基于间断捕捉Petrov-Galerkin/压力稳定Taylor-Galerkin（DCPG/PSTG）方法的可压缩流与传热隐式子网格建模

《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：Implicit subgrid modelling of incompressible flow and heat transfer using the discontinuity capturing Petrov-Galerkin/pressure stabilising Taylor-Galerkin (DCPG/PSTG) method

　　保罗·奥古斯托·贝尔科·德·桑帕约|蒂亚戈·菲格埃拉尔·里贝罗·迪亚斯·达·罗萨
巴西里约热内卢州丰当岛大学城，CNEN核工程研究所，邮编21941-972

**摘要**
本文提出了一种用于模拟不可压缩流体与传热问题的新型稳定有限元方法。该方法将速度的泰勒级数展开与动量平衡方程以及质量守恒的伽辽金近似相结合，从而得到用于计算压力的方程。压力稳定泰勒-伽辽金（PSTG）方法避免了巴布什卡-布雷齐条件对速度和压力插值空间的限制。为处理强对流流动，本文还引入了间断捕捉彼得罗夫-伽辽金（DCPG）方法，该方法基于有效传输速度——即流速在所传输量梯度方向上的投影——并实现了大涡模拟中的隐式子网格建模。通过层流和湍流流动的数值算例，证明了DCPG/PSTG方法的优异性能。

**引言**
伽辽金有限元方法在处理诸如热传导和线性弹性等椭圆型自伴问题时取得了显著成功。对于这类问题，伽辽金方法在能量范数下具有最佳逼近性质[1]。然而，在处理以原始变量表示的不可压缩纳维-斯托克斯方程时，若使用伽辽金有限元方法，则会面临两大难题：其一为对流主导问题数值解中出现的空间振荡现象；其二为由于流体的不可压缩性，使用伽辽金混合格式时需要为速度和压力选择兼容的插值函数[3][4]。

早期的彼得罗夫-伽辽金稳定格式通过引入上风效应，有效消除了一维对流-扩散问题中的振荡现象[2][5]。但将这些早期方法推广到多维问题时，会导致过度的横向数值扩散，这一现象在二维上风有限差分方法中也有出现[6]。后来出现的流线型上风彼得罗夫-伽辽金方法（SUPG）在一定程度上解决了过度横向扩散的问题[7]，但它仍无法消除边界层等存在急剧梯度区域内的数值振荡。后续研究通过开发能够引入间断捕捉效应的稳定有限元格式，进一步提升了算法性能[8][9][10]。

稳定格式在不可压缩流体问题中也表现出良好效果，避免了伽辽金速度-压力混合格式中与巴布什卡-布雷齐条件相关的限制。休斯等人较早提出了适用于处理流体不可压缩性的压力稳定有限元格式，尽管其仅限于斯托克斯问题[11]；德·桑帕约则提出了包含压力稳定项的不可压缩纳维-斯托克斯方程格式，并成功应用于不可压缩粘性流体的模拟[12][13]。关于其他为规避巴布什卡-布雷齐条件限制而设计的创新方法，可参考齐恩凯维奇和吴的研究[14]以及特兹杜亚尔等人的工作[15]。

休斯及其团队提出的变分多尺度（VMS）方法为研究和开发稳定有限元格式提供了框架。该方法采用流体的变分形式，将试验函数空间和权重函数空间划分为多个尺度，从粗尺度到子网格尺度逐步细化。子网格尺度根据控制方程进行建模，使其与离散化残差成比例，从而能够在考虑子网格效应的同时数值求解粗尺度方程。VMS框架所形成的稳定有限元格式具有一致性特点，即随着离散化残差趋近于零，稳定项也会消失。格拉维迈尔等人在湍流流动的大涡模拟中应用了VMS框架来发展稳定有限元格式[18][19][20][21][22]。

德·桑帕约还提出了另一种基于局部时间步长的不可压缩粘性流体有限元格式，该格式通过时间离散化实现稳定性控制[23]，并将其应用于自由对流和混合对流问题[24]。与彼得罗夫-伽辽金方法中预先设定稳定项或通过VMS框架生成稳定项不同，这种方法的稳定项是从动量方程的时间中心离散化开始，再结合空间离散化（采用有限元）以及空间离散化残差的最小二乘优化自然衍生出来的。实际上，SUPG权重函数和压力稳定项均源自这一推导过程。尤其是稳定项与时间离散化所用的时间步长成正比，这表明需要使用局部时间步长来使稳定项适应局部条件。在实际应用中，这些局部时间步长相当于其他稳定有限元格式中的τ参数。为确保计算过程的适当稳定，还设计了简单的时间插值方案来同步推进数值解的发展[23][24]。

