基于李雅普诺夫的先验误差估计：通过内部惩罚间断Galerkin方法应用于FitzHugh-Nagumo模型

《Applied Numerical Mathematics》：A priori error estimates based on lyapunov for the FitzHugh-Nagumo model via interior penalty discontinuous Galerkin method

　　阿吉特·辛格|拉姆·吉瓦里
印度理工学院鲁尔基分校数学系，印度鲁尔基，247667

摘要
本文研究了时变非线性FitzHugh-Nagumo模型，采用空间方向上的内点罚项间断Galerkin方法以及时间方向上一阶向后差分公式。本研究的一个关键创新在于通过李雅普诺夫函数推导出了有界性引理，而此类问题此前尚未有相关结果。利用这一有界性性质，我们为完全离散的DG-BDF1方案给出了严格的先验误差估计。基于李雅普诺夫函数的估计保证了该方案的稳定性，且这一方法可自然扩展到非线性场景中。此外，我们还确定了空间和时间离散化的最优收敛速率。数值实验用于验证理论结果，并证实所提方法的稳健性。

引言
FitzHugh–Nagumo模型是描述可激发介质的经典数学模型，在神经科学、心脏动力学以及模式形成现象等领域有着重要应用[1][2]。该模型通过一对耦合的非线性偏微分方程来描述此类介质中的电活动传播：
{ut=Δu+u(a?u)(u?1)?v, (x,t)∈Ω×(0,T],
vt=ε(u?γv), (x,t)∈Ω×(0,T],
u(x,0)=u0(x), v(x,0)=v0(x), x∈Ω,
u=v=0, on ?Ω×(0,T].
其中u表示膜电位，v为恢复变量，Ω?R2为有界凸三角形区域。相关参数满足ε＞0、a＞0和γ＞0。该系统还需配备适当的初始条件与边界条件。
参数a∈(0,1)决定了立方非线性项中的激发阈值，从而影响神经元和心脏模型中动作电位的产生。其值决定了刺激是否会产生传播波，这对起搏和除颤研究至关重要。参数γ＞0控制慢变量的恢复速度，直接影响不应期长度和动作电位形态。在心脏模拟中，γ与组织恢复特性及心律失常易感性相关。参数ε?1反映了快速去极化和缓慢复极化之间的时间尺度差异，这对于再现真实的动作电位持续时间十分重要。较小的ε值能确保神经传导和心脏电生理学模拟的生理真实性。
FHN模型作为描述可激发介质的基本数学模型，已被广泛用于研究生物系统中的波传播现象，包括神经冲动传递、心脏心律失常以及时空模式形成[3][4][5][6][7]。该模型能够再现螺旋波模式的形成，这一现象对于理解电生理学和化学动力学中的自组织现象具有重要意义。从计算角度来看，由于系统的非线性刚度和快速的慢速动态特性，精确处理陡峭的波前和复杂的多尺度结构仍是一项挑战。
针对FHN方程的数值近似，人们已经采用了多种离散化方法。一些研究使用了有限元法[8]和谱方法[9]，同时也有研究提出双网格有限元技术以提高计算效率[10][11][12]。基于有限元的策略在处理相关的非线性和奇异摄动偏微分方程方面表现优异，这类方程包括Burgers型方程、Poisson–Nernst–Planck/Navier–Stokes耦合方程、Rosenau–Burgers–Biharmonic问题以及对流-扩散-反应系统[13][14][15][16][17]。在[18]中，人们采用了混合型间断Galerkin方法处理广义FHN系统，该方法依赖于缩放勒让德多项式以及SSP Runge–Kutta时间积分格式。
最近，DG方法的发展为解决如FHN模型这样的复杂反应-扩散系统展现了巨大潜力。比较研究表明，IPDG方法和改进的Galerkin格式能为分数Sobolev问题提供良好的稳定性和高精度[19][20][21]。半解析技术也被应用于FHN模型以分析神经冲动传递过程[22]。此外，DG谱元素方法在处理以波为主导的多尺度模型时也表现出良好效果[23][24]。受这些进展的启发，本文采用IPDG框架处理FHN方程，并通过李雅普诺夫函数建立了严格的正则性和先验误差估计。
尽管已有大量研究成果，但现有的FHN系统DG方法通常仅假设数值解具有有界性，却未能给出严格的分析证明。因此，目前还没有任何研究基于可证明的有界性性质为完全离散的DG方案建立严格的先验误差估计。虽然李雅普诺夫函数是研究非线性稳定性的经典工具，但在DG格式中的必要性至今尚未得到充分论证。在FHN模型的间断离散化过程中，传统的能量方法无法为耦合的非线性项提供一致的界限，因此基于李雅普诺夫的控制方法是不可或缺的，而非可有可无的。
因此，引入李雅普诺夫函数对于严格证明完全离散方案的有界性至关重要，这也有助于明确其在DG框架中应用的动机和理论意义。
为克服这些难题，本文采用了IPDG方案，该方案非常适合处理尖锐的空间梯度、非结构化网格以及可激发介质所具有的强非线性动态特性。
本研究的主要创新点如下：
• 我们为FitzHugh–Nagumo模型的间断Galerkin离散化建立了严格的分析框架。
• 通过构建合适的李雅普诺夫函数，我们得到了有界性结果，据我们所知，此前尚未有研究在DG框架下为该模型定义过此类函数。
• 基于这一有界性性质，我们为完全离散的DG–BDF1方案给出了先验误差估计，该方案结合了DG空间离散化与时间上一阶向后差分方法。
• 我们通过数值方法计算了一维和二维示例中离散李雅普诺夫函数的变化情况，从而验证了理论上的有界性结果，并证明了所提方案的稳定性。
本文的结构如下：第2节介绍DG框架、符号表示以及完全离散方案和误差估计方法；第3节展示数值实验结果；第4节为结论部分。

公式说明
设Th为域Ω的准均匀三角剖分，使得[25] Ω?=?K∈ThK?。记hK为Th中元素K的直径，用h:=maxK∈ThhK来定义网格尺寸。我们回顾一下间断Galerkin有限元空间和标准的断裂Sobolev空间：
Hs(Th):={χ∈L2(Ω):χ|K∈Hs(K), ?K∈Th},
Vh:={χ∈L2(Ω):χ|K∈Pr(K), ?K∈Th}，
其中Pr(K)表示元素K上次数不超过r的多项式空间。记EhI为网格Th的所有内部面/边的集合，EhB为……

数值实验
在本节中，我们通过数值实验来验证理论上的收敛速率，并展示所提出的BDF1–DG方案在处理FitzHugh–Nagumo系统（1.1）时的有效性。所有计算都是在通过对初始粗网格进行均匀细化得到的三角网格上进行的。每个时间步长的非线性系统均通过阻尼牛顿法求解，其容差与时间离散化误差相匹配。该实现是在FEniCS环境中完成的。

结论
本文中，作者们研究了一种结合BDF1方法的DG方案，用于FitzHugh–Nagumo系统的数值近似。所提方法的一个关键创新在于基于李雅普诺夫函数推导出了离散有界性结果，据我们所知，此前尚未有研究针对该模型应用DG方案时建立过此类结果。利用这一有界性性质，我们进一步为完全离散的方案在L2范数下给出了严格的先验误差估计。

CRediT作者贡献声明
阿吉特·辛格：撰写——初稿、软件、方法论、研究、形式分析、概念设计。
拉姆·吉瓦里：撰写——审阅与编辑、监督、方法论、研究、概念设计。