一种用于二维柔性梁流固耦合动力分析的连续共旋方法

《Ocean Engineering》：A consistent co-rotational method for fluid-structure interaction dynamic analysis of 2D flexible beams

　　孙晓旭|岳秀峰|赵岩 中国大连理工大学工业设备结构分析、优化与CAE软件国家重点实验室，大连116023

摘要
本文提出了一种用于海洋环境中二维细长柔性结构动力分析的一致共旋方法，该方法能够有效处理任意分布的载荷，并在共旋框架内实现流固耦合分析。首先，基于共旋框架描述梁单元的运动与变形，并通过变分法推导出一致的正切刚度矩阵和质量矩阵。其次，结合虚功原理，利用相同的形状函数推导出集中载荷和分布载荷的一致等效载荷公式，并基于莫里森方程建立流体载荷模型。最后，建立流固耦合运动方程，采用改进的牛顿-拉夫森策略与HHT方法高效求解非线性系统。通过空气和水中二维柔性梁的数值算例，分析了不同离散化条件下的静态和动态响应。将结果与商业软件对比，验证了该方法的正确性与有效性。此外，对均匀水流作用下的顶张式立管进行动力分析，表明所提方法即使使用较少的单元也能保持较高的精度和计算效率。

引言
海洋立管和电缆会受到波浪、水流等复杂环境载荷的作用，准确开展流固耦合动力响应分析已成为其安全设计与寿命评估的核心挑战（Cheng等人，2020；Okpokparoro和Sriramula，2023；Wang等人，2025；Zhu等人，2023；Zhao等人，2024）。在这一领域，许多学者开展了富有成果的研究：M?rk等人（1999）和Kirkemo等人（1999）为金属立管和管道制定了极限状态设计方法及安全分级体系；Sparks（1980，2007）通过推导解析表达式，量化了有效张力、内部压力等关键参数对立管-管道系统力学行为和应力水平的影响；这些研究成果为海洋工程行业标准的制定提供了重要支撑（DNV-RP-F205（2010）；Sparks（1984））。

作为典型的细长柔性结构，海洋立管和电缆极易出现较大的位移、较大的转动角以及较小的应变等几何非线性现象，这会导致结构几何形态和流体载荷的动态重构，形成强烈的非线性耦合机制，极大增加问题的复杂性（Koh和Rong，2004；Li等人，2024；Ménard和Cartraud，2023；Trapper，2022；Zhou等人，2024）。近年来，共旋方法作为一种分析几何非线性的强大框架逐渐兴起，它是浮动参考框架公式的进一步发展（Felippa和Haugen，2005）。其核心思想是建立一种随单元刚体运动而平移和旋转的局部坐标系，从而可以直接在该局部坐标系中测量纯弹性变形。该方法最初由Belytschko等人（Belytschko和Glaum，1979；Belytschko和Hsieh，1973；Belytschko等人，1977）以及Oran（Oran和Kassimali，1976）提出，后来由Rankin（Rankin和Nour-Omid，1988）和Nour-Omid（Nour-Omid和Rankin，1991）将其规范化为一种通用框架，确保了单元的独立性并可与标准单元库兼容。Crisfield（1990）解决了内弹力与正切刚度矩阵之间一致性这一关键问题，证明了在静态分析中一致共旋框架的高精度优势。随后，通过引入蒂莫申科梁质量矩阵和能量守恒算法，这种一致性也被扩展到了非线性动力学领域（Crisfield等人，1997）。Behdinan等人（1998）进一步基于哈密顿原理发展了柔性梁的共旋动力学方法，而Hsiao等人（1999）则提出了针对特定三维梁模型的公式。

上述许多动力学公式的一个局限性在于缺乏严格的一致性，因为弹性和惯性项往往是通过不同的形状函数来推导的。为解决这一问题，Le等人（2011）采用统一的形状函数来重构弹性和惯性项，建立了适用于二维梁的全一致共旋方法，能够在惯性描述中准确捕捉局部位移场。虽然这种方法也被应用到三维场景中，但依赖高斯数值积分来推导惯性项的计算量较大。为缓解这一问题，Wang等人（2020）提出了一种改进的公式，通过质量分布策略构建具有解析表达式的集总质量矩阵，实现了与Le方法相当的高效率和精确度。因此，研究人员仍在不断寻求高度一致且通用性强的共旋动力学方法，为工程应用提供可靠的数值工具。