无论是为控制对流主导流体中的振荡，还是为稳定不可压缩流体的压力，稳定有限元方法的一个显著优点在于，它们能够在不破坏公式一致性的前提下提升稳定性[7][11]。此外，由于稳定项与控制方程的离散化残差成正比，因此可将它们视为子网格模型，并直接用于大涡模拟，而无需借助显式的涡粘性湍流模型。事实上，稳定格式与子网格建模之间的关联早已被认识并得到应用[16][19][20][21][22][25][26][27]。

本文提出了一种用于模拟不可压缩流体与传热问题的新型稳定有限元方法。该方法通过将速度的泰勒级数展开与动量平衡方程以及质量守恒的伽辽金近似相结合来实现压力稳定，由此得到的压力稳定泰勒-伽辽金（PSTG）方法避免了巴布什卡-布雷齐条件对速度和压力插值空间的限制，进而可得到用于确定压力场的方程。此外，为处理强对流流动并减少振荡，本文还引入了间断捕捉彼得罗夫-伽辽金（DCPG）方法。DCPG方法利用有效传输速度——即流速在所传输量梯度方向上的投影——不仅能实现间断捕捉，还能自然引入隐式子网格建模，因此非常适合用于大涡模拟。

与文献[23][24][26]类似，本文也采用了局部时间步长来调整稳定项对整体离散化模型的影响。这些局部时间步长是根据空间离散化所能解析的最快现象的时间尺度来确定的。因此，随着网格分辨率在空间上的变化，局部时间步长所代表的时间分辨率也会相应变化。本文同样采用了[23][24][26]中的同步方案。

本文的推导针对轴对称问题，此时纳维-斯托克斯方程和能量方程均以圆柱坐标形式表述。不过，为便于参考，文中也给出了适用于二维笛卡尔坐标问题的DCPG/PSTG稳定有限元格式的最终形式。该方法已在我们自主研发的Fortran 90语言CFD代码中实现，该代码具备自适应重网格功能，并支持共享内存系统中的并行处理。

文中给出了自由对流、混合对流和受迫对流流动的数值算例，涵盖了轴对称问题和二维笛卡尔问题，涉及层流和湍流两种流动状态。本文的其余结构如下：第2节介绍流动与传热模型；第3节阐述离散化模型及求解流程；第4节通过数值算例对比本文方法的预测结果与现有文献中的数据；最后第5节给出总结性意见。

**节选内容**
**流动与传热模型**
本文所采用的轴对称流动与传热模型包括不可压缩纳维-斯托克斯方程以及描述能量变化的对流-扩散方程。这些方程均以无量纲速度、压力和温度场的形式表示。无量纲控制方程在圆柱坐标系中表示为：
?u/?x + 1/r ?(rv)/?r = 0
?u/?t + a·?u ? ?(?p + Sxx)/?x ? 1/r ?(rSxr)/?r + RigxT = 0
?v/?t + a·?v ? ?Sxr/?x ? 1/r ?[r(?p + Srr)]/?r + (Sθθ ? p)r = 0
?T/?t + a·?T + ?qx/?x + 1/r ?(rqr)/?r = 0
其中x和r分别表示轴向和径向坐标。

**PSTG方法与压力连续性方程**
本文介绍了压力稳定泰勒-伽辽金（PSTG）方法，该方法可用于推导压力连续性方程。该方程用于计算压力场，它结合了时间泰勒级数、连续性方程（即质量守恒定律）以及动量守恒定律。最重要的是，它允许对速度和压力使用相同阶数的空间插值，从而避免了巴布什卡-布雷齐条件带来的限制。

**数值算例**
本章给出了自由对流、混合对流和受迫对流流动的数值算例，涵盖了轴对称问题和二维笛卡尔问题，涉及层流、过渡态和湍流三种流动状态。第一个算例为混合对流问题，即浮力作用下圆柱体周围的横流问题。该算例用于说明在选择γ=0或γ=1时，在抑制振荡方面的差异，即SUPG方法与...方法的效果对比。

**结论性意见**
本文提出了用于分析流动与传热的间断捕捉彼得罗夫-伽辽金/压力稳定泰勒-伽辽金（DCPG/PSTG）方法。PSTG方法避免了巴布什卡-布雷齐条件对速度和压力插值空间的限制，而DCPG方法则引入了间断捕捉机制以及适用于大涡模拟的隐式子网格模型。局部时间步长的使用对于调整公式中的稳定项至关重要。

**作者贡献说明**
保罗·奥古斯托·贝尔科·德·桑帕约：论文撰写——审阅与编辑、论文撰写——初稿、验证、监督、软件开发、资源提供、项目管理、方法设计、研究实施、资金筹集、正式分析、数据整理、概念构思。
蒂亚戈·菲格埃拉尔·里贝罗·迪亚斯·达·罗萨：可视化处理、验证、研究实施、正式分析、数据整理。

**利益冲突声明**
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