液体填充航天器的非线性动力学模型及其基于模糊波的PID控制方法

《Acta Astronautica》：Nonlinear Dynamics Model of Liquid-Filled Spacecraft and Its Fuzzy Wave-Based PID Control Method

液体火箭姿态机动引发储罐液体非线性 sloshing，同时液体 sloshing 对刚体姿态也存在影响。本文基于等效 bouncing ball 模型（BBM）分析液体非线性振动特性，通过多尺度方法揭示分岔现象；将 BBM 扩展至三维 Cassini 储罐，建立刚体-液体耦合动力学方程；提出融合模糊理论与波控制策略的改进 PID 控制器（FWBPID），数值仿真验证其同步实现目标跟踪与 sloshing 抑制的能力，相比传统 PID 更适用于欠驱动系统。

　　

卢宇|岳宝增

北京工业大学航空航天工程学院，中国北京，100081

摘要

在液体填充的航天器飞行过程中，姿态机动会导致储罐中的液体燃料发生非线性晃动。同时，液体晃动也会对主刚体的姿态产生不可忽视的影响。基于这一研究背景，本文探讨了液体填充航天器的动态建模和控制方法，这是一种欠驱动的非线性系统。首先，分析了用于描述液体晃动的等效弹跳球模型（BBM）的非线性特性。该模型的动态方程被转化为Duffing方程的非标准形式，并利用多尺度方法研究了其幅频特性，揭示了分岔现象。其次，根据工程应用背景，将等效模型的应用条件扩展到三维卡西尼储罐，并建立了液体火箭的刚-液耦合动态方程系统。最后，提出了一种基于模糊理论和波动理论的改进PID控制方法（Fuzzy Wave-Based PID，FWBPID）。通过数值分析证明，FWBPID控制方法能够同时实现目标跟踪和液体晃动抑制。与传统PID控制器相比，本文提出的FWBPID更适合控制欠驱动系统。

引言

液体填充的航天器（如液体火箭）是一种典型的欠驱动系统，其中储罐中的液体具有很高的自由度，无法通过独立的主动控制方法进行抑制[1]。因此，在工程上需要通过等效模型降低晃动液体的自由度，并通过控制器进行在线实时控制。传统的液体晃动等效模型通常是线性的，例如摆和弹簧质量模型[2]、[3]，其参数来源于势流理论的解析解。线性理论仅适用于液体的小平面晃动，因此适用范围有限。因此，开发液体晃动的非线性等效模型、建立液体填充航天器的耦合动态模型以及开发欠驱动系统的控制方法具有学术价值和工程应用前景。

学者们在非线性液体晃动等效模型和液体填充航天器系统的非线性特性研究方面取得了一些进展。刘等人[4]提出了一种3DOF-刚体-摆模型，用于描述球形储罐中液体的横向晃动、旋转晃动和自旋现象，并通过非线性理论揭示了横向晃动过程中的对称性破缺现象。苗等人[5]、[6]引入了基于摆模型的等效重力概念，将大的液体晃动分解为整体运动和等效平衡位置附近的线性晃动，从而将非线性问题转化为线性问题。周等人[7]建立了一个约束表面模型，将储罐中的液体视为在椭球面上自由移动的粒子。使用赫兹碰撞理论来表示液体对储罐施加的力。Vreeburg[8]、[9]提出了移动脉动球模型（MPBM），将球形腔体中的液体视为半径可变的球体，并考虑了表面张力和惯性矩的变化。卢等人[10]、[11]、[12]改进了MPBM，使其适用于不同的重力环境，并将其应用于液体可回收火箭和液体填充空间机器人的动态建模。Linz Tad-Poincare扰动方法被用来分析MPBM的稳定性与储罐曲率半径之间的关系，这可以为微重力环境中的液体燃料定位提供参考[13]。Pizzoli等人[14]提出了一种用于垂直晃动的降阶模型，称为弹跳球模型（BBM），将液体的纵向非线性振动等同于具有特殊非线性刚度的弹簧。Ohayon等人[15]基于变分原理分析了液体火箭的动态稳定性。崔等人[16]建立了飞行过程中液体火箭在参数激励下的动态模型，并使用Floquet理论研究了小幅度振动的稳定性。岳等人[17]、[18]建立了包含液体燃料和旋转附件的航天器动力学模型，并使用Melnikov积分推导了系统混沌运动的解析判据。岳[19]基于变分原理推导了微重力条件下轴对称储罐中液体晃动的控制方程，并使用Galerkin方法将变分公式转化为标准特征值问题的频率方程。基于拉格朗日方法建立了液体填充航天器的耦合动态方程。John A. Ottander等人[20]利用非线性振荡阻尼预测了液体填充航天器中不良控制-晃动相互作用引起的极限环大小。尹等人[21]从拉格朗日几何的角度推导了具有柔性附件的液体填充航天器的动态方程，并使用能量-动量方法和块诊断技术分析了系统的稳定性。

