用于黎曼优化的一类广义Barzilai-Borwein方法

《Applied Numerical Mathematics》：A class of generalized Barzilai-Borwein methods for Riemannian optimization

　　马赫什瓦尔·帕塔克|普拉蒂巴·乔希
印度北方邦大诺伊达市沙尔达大学数学系，邮编201310

摘要
本文提出了一种无网格技术，用于数值研究二维双曲对流-扩散方程。该方法基于径向基函数和三角基函数。研究的目的是在规则域和非规则域中对所考虑的问题进行数值分析。时间导数通过Crank-Nicolson方法离散化，随后运用所提出的方法求解。通过能量法分析了该半离散时间方案的稳定性，结果表明该方法具有H1范数稳定性。此外，还利用能量法研究了该方案的收敛性，发现其收敛阶为二阶。在规则域和非规则域中进行的数值实验均验证了理论上的二次收敛结论。通过数值算例展示了该方法的效率和精确度。研究涵盖了具有狄利克雷、诺伊曼和罗宾边界条件的规则域与非规则域问题。由于该方法表现出色，其在解决其他复杂问题方面也具有广阔的应用前景。

引言
动态系统研究对于科学和工程的发展至关重要。微分方程是模拟动态现象的关键工具，而求解微分方程则有助于分析动态系统的行为[1]–[9]。对流-扩散方程是偏微分方程的重要应用之一[10]–[11]，它是一种研究在対流和扩散作用下物理量变化的强大工具[12]–[16]，在能量与质量传递、污染物扩散、批次间污染、海洋学、图像处理以及水力学等领域发挥着重要作用[12]–[19]。在核能、石油储层、消防、熔体対流下的树枝状生长、雾中的声波衰减、固体力学、天体物理学等诸多领域中，都可以看到热传递应用的踪迹[19]–[22]。至于质量传递，其应用则体现在化学反应、传输记忆、组织与细胞培养中的病毒感染、连续交通模拟等方面[23]–[26]。

对于依赖対流和扩散过程的各类应用而言，往往需要求解对流-扩散方程。虽然解析方法始终是首选，但由于这些方法的复杂性或不可适用性，人们不得不转向数值方法[27]–[31]。为寻求近似解或解析解，人们采用了变分迭代法[32]、拉普拉斯变换与同伦扰动法[33]–[34]、分解法[35]、格林函数法[36]、Sundman变换法[37]、简化微分变换法[38]等多种方法，但这些方法大多仅适用于一维问题。而为求解对流-扩散方程，人们则使用了有限差分法[39]–[40]、有限元法[41]–[42]、有限体积法[43]–[44]、径向基函数有限差分法[45]、小波优化紧凑型有限差分法[46]、Haar小波配置法[47]、对偶互反边界元法[20]–[48]、径向积分边界元法[49]、插值法[50]、边界元法[51]、配置法[52]以及弱Galerkin有限元法[53]–[54]。

大多数传统的数值方法和解析方法都适用于规则域，而对于非规则域，则有多种无网格方法可供选择，如无单元Galerkin法[55]、移动最小二乘法[56]、局部Petrov-Galerkin法[57]、单位分解法[58]、再生核粒子法[59]、hp-cloud法[60]、光滑粒子流体动力学法[61]、扩散元素法[62]、径向基函数法[63]–[64]等。更多相关内容可参考文献[65]–[73]。1990年，Kansa的研究[63]–[74]使得基于径向基函数的无网格方法在求解偏微分方程方面变得更加流行[75]–[81]。

针对对流-扩散方程，Yue等人[66]提出了一种时空无网格技术，Oru?[67]采用了基于多项式基的无网格方法，Chinchapatnam等人[82]使用了非对称和对称无网格方案，Zhang等人[83]将变分多尺度无单元Galerkin法与正交分解法相结合，Li等人[84]应用了无网格局部Petrov-Galerkin法，Safdari-Vaighani等人[85]提出了单位分解配置法，Fan等人[86]使用了基本解法，Peng等人[87]应用了边界元法，而Khankham等人[88]则采用了无网格局部Petrov-Galerkin法。

本文研究的方程为如下所示的二维双曲对流-扩散方程：
?2w/?t2 + ?w/?t + P?w = DΔw + S(ξ?,ξ?,t)，其中(ξ?,ξ?)∈Ω，t∈(0,T]，初始条件为w(ξ?,ξ?,0)=w?(ξ?,ξ?)，?w/?t(ξ?,ξ?,0)=η?(ξ?,ξ?)，且(ξ?,ξ?)∈Ω，边界条件为B[w(ξ?,ξ?,t)]=f(ξ?,ξ?,t)，其中(ξ?,ξ?)∈?Ω，t∈(0,T]。这里的w是受對流扩散过程影响的未知物理量，P为常数対流系数，D为常数扩散系数，S为已知源项，Ω为二维域，?Ω为域边界，B为边界算子，初始值w?(ξ?, ξ?)和η?(ξ?, ξ?)为已知函数，f同样也是已知函数。算子Δ和?分别表示拉普拉斯算子和梯度算子，其在二维情况下的定义为：Δw=?2w/?ξ?2 + ?2w/?ξ?2，?w=?w/?ξ? + ?w/?ξ?。Mittal和Dahiya[89]曾在具有狄利克雷边界条件的矩形域中解决了方程(1)的特例，他们采用了改进的立方B样条法与微分求积法相结合的方式求解。

