一种基于格林函数用于计算多层建筑围护结构中周期性热传递的新分析方法

《Energy and Buildings》：A novel analytical method for computing the periodic heat transfer in multilayer building envelopes based on Green’s function

　　彭佳龙|宋冰|刘岩|张帅|杨刘中国陕西省西安市西安建筑科技大学建筑学院，邮编710055摘要为了更好地设计并优化建筑围护结构，避免不必要的热量损失或吸收，建立简单而有效的建筑能效评估方法至关重要。本研究基于格林函数提出一种新的分析方法，用于计算建筑围护结构中的周期性热传递。通过在该方法中，通过在层间界面处保持温度和热流连续性，可推导出频域下的一维温度分布的解析解。随后将该解析解进行傅里叶逆变换，得到用简单函数表示的显式解析表达式。通过求解这些简单的数学表达式，即可确定内表面温度、热流强度、衰减因子以及时间延迟等参数。该方法还可扩展到二维问题，适用于更复杂的场景。验证与比较结果表明，该格林函数方法既简洁又精确。与传统方法如拉普拉斯变换方法相比，该方式更便于手工计算，且无需担心稳定性问题。在一维场景中，该方法得出的内表面温度和热流结果与基于有限体积法的Kvalue软件结果高度吻合，最大误差分别为0.056℃和0.293瓦/平方米。在二维场景中，其在各层的中心区域以及复合结构的内表面中心处的结果也与有限差分模拟结果一致，最大温度差异为0.177℃。该格林函数方法为建筑围护结构的热性能及节能设计提供了一种兼具物理直观性与工程实用性的理论工具。引言建筑能源消耗已成为全球总能源消耗的重要部分。例如在中国，建筑行业约占全国总能源消耗的46%[1]，因此降低建筑能耗具有重要意义。高效能的围护结构设计是实现这一目标的有效策略[2]。由于室外空气温度和太阳辐射强度等气象条件会随季节和昼夜发生变化，建筑围护结构中的热传递过程变得极为复杂且非稳态。因此，对建筑围护结构进行瞬态热分析对于其热性能和能效设计而言十分必要。近几十年来，包括EnergyPlus[3]、DeST[4]和DOE-2[5]在内的多种建筑能源模拟软件包已被成功开发并在建筑领域得到广泛应用。这些工具主要用于建筑能源模拟和整体建筑分析。然而，对于专门计算建筑围护结构的瞬态热响应而言，简化后的解析模型和专用计算工具往往具有更高的实用性和计算效率[6]。在初步设计阶段，建筑师主要需要了解建筑围护结构的各种物理参数（如热阻、衰减因子和时间延迟），以便估算能耗并评估室内热舒适度[7]。因此，开发简单、可靠、高效且用户友好的数学模型和计算程序具有重要的实际意义。目前有多种方法可用于计算建筑围护结构中的非稳态热传递，包括数值方法、谐波法、响应因子法、传导传递函数法和热电类比法[6][7][8]。表1总结了这些动态热传递计算方法的主要优缺点。用于求解热传导方程的数值方法通常依赖于集总参数近似。根据所采用的离散化方案，这些方法可分为有限差分法、有限体积法、有限元法或状态空间法[9][10][11][12][13][14]。为确保数值解的收敛性和准确性，往往需要大量的空间节点，而且每一步都需要确定完整的空间温度分布场。当边界条件发生变化时，所有参数都需从初始状态重新计算。数值方法虽然计算量大，且在揭示潜在物理机制方面可能不够有效，但其概念简单，能够处理线性和非线性边界条件。谐波法是一种用于分析在周期性边界条件下的建筑围护结构瞬态热传递的经典方法。Mackey和Wright[15]首次将谐波法应用于建筑围护结构的热传递计算，后续的Van Gorcum[16]、Muncey和Spencer[17]、Gupta[18]以及Hittle[19]等人对该方法进行了改进，提升了其在预测建筑空间负荷方面的应用能力。不过，该方法的推导过程较为复杂，难以阐明材料层叠对热传导频率响应的影响，从而增加了其解释和应用的难度[7]。响应因子法和传导传递函数法是目前用于求解建筑围护结构热传导方程最常用的方法。Mitalas和Stephenson[20][21]最初提出了响应因子法，该方法利用重叠的三角脉冲来近似温度变化，并通过拉普拉斯变换得出描述墙体对阶跃输入热响应的表达式。为提高响应因子法的收敛速度，人们基于响应因子法和Z变换发展出了传导传递函数法[22]。这些方法被广泛应用于DOE-2、TRNSYS和EnergyPlus等成熟的建筑能源与暖通空调模拟程序中。响应因子法和传导传递函数法的主要优点在于，它们不像有限差分法那样属于数值方法，且不要求热传导边界条件必须是周期性和线性的[6]。另一个重要优势是，它们能够将建筑围护结构的动态热响应与特定的外部干扰因素分离，只要建筑围护结构本身不变，同一组预先计算好的热响应参数就可以适用于任何外部干扰场景。建筑围护结构的动态热特性基本数据（如响应因子、周期响应因子、传导传递系数）可通过多种方法计算，包括直接求根法[20][21][22][23]、状态空间法[24]、时域法[25]以及频域回归法[6]。直接求根法是一种常用的计算响应因子和传导传递系数的方法，它需要通过数值方式寻找双曲特征方程的数百个根，然后再利用海维赛德展开式得到响应因子。