一些研究人员对欠驱动系统（如液体填充航天器）的控制方法进行了研究。岳等人[22]利用输入整形和反馈线性化方法实现了基于球形摆的液体填充航天器的姿态机动和晃动抑制。宋等人[23]设计了自适应滑模和Lyapunov控制律，以抑制液体填充柔性航天器的热抖动和液体晃动。Navabi等人[24]设计了基于滑模、模糊逻辑和Lyapunov理论的控制器，用于控制复杂航天器的姿态并抑制燃料晃动。Park等人[25]提出了用于估计二维航天器模型中不可测量晃动变量的滑模理论，并使用Lyapunov方法进行了理论稳定性分析。基于波动控制的理论最初由O’Connor提出，并应用于各种系统[26]、[27]、[28]，其核心思想是将控制系统的运动分解为发射波和返回波的叠加，并通过吸收波来实现振动抑制。Colagrossi等人[29]结合了基于波动的控制和滤波PD控制方法，实现了具有内部液体晃动的柔性航天器的振动抑制。刘等人[30]和Thompson等人[31]都使用拉普拉斯域中的力驱动基于波动的控制对液体填充航天器进行了姿态控制，这意味着系统需要线性化。

本文的其余部分结构如下。在第Ⅱ节中，基于多尺度方法分析了BBM的非线性特性。在第Ⅲ节中，改进了原始的BBM并建立了液体填充航天器的耦合动态方程系统。在第Ⅳ节中，介绍了基于模糊波动的PID（FWBPID）控制方法。在第Ⅴ节中，基于液体火箭的实际工程背景，通过数值示例分析了FWBPID的有效性及其相对于传统PID的优势。在第Ⅵ节中，总结了全文。

节选

BBM的非线性特性分析

弹跳球模型（BBM）由Pizzoli等人[14]提出，它将垂直振动矩形储罐中的液体等同于带有非线性刚度的弹簧振子。如图1所示，弹簧的变形定义为，壳体的半径为$$。

基于改进BBM的液体填充航天器动态建模

原始的BBM是基于二维矩形储罐中的液体晃动背景提出的，其运动是一维的。为了使其适用于复杂的航天器工程背景，需要改进其动态方程并修改边界条件，建立刚-液耦合动态模型。

如图8所示，扩展了BBM的适用范围，使其适用于任何形状的储罐，其中$$表示储罐的刚性壁。

基于模糊波动的PID（FWBPID）控制方法

在本节中，将通过结合模糊理论和PID控制方法来改进传统的基于波动的控制理论。

刚-液控制耦合系统的仿真

在本节中，将以液体火箭的姿态调整过程为例，说明本文描述的动态建模和控制方法的有效性。火箭携带半径为、柱高为2的卡西尼储罐。火箭的参数如表2所示。

根据工程要求，为了实现回收和利用，火箭的俯仰角需要在飞行过程中从30°调整到180°

结论

本文重点研究了欠驱动系统（如液体填充航天器）的动态建模和控制方法。首先，基于多尺度方法分析了液体晃动的等效弹跳球模型的非线性特性。通过解析和数值方法，揭示了分岔等非线性现象。其次，将BBM的应用场景扩展到任意形状的储罐，并建立了刚-液耦合动态模型

作者贡献声明

卢宇：撰写——原始稿件、可视化、验证、软件、方法论、形式分析。岳宝增：撰写——审稿与编辑、监督、资源获取

利益冲突

作者没有需要披露的相关财务或非财务利益。

数据可用性

由于本文主要是一项理论研究，因此没有公开可用的数据。

资助

本工作得到了国家自然科学基金（资助编号12132002）的支持。作者岳宝增获得了国家自然科学基金的研究支持。

利益冲突声明

? 作者声明他们没有已知的可能会影响本文所述工作的财务或个人关系。