推动本研究工作的动力，是日益增长的对于精确、灵活且高效数值方法的需求，这类方法可用于解决包括二维双曲对流-扩散方程在内的各种复杂偏微分方程，而这些方程广泛存在于流体力学、热传递和环境建模等领域。传统的基于网格的方法在处理复杂几何结构、自适应细化以及移动边界等问题时往往存在局限。为克服这些难题，本文提出了一种全新的无网格方法，该方法结合了径向基函数与三角基函数的优点。径向基函数能够提供出色的几何灵活性，而三角基函数则能在一定程度上降低确定最优形状参数时的敏感性。这种混合基函数框架旨在提供一种稳健且精确的计算手段，用于解决对流-扩散问题，且无需额外进行网格生成。本文的主要贡献如下：
• 对规则域和非规则域中的问题(1)-(3)进行了该方法的数值测试；
• 通过实例演示了时间方向上理论收敛性的数值验证；
• 考虑了多种边界条件，以体现该方法的数值效率。

本文的结构安排如下：第二节介绍了引言部分所述问题的时间离散化方法；第三节详细阐述了所提出的无网格技术；第四节利用能量法分析了该半离散时间方案的稳定性与收敛性；第五节通过数值算例展示了该方法在规则域与非规则域中的效率与精确度；最后，第六节总结了本研究的工作成果。

节选内容

时间离散化
设?w/?t=η。根据方程(6)，方程(1)可写为?η/?t + η + P?w = DΔw + S(ξ?,ξ?,t)。在时间方向上进行离散化时，可在方程(6)和(7)中应用Crank-Nicolson方案，具体形式如下：
wn+1 ? wnΔt = 1/2(ηn+1 + ηn) + 1/2R?，n=0,1,2,…
ηn+1 ? ηnΔt + (ηn+1 + ?ηn)2/2 + P(?wn+1 + ?wn2) = D(Δwn+1 + Δwn2) + Sn+1/2 + R?，n=0,1,2,…
其中Sn+1/2 = S(ξ?,ξ?,(n+1/2)Δt)，wn和ηn分别表示时间tn时刻的w和η的值。R?和R?为余项，满足|R?| ≤ C?Δt，|R?| ≤ C?Δt，这里的C?和C?为与Δt无关的正常数。

无网格方法描述
考虑方程(14)及边界条件(3)，为求得时间tn+1时刻的近似解W，可建立如下关系：
L[Wn+1(ξ)] = Fn，其中ξ=(ξ?,ξ?)∈Ω；
B[Wn+1(ξ)] = fn+1，其中ξ=(ξ?,ξ?)∈?Ω。
此处，线性偏微分算子L、函数Fn和fn的定义分别为：
L = D2Δ ? P2? ? (2Δt2 + 1Δt)，
Fn = ?D2ΔWn + P2?Wn ? (2Δt2 + 1Δt)Wn ? 2ΔtHn ? Sn+1/2，
fn = f(ξ?,ξ?,tn)。
对于问题(15)-(16)，其解可表示为[71]，[90]：
Wn+1(ξ) = Wbn+1(ξ) + Wdn+1(ξ)，
其中Wbn+1(ξ)是满足边界条件(16)的近似解，即B[Wbn+1(ξ)] = fn+1，且ξ∈?Ω。

稳定性与收敛性分析
在本节中，我们采用能量法[95]，[96]来分析半离散时间方案(14)的稳定性与收敛性。首先定义相应的函数空间以及标准范数和内积，如下所示[97]，[98]：
H1(Ω) = {p∈L2(Ω), ?p∈L2(Ω)}，
H?1(Ω) = {p∈H1(Ω), p|?Ω=0}。
这里L2(Ω)是指那些在Ω上其平方函数属于勒贝格可积类的可测函数空间。L2(Ω)与H1(Ω)的内积定义为(p,q) = ∫ΩpqdΩ，(p,q)1 = (p,q) + (?p,?q)，而L2和H1中的范数也有相应定义。

数值测试
在本节中，通过数值算例来检验所提出方法的效率。我们研究了具有不同边界条件的多个问题，所得结果以表格和图表的形式呈现。

误差与收敛阶
为了评估方法的精确度，我们采用了最大绝对误差(max ab)作为衡量指标，其定义为maxab(t) = max?≤i≤N|w(ξi,t) ? wK(ξi,t)|。收敛阶则通过以下公式计算：Oc(t,Δt) = log?[maxab(t,Δt)/maxab(t,Δt/2)]。该公式可用于判断收敛速度。

结论
本文展示了二维双曲对流-扩散方程的数值解，这些解是通过无网格技术获得的，该技术基于径向基函数和三角函数。文中采用了包含未知形状参数c的MQ RBF函数。所提方法的效率取决于该形状参数的最优值，而在本研究中，我们已通过某种方法确定了该形状参数的最优值。