这一过程十分繁琐且计算量大。此外，双曲特征方程可能存在多个根，这增加了遗漏某些根的可能性，从而导致结果不准确[6][23]。为解决这些问题，一些研究人员提出了改进方法，旨在避免遗漏根值并缩短求根时间[26][27]，同时也有研究人员开发了无需求根的替代方法，如状态空间法、时域法和频域回归法。状态空间法与有限差分技术类似，但需要较长的迭代时间[28]。时域法则直接在时域内求解傅里叶热传导方程，从而避免了求根过程[29]，但实际上它与直接求根法类似，通过编程实现较为繁琐，计算量大，且收敛速度较慢[6]。基于动态系统的等效频率特性，人们开发出了频域回归法来计算建筑围护结构中的瞬态热传递，该方法采用简化的多项式s传递函数来近似复杂的双曲s传递函数，从而避免了因遗漏根值而产生的误差[30]，不过确定合适的多项式s传递函数可能需要多次迭代或试错过程[31]。近年来，又出现了多种新的计算响应因子和传导传递系数的方法，包括Varela等人提出的直接数值积分法[32]、Khodr Jaber提出的复域级数展开法[33]，以及Pérez等人提出的频域样条插值法[34]。热电类比法广泛用于分析建筑围护结构中的非稳态热传递，它利用控制热传导和电传导的微分方程之间的形式等价性[7][8]，适用于具有恒定热物理性质的材料构成的建筑围护结构，以及那些具有复杂结构和相变材料的结构[35]。在实际应用中，热电类比法适合手工计算和编程，但通常需要将厚层材料分割成更薄的均匀层才能获得准确结果，因此本质上可视为有限差分法的实用变体[2]。格林函数是用于解析求解热传导问题的强大工具，已被广泛用于基于变换或谱技术的热传递计算中。Cole等人[36]将格林函数方法应用于矩形区域内的稳态二维热传导计算，得到了快速收敛的温度和热流表达式。Crittenden等人[37]随后将该方法扩展到了平行六面体几何形状中。Tadeu等人[38]提出了基于格林函数的解析解，用于模拟存在点热源的多层介质中的热传导现象。该格林函数方法还被用于横向各向同性双层板的三维热应力分析[39]。Marjanovic等人[40]采用基于格林函数的解析方法，分析了具有任意层数的复合平面结构中的瞬态热传导现象。Luo等人[41]则提出了一种基于球坐标系下三维格林函数的新解析方法，用于求解存在任意分布内部热源的球体内的温度分布问题。虽然格林函数方法在理论上可以处理涉及内部热源、非均匀边界条件以及特定初始条件的瞬态热传导问题[42]，但它所得到的解析解往往十分复杂，计算成本高，因此在工程应用中的实用性有限。在建筑热工学中，所研究的动态热过程通常具有周期性波动特征，因此该领域主要关注周期性热传递的分析[43]。一些研究人员开发了解析方法，用于求解处于周期性边界条件下的建筑围护结构的热传导问题。Ma等人[44]利用辅助函数法，得到了处于周期性边界条件下的单层墙体热传导的解析解。Fathipour等人[45]则运用分离变量法来求解建筑围护结构中的热传导问题。Lu等人[46]通过将时变边界条件进行傅里叶级数近似，并结合拉普拉斯变换，开发出了一种用于建筑围护结构热传导的解析方法。Yumrutas等人[47]则提出了一种基于复数有限傅里叶变换技术的解析模型，用于分析多层墙体和平屋顶的周期性热传递现象。Concilio等人[48]则采用加权残差法，为具有周期性边界条件的建筑墙体热传导推导出了近似解析解。尽管建筑围护结构中的周期性热传导已得到广泛研究，但目前的相关解析研究大多集中在近似公式上，精确的封闭形式解仍然较为少见。在本文中，我们基于格林函数开发了一种用于计算多层建筑围护结构中周期性热传递的新解析方法。首先，基于格林函数，在频域内推导出了一维周期性稳态热传导的封闭形式解析解，随后通过傅里叶逆变换，得到了时域内温度分布的精确显式解析表达式。这种解析解的优点在于形式简洁，易于应用，且物理参数在数学表达式中都有明确体现。建筑围护结构的热性能对于决定建筑的能源效率和室内热舒适度起着关键作用。准确量化并描述衰减因子、时间延迟、内表面温度以及热流密度等关键热参数，对于高效设计及优化建筑围护结构的性能至关重要。目前，这些参数的确定主要依赖于计算量较大的数值模拟方法，这类方法不仅难以揭示其中的参数关系，而且往往缺乏通用性和准确性；另一种方法是使用简化的近似公式，但这些公式同样往往不够精确且缺乏普遍适用性。为克服这些局限性，本文为上述参数推导出了精确的解析表达式，这些公式不仅简洁明了，而且具有很高的准确性。在建筑热工学中，研究二维热传递对于准确描述建筑围护结构中的非均匀热传递现象具有至关重要的意义。二维分析是构建热设计的重要工具，它能够精确计算线性热传递率（ψ值），以此评估与热桥相关的能量损失，并模拟温度场以确定可能发生冷凝的区域[49]。因此，GF方法被扩展到二维场景，证明了其处理更复杂情况的能力。案例研究验证表明，GF方法在实际工程和建筑模拟中具有很高的准确性。这项工作为高性能建筑围护结构的设计与优化提供了坚实的理论基础和实用的定量分析工具。本文的结构如下：第一部分阐述了本研究的目的是什么；第二部分介绍了用于分析建筑围护结构中周期性瞬态热传导的GF方法；第三部分通过多个案例研究展示了这一新分析模型的简洁性与准确性；最后一部分总结了本研究并得出了各种结论。

