基于物理原理的深度算子学习方法，通过时域分解实现非线性偏微分方程的长时间模拟

《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：Physics-informed deep operator learning for long-time simulation of nonlinear partial differential equations via temporal domain decomposition

　　S. Sarthak|D. Srinivasacharya印度特伦甘纳邦瓦朗加尔国家理工学院数学系，邮编506004

摘要：非线性偏微分方程被广泛用于描述流体流动、波动运动以及反应-扩散系统等物理和工程过程。对这些方程进行长时间模拟极具挑战性，尤其是在存在强非线性、多尺度效应以及累积数值误差的情况下。为应对这些挑战，我们提出了基于物理信息的深度算子学习框架，该框架属于科学机器学习范畴，以物理信息驱动的深度算子网络为基础，将控制方程以及相关的初始条件和边界条件直接嵌入训练过程。在这种框架下，学习完全由源自控制方程的物理基础损失函数引导，无需依赖带标签的输入-输出解数据，从而实现无需数据即可学习解的演化过程。通过将时间域分解为多个连续子区间，并递归应用所学算子，可实现稳定的长时间预测。高斯随机场采样方法被用来自适应地选择时空配置点，相较于均匀采样，它能更有效地覆盖动态活跃区域。该框架在三阶和五阶Korteweg–de Vries–Burgers–Fisher方程上进行了验证。对于三阶方程，所提方法在t=60时得到的均方根误差为6.20×10?3，而高斯随机场采样使得收敛速度比均匀采样快约20%。五阶KBF方程也表现出类似的稳定长时间行为及更好的收敛特性。这些结果表明，物理信息驱动的深度算子学习为非线性偏微分方程的长期模拟提供了一种可靠且高效的方法，其在流体力学、气候建模和材料科学领域具有应用潜力。

引言：时变偏微分方程，即演化方程，是量子力学、流体流动、电磁学和固体力学等领域中模拟动态现象的核心工具（Hilbert, 1985）。传统的数值方法通过将解展开为合适的基函数并对空间和时间进行离散化来近似这些方程（Iserles, 2009, Moin, 2010）。所得到的半离散系统随后可通过龙格-库塔方法或有限元公式等进行积分，这在许多应用中都能带来高精度和稳定性（Hughes, 2003）。然而，当控制动力学呈现强非线性、多尺度特性，或需要在长时间范围内求解时，这些方法的计算成本会急剧上升，且容易积累误差，这就需要寻找替代的计算策略。

许多物理系统都受非线性偏微分方程的控制，其中色散、耗散和非线性反应同时作用，从而产生复杂的波动动力学。对非线性色散波（Karpman, 2016）以及更高阶的Korteweg–de Vries型方程（Figueira et al., 2020）的经典研究表明，色散与非线性之间的相互作用会引发丰富的长时间现象，如孤子传播、波形陡化以及相位调制；而像Benjamin–Bona–Mahony–Burgers方程这样的耗散-色散模型，则需要精心设计的数值方案才能保持物理上的耗散效应（Cheng and Wang, 2021）。尽管这些分析方法和高等数值方法在受控环境中能够实现高精度，但它们的计算成本以及容易积累长时间误差的问题，限制了它们在实际应用中的有效性，尤其是在水文学、环境传输和水资源工程等领域，因为这些领域的控制过程是非线性的，介质是异质的，且观测数据往往稀少或不可靠。在这种情况下，数据驱动和混合计算智能方法对于构建兼具物理一致性和数据适应性的可靠替代模型变得越来越重要（Shirvani-Hosseini et al., 2022）。

在非线性演化方程中，Korteweg–de Vries方程和Burgers方程起着至关重要的作用，因为它们分别体现了控制波动动力学的两种关键机制：色散和耗散。KdV方程?ut+?uux+μuxxx=0描述的是非线性色散波（Karpman, 2016），其中??控制非线性对流的强度，μ则决定色散效应。相比之下，Burgers方程ut+uux?νuxx=0用于模拟对流流场中的粘性传输和激波形成，ν代表粘度。在许多物理系统中，色散和耗散是同时存在的。这就引出了KdV–Burgers方程ut+αuux+βuxx+γuxxx=0，它能够更真实地描述在粘性和弹性介质中的波传播现象。该模型已被用于研究湍流、含气泡的液体以及弹性管道中的波动现象，其物理推导和解释可见于Johnson, 1997, Feng and Huang, 2007。这里，α代表非线性对流，β体现粘性耗散，γ则控制色散效应。反应过程进一步丰富了这类系统的动力学特性。Burgers–Fisher方程结合了扩散和非线性反应机制，被广泛应用于气体动力学、种群生物学和热传递领域（Jaradat and Alquran, 2022, Hamzah and Aprianto, 2021）。它的经典形式基于Fisher方程ut?βuxx=ru(1?u)，其中扩散项与逻辑斯蒂反应ru(1?u)相互竞争。这些模型自然地引出了Korteweg–de Vries–Burgers–Fisher方程，它在一个统一框架内整合了非线性对流、耗散、色散和反应效应。三阶KBF方程为?ut+?uux?νuxx+μuxxx?ru(1?u)=0，同时还需满足初始条件和边界条件：u(x,0)=u0(x),x∈[a,b],u(a,t)=g1(t),u(b,t)=g2(t),ux(a,t)=h1(t),ux(b,t)=h2(t)。该方程能够体现KdV型色散、Burgers型粘性和Fisher型反应的综合作用（Tang and Weber, 1991），并被用于模拟污染物传输、化学反应、种群动态以及疾病传播现象（Ko?ak, 2020）。

