难题。通过采用二类分数 jacobi 函数作为…

数据可用性声明
本手稿没有附带相关数据。

利益冲突声明
作者声明存在利益冲突。

资金支持
本研究得到了伊玛目穆罕默德·本·萨乌德伊斯兰大学科研处的资助（资助编号 imsiu-ddrsp2601）。

作者贡献声明
马哈茂德·a·扎基：撰写——审阅与编辑。 其精确解为： ψ(t)=(1?t)… 结论 在本研究中，我们基于右端分数 jacobi 函数，开发并分析了一种新的端点自适应谱配置方法，用于求解线性和非线性类型的 tempered 分数终端值问题。所提方案旨在解决由弱终端奇异性、终端点附近解的规则性受限以及指数 tempering 效应所带来的主要数值难题。通过采用二类分数 jacobi 函数作为… 数据可用性声明 本手稿没有附带相关数据。 利益冲突声明 作者声明存在利益冲突。 资金支持 本研究得到了伊玛目穆罕默德·本·萨乌德伊斯兰大学科研处的资助（资助编号 imsiu-ddrsp2601）。 作者贡献声明>其精确解为：
ψ(t)=(1?t)…

结论
在本研究中，我们基于右端分数 jacobi 函数，开发并分析了一种新的端点自适应谱配置方法，用于求解线性和非线性类型的 tempered 分数终端值问题。所提方案旨在解决由弱终端奇异性、终端点附近解的规则性受限以及指数 tempering 效应所带来的主要数值难题。通过采用二类分数 jacobi 函数作为…

数据可用性声明
本手稿没有附带相关数据。

利益冲突声明
作者声明存在利益冲突。

资金支持
本研究得到了伊玛目穆罕默德·本·萨乌德伊斯兰大学科研处的资助（资助编号 imsiu-ddrsp2601）。

作者贡献声明
马哈茂德·a·扎基：撰写——审阅与编辑。>