解析解
假设建筑围护结构由n个均匀层组成，如图1所示。第i层的热扩散率、热导率和厚度分别用ai、λi和Li表示。第i层内的的一维瞬态热传导遵循以下方程：
?2Ti(xi,τ)/?xi2 = 1/ai ?Ti(xi,τ)/?τ，0≤xi≤Li，i=1,2,...,n
其边界条件如下：
- λ1?T1(x1,τ)/?x1，x1=0
ho[Tout(τ)-T1(0,τ)]
- λn?Tn(xn,τ)/?xn，xn=Ln
hi[Tn(Ln,τ)-Ti]

分析及结果讨论
通过四个案例研究对GF方法进行了验证，以证明其在进行周期性热传导分析时的准确性、高效性及适用性。分析内容包括对衰减因子、时间延迟、热通量以及建筑围护结构内表面的温度等参数的评估。前三个案例研究针对一维瞬态热传导，而第四个案例则将分析扩展到二维场景。

案例研究一
Yan和Zhao[52]曾报道过……

讨论
GF是数学和物理学中的一个重要概念，被广泛用于求解线性偏微分方程和边值问题。本文研究了GF在分析建筑围护结构中的周期性热传递中的应用。本文提出了一种基于GF的新谐波方法，作为其他解析法和数值方法的替代方案。从实际计算的角度来看，这种新开发的GF方法非常有用。

结论
作用于建筑围护结构的外部扰动主要取决于当地的气象条件。由于室外气候的周期性变化，建筑物内的动态热过程通常会呈现周期性波动。本研究重点分析了通过建筑围护结构的周期性热传递现象。基于GF方法，得到了多层建筑围护结构中一维和二维温度分布的封闭形式解析解。

作者贡献说明
彭嘉龙：撰写——初稿、研究工作。宋冰：撰写——审阅与编辑、方法论、资金获取、概念构思。刘岩：验证、监督工作。张帅：可视化、软件相关工作。刘阳：……

利益冲突声明
作者们声明存在以下可能被视为潜在利益冲突的财务利益/个人关系：宋冰表示获得了中国国家自然科学基金的资金支持。其他作者则声明没有已知的可能影响本文所述工作的财务利益或个人关系。

致谢
本研究得到了中国国家自然科学基金（编号52108093）、中国“十四五”国家重点研发计划（编号2022YFC3802700）、陕西省重点研发计划（2023-ZDLSF-66）以及陕西省自然科学基础研究计划（编号2024JC-YBMS-332）的资助。