尽管一致共旋梁单元在处理几何非线性问题上取得了成功，但仍然存在一个主要瓶颈：现有方法主要是为节点载荷设计的（Tang等人，2021）。在传统的有限元方法中，基于虚功原理，分布载荷是通过形状函数积分转换为等效节点力的。然而，在仅能测量弹性变形的共旋框架中，直接积分形状函数无法考虑刚体位移所做的虚功。这一缺失导致等效节点力的推导不完整且不一致。在实际的海洋工程中，柔性结构会受到重力、浮力、阻力和惯性力等复杂的分布载荷作用，这一限制使得一致共旋方法在工程实践中的应用面临很大障碍。因此，利用共旋方法对海洋柔性结构的流固耦合动力响应进行分析的相关研究仍然较少。Vásquez等人（Meléndez Vásquez和Julca Avila，2019；Vásquez和Avila，2021）开发了一种考虑水动力载荷的海洋立管非线性动力学方法，但他们处理分布载荷等效性的方式并未严格遵循一致性要求，因为刚度-质量矩阵和载荷向量是由不同的形状函数推导出来的。虽然该方法对于中等变形情况较为有效，但对于发生大转动角的单元，这种假设的准确性就会降低（Tasinaffo等人，2025）。同样，Huang等人（2024，2025a，2025b）将Le的共旋方法应用于随机波浪和水流作用下的深水立管，但未详细阐述分布载荷的处理方法。采用集总节点力的近似方法往往忽略了等效力矩的贡献，这在网格较稀疏的情况下会引入明显的误差。因此，虽然现有方法在密集离散化条件下可能得到可接受的结果，但无法充分发挥一致共旋方法的真正优势——即用最少的单元获得高精度结果。

本研究的主要目的是解决一致共旋框架在处理非线性分布载荷方面的局限性。我们提出了一种等效节点力公式，能够准确考虑单元内的任意集中力、均匀分布力以及复杂的分布力。这为实现能够处理任意分布载荷的一致共旋框架奠定了基础，该框架被应用于柔性海洋结构的流固耦合动力分析。本文的其余部分安排如下：第2节描述了一致共旋梁单元的运动，并推导出弹性项和惯性项。第3节在共旋框架内建立了一致的载荷等效公式，并基于莫里森方程给出了流体载荷的等效节点力公式。第4节给出了柔性梁的流固耦合动力学控制方程，并概述了数值求解策略。第5节通过数值算例研究了二维柔性梁和顶张式立管在各种载荷条件下的响应。通过考虑不同的单元离散化方式并将结果与商业软件进行比较，证明了所提方法在海洋柔性结构的流固耦合动力分析中的准确性与高效性。

对于二维柔性梁单元的流固耦合动力分析，本文建立了一致的共旋坐标方法和载荷等效方法。实际上，一致共旋框架也适用于三维空间问题（Le等人，2014；Wang等人，2020；Deng等人，2021）。对于三维柔性梁单元，还需要考虑扭转自由度，这涉及到更复杂的坐标系变换和流体载荷描述。在后续的研究计划中，作者们将结合本文的工作以及三维一致共旋框架，探讨三维柔性梁单元的流固耦合动力学问题。

运动与变形
图1展示了两节点平面梁单元的运动学特性。这两个节点在全局坐标系中的初始坐标分别为(x1,z1)和(x2,z2)。该单元的运动由全局位移矢量q和局部位移矢量q′描述，它们分别定义在全局坐标系(X?O?Z)和共旋坐标系(Xl?Ol?Zl)中：
q=[u1w1θ1u2w2θ2]T
q′=[u′θ′1θ′2]T
其中u′=ln?l0，θ′1=θ1?β+β0，θ′2=θ2?β+β0
这里，l0和ln分别表示初始长度和当前长度。

等效节点力
假设在全局坐标系中，沿梁单元某一点x处有一个广义集中载荷矢量P=[FxFyM]T，相应的广义位移用U=[UxUyΘ]T表示。根据虚功原理，外部载荷所做的功必须等于等效节点力所做的功：
δWext=δWnode
外部载荷的虚功贡献为：
δWext=PTδU
相应地，等效节点力对应的虚功为：
δWno

流固耦合运动方程与数值求解
通过汇总各个单元的贡献并施加边界条件，柔性梁系统的整体非线性运动方程可表示为：
fK(q,q˙,q¨)+fG(q)=FA(q¨)+FD(q˙,vw)+FI(v˙w)+FW
其中fK是惯性力矢量，fG是全球弹性力矢量。这两个项分别代表了动能和应变能对动力平衡方程的贡献（Le等人，2011）。在方程(59)的右侧，FA、FD、FI和FW项分别为……

悬臂梁
本节通过研究一个柔性悬臂梁来验证所提出的方法。在以下条件下分析了自由端的动力响应：（1）空气中的分布载荷以及单个/多个谐波集中载荷；（2）静水中的谐波集中载荷。基本的结构参数列于表1中。

结论
为了解决共旋框架在处理复杂流固耦合动力响应方面的局限性，本文提出了一种基于虚功原理推导的一致载荷等效公式的共旋方法。该方法建立了一个统一的变分框架，在该框架中，弹性项、惯性项和等效节点载荷都可以以一致的方式得到推导。通过悬臂梁和顶张式立管的数值验证表明，所提方法……

CRediT作者贡献说明
孙晓旭：写作——初稿撰写、验证、软件应用、方法设计。岳秀峰：指导、研究工作协调。赵岩：写作——审稿与编辑、资源获取、项目管理、概念构思。

资助
本研究得到了油气重大专项（项目编号2024ZD1403304）的支持。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。