在许多应用中，更高阶的色散效应变得非常重要，尤其是在浅水波、光学孤子以及流固耦合问题中。这就催生了五阶KBF方程?ut+?u2ux?νuxx+μuxxx?ru(1?u)?δuxxxxx=0，它多了一个五阶色散项。当r=0时，该模型可简化为五阶KdV方程（Wazwaz, 2016, Yang and Zhang, 2021）；而当ν=r=0时，则得到修正后的Kawahara方程（Biswas, 2009）。这些更高阶的模型能够捕捉到低阶方程所没有的复杂非线性和色散相互作用，而这些相互作用在许多物理系统中至关重要。数值方案依然是求解非线性演化方程的主要手段，尤其是当色散、耗散和反应同时存在时。在这些方案中，基于样条的配置方法因其平滑性、精确度和数值稳定性，对于高阶偏微分方程尤为有效。它们已被成功应用于热传导、对流-扩散方程以及薛定谔型方程（Jena and Senapati, 2024, Jena and Senapati, 2025）、使用五阶样条的Kuramoto–Sivashinsky方程（Iqbal et al., 2020a），以及通过三角五次B样条实现的分数阶福克-普朗克模型（Karabenli et al., 2025）。相关的样条技术也被用于Emden–Fowler方程以及其他奇异边界值问题（Iqbal et al., 2018, Iqbal et al., 2020b）。最近的研究表明，基于样条的求解器在三阶和五阶KBF方程上都能表现出良好性能（Esen et al., 2024, Karaagac et al., 2025），这进一步证明了它们在处理色散-耗散-反应型模型时的有效性。尽管有限元离散化、谱方法以及标准时间积分方案等传统数值技术应用广泛且精度很高，但对于非线性演化方程，尤其是在长时间模拟或需要针对不同初始和边界条件进行多次计算时，其计算成本可能会迅速上升。此外，正如数值分析文献中所讨论的，高阶空间离散化的长时间性能往往受到对时间步长严格稳定性要求的限制，这就需要采用精细的时间积分和稳定策略（Trefethen, 2000）。

为克服这些局限，降阶方法和基于学习的方法越来越受到关注。传统的降阶模型通过离线训练来降低计算成本，但当初始条件或系统参数发生变化时，其精度往往会下降（Quarteroni et al., 2014）。深度学习方法则通过直接从数据中学习解的表达形式，具备了更大的灵活性（Zhu et al., 2019, Raissi et al., 2017），并且已被扩展到高维问题中（Han et al., 2018）。近期，概率性和基于算子的学习框架，如用于非线性偏微分方程的高斯过程模型，也被引入进来，用以量化不确定性并将物理结构融入数据驱动的求解器中（Chen et al., 2021）。然而，纯数据驱动的模型往往难以实现泛化，且缺乏物理一致性，这就促使人们开发出物理信息驱动的学习框架。与此同时，现代优化理论的发展也为科学机器学习带来了进步，如今基于原理的梯度方法和随机方法始终能优于启发式或类比算法（Samadi-Koucheksaraee et al., 2022）。特别是，基于朗之万理论的物理启发式随机动力学方法，已被证明能够提升高维学习问题的稳健性和收敛性（Chen et al., 2025）。物理信息神经网络为求解偏微分方程提供了强大的框架，它将控制方程、初始条件和边界条件直接嵌入损失函数中（Karniadakis et al., 2021, Raissi et al., 2017）。这种无需网格的建模方法已成功应用于流体力学、热传递和生物力学等领域（Raissi et al., 2019, Cai et al., 2021, Sahli Costabal et al., 2020）。变分PINNs（Kharazmi et al., 2019）、域分解和并行PINNs（Meng et al., 2020）以及混合数据-物理建模方法（Tartakovsky et al., 2020）等扩展形式进一步提升了它们的应用范围。不过，标准的PINNs本质上仍属于函数逼近器，在长时间积分过程中往往会出现残差误差累积和非线性不稳定现象，从而降低预测精度。神经算子学习则为近似无限维函数空间之间的映射提供了一种强大的范式。傅里叶神经算子及相关算子网络等架构（Li et al., 2020b, Li et al., 2020a）在训练完成后能够实现快速、与分辨率无关的推理，但它们严重依赖大规模训练数据，且不会强制遵循物理定律。DeepONet（Lu et al., 2021）则是一项重大进展，它使得模型能够在不同输入函数家族之间实现泛化（Wojtowytsch and Weinan, 2020, Lanthaler et al., 2022）。然而，如果仅通过数据训练，DeepONet模型在长时间演化过程中往往会出现不稳定或精度下降的问题，尤其是在非线性多尺度场景中，小误差会随着时间不断累积。物理信息PI-DeepONets通过将控制方程的残差、初始条件以及边界条件直接嵌入算子学习框架，解决了纯数据驱动的神经算子存在的诸多缺陷，从而将神经算子的表达能力与基于物理的约束稳定性相结合（Goswami et al., 2023, Sevcovic and Udeani, 2023）。最新的研究还表明，通过递归评估策略和函数空间采样技术，物理信息算子学习可以应用于更长的时间跨度（Wang and Perdikaris, 2023）。尽管取得了这些进展，但由于分布偏移、累积误差增长，以及在时空域的动态活跃区域内难以准确遵循控制方程，实现稳健的长时间算子学习依然具有挑战性。尤其是一些现有的PI-DeepONet模型是将偏微分方程的残差施加在均匀或随机采样的配置点上，这可能导致训练样本使用效率低下，且无法有效约束尖锐的梯度、边界层以及局部的非线性结构——而这些正是导致长时间误差累积的主要因素。本研究通过引入基于高斯随机场的配置策略，解决了这一问题，该方法利用高斯随机场的结果来自适应地选择时空配置点，以此来施加偏微分方程的残差约束。所提出的框架无需数据即可学习解的演化过程，其训练完全由源自控制方程及其相关初始和边界条件的物理基础损失函数，以及模型自身预测的递归使用来引导，无需依赖带标签的输入-输出解数据。通过将物理约束集中在具有尖锐梯度和局部结构的动态活跃区域，该方法能够提供更强且更有针对性的约束，从而提升递归PI-DeepONet预测的稳定性，减少长时间误差的累积。结合时间域分解技术，该框架实现了无需数据、稳定且符合物理规律的非线性演化方程长时间模拟。该方法在三阶和五阶KBF方程上得到了验证，结果显示其误差增长得到控制，稳定性有所提升，且相比常用的均匀采样和拉丁超立方配置策略，具备更好的鲁棒性。总体而言，这项研究建立了一个统一的物理信息算子学习框架，该框架系统地解决了长时间稳定性、采样效率以及误差累积等问题，为由偏微分方程控制的非线性演化问题提供了一种实用且可扩展的解决方案。

章节节选：

深度算子网络（DeepONets）：本节介绍了DeepONet，这是一种用于学习非线性算子以求解参数化偏微分方程的神经网络框架。该部分包含两个小节：第一节概述了深度算子学习以及DeepONets的基本概念；第二节则介绍了DeepONets的组成要素和训练过程。

物理信息方法：在物理信息方法这部分，我们通过纳入偏微分方程约束以及解决长时间求解难题，对DeepONet框架进行了改进。3.1节介绍了将控制方程融入训练过程的PI-DeepONets；3.2节则介绍了一种结合高斯随机场采样的递归PI-DeepONet策略。该策略旨在确保非线性演化方程能够实现稳定且精确的长时间积分。结果与讨论：本节评估了第2节“深度算子网络（DeepONets）”和第3节“基于物理的方法”中介绍的PI-DeepONet框架在处理具有DDR行为的非线性偏微分方程时的性能。我们选择了两个具有代表性的测试问题：三阶KBF方程及其五阶扩展形式。这类模型因其包含了非线性对流、粘性耗散、高阶色散以及反应效应，因此构成了极具挑战性的基准测试。我们的实现方案遵循……局限性与未来方向：所提出的基于物理的深度算子学习框架在一维非线性演化方程问题上展现出较强的长时间稳定性和鲁棒性；不过仍存在若干挑战，这些也为未来的研究提供了方向。在本研究中，KdV–Burgers–Fisher方程被设定在单一空间维度中，从而便于深入研究时间误差积累、算子稳定性以及采样策略等问题。未来可进一步将这一框架拓展到二维和三维问题中。结论：本研究提出了一种基于物理的深度算子学习框架，旨在解决长期存在的、如何稳定模拟具有色散-耗散-反应动力学的非线性偏微分方程的问题。通过将算子级学习与递归时间域分解相结合，该方法能够在较长的时间范围内实现精确且稳定的解的传播，避免了通常会出现的渐进式误差增长问题。CRediT作者贡献说明：S. Sarthak负责原始稿撰写、可视化、验证、软件开发、方法设计、研究实施以及正式分析；D. Srinivasacharya负责审稿与编辑、可视化、验证、监督、资源提供、研究实施、正式分析以及概念设计。代码获取：如需获取支持本研究结果的代码，可向作者提出合理请求后获得。利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究工作的已知财务利益或个人关系。致谢：S. Sarthak衷心感谢印度科学与工业研究委员会（CSIR）通过研究奖学金（文件编号：09/0922(15090)/2022-EMR-I）为他的这项研究工作提供的财政支持。