利用语言模型和聚类技术将投资者的风险态度纳入经济自由指数（Index of Economic Freedom）的评估中

《Financial Innovation》：Integrating investor risk attitudes into the Index of Economic Freedom with linguistic models and clustering techniques

　　摘要
评估经济自由度至关重要，因为它与经济发展和繁荣息息相关。由遗产基金会（Heritage Foundation）和《华尔街日报》（The Wall Street Journal）共同开发的经济自由指数（Index of Economic Freedom，简称IoEF）通过12个标准来衡量经济自由度，为政府和投资者提供了一个关键的综合性指标。然而，这12个标准在评估经济自由度时具有相同的权重，并未考虑到投资者的风险态度，这限制了其在个性化投资决策中的应用。例如，谨慎的投资者在计算IoEF时更关注那些不太有利的标准，而冒险的投资者则恰恰相反。因此，本文提出了一种将投资者风险态度纳入经济自由度评估的模型。本文首次使用有序加权平均（Ordered Weighted Averaging）聚合算子的语言量化指标以及二元语言模型（2-tuple linguistic model）来生成更具个性化的IoEF。同时，本文还采用了模糊C均值聚类（Fuzzy C-Means clustering）方法，根据新生成的IoEF对173个国家进行分类，允许国家属于多个群体，并识别出在特定群体中占据较高成员度的国家。通过遗产基金会2022年发布的IoEF数据集对所提出模型的有效性进行了评估。结果显示，我们的模型提供了更灵活、更易于理解的经济自由度个性化版本，更能反映投资者的风险偏好。为了进一步支持实际应用，我们开发了一个交互式网络应用程序来可视化结果，展示了模型的可重复性，并帮助投资者根据风险偏好确定合适的投资目的地。

引言
经济发展和繁荣与经济自由度密切相关。经济自由度指的是个人在一个国家内从事自愿经济活动的自由或权利（Li 2008）。经济自由度的国家允许劳动力、资本和产品的自由流动，这种自由在促进经济和社会可持续性、民主发展以及繁荣等方面起着关键作用（Vrabec和Marek 2015；Ott 2018）。

经济自由指数（IoEF）是一个用于衡量各国政治和经济制度状况的综合性指标，提供了一个总结值，反映了多个标准的表现。它是政府政策制定者、投资者和市场研究人员监测经济改革、制定决策和发展策略的有用工具。该指数体现了人民的基本权利在自由市场、自由贸易和私有财产等方面的允许程度（Ecer和Zolfani 2022），这是一个复杂的衡量指标。包括遗产基金会（Heritage Foundation）、弗雷泽研究所（Fraser Institute）等多个组织已经开发了独特的评估方法和标准来衡量不同国家和地区的经济自由度。如图1所示，遗产基金会使用12个标准来衡量经济自由度，并认为每个标准在实现经济自由度的优势方面都同样重要；也就是说，在生成的综合性指标（即IoEF）中，每个标准都被赋予了相同的权重。

然而，在生成IoEF时对所有标准平等加权未能考虑到它们之间的相互作用以及投资者在决定与哪些国家进行商业交易时的态度。例如，对某些IoEF标准持非常积极看法并愿意承担风险的投资者可能会选择投资于至少在这些标准中有一项表现优于其他国家的国家，即使该国在其他标准上的表现不佳。在这种情况下，对所有标准应用相同的权重无法在IoEF的结果中反映这种情况。此外，当使用平均加权方法计算IoEF时，某些标准的不佳表现可能会被其他标准的出色表现所抵消。因此，该指数的结果可能只能部分反映表现不佳标准的负面影响。有些国家可能在某些标准上表现出色，但在其他标准上存在不足。对经济自由度标准采用平等加权的方法无法准确反映这些差异。例如，保守的投资者在决定投资哪些国家时可能会遇到困难。

将多个不同标准汇总成一个综合性指标是一个多标准决策制定（Multi-Criteria Decision-Making，简称MCDM）问题。MCDM是一系列在决策过程中具有很大灵活性的方法（Cinelli等人2014）。MCDM方法非常适合将各种单一指标汇总成综合性指标（El Gibari等人2019）。在计算IoEF时已经运用了多种MCDM方法，如TOPSIS（Hwang和Yoon 1981）、BoD（Melyn和Moesen 1991）、熵（Shannon 1948）、SAW（Churchman和Ackoff 1954；Fishburn 1967）、MAUT（Keeney和Raiffa 1976；Winterfeldt和Edwards 1986）、ARAS（Zavadskas和Turskis 2010）、WEDBA-G（Venkata Rao和Singh 2012）、Grey PSI（Uluta?等人2021）、MEREC（Keshavarz-Ghorabaee等人2021）、CRADIS（Pu?ka等人2022）以及PDTOPSIS-Sort-C（De Lima Silva等人2023）。然而，尽管这些方法在评估经济自由度方面提供了一定的优势，但据我们所知，目前文献中尚缺乏将投资者态度纳入IoEF计算的方法。

因此，本文的目的是在衡量经济自由度时考虑投资者的风险态度，从而获得与遗产基金会采用的平等加权方法不同的新版本IoEF。新创建的IoEF称为个性化经济自由指数（Personalized Index of Economic Freedom，简称PIoEF），该指数旨在考虑投资者对衡量经济自由度的标准的不同态度。如果投资者不反对承担高风险，则在计算PIoEF时会更加重视更有利的标准。这类似于在很大程度上忽略负面因素的同时，对某些积极因素感到满意。相反，如果投资者担心承担高风险，则在计算PIoEF时会更加重视不太有利的标准。

本文采用以下方法和技术来实现上述目标：
- 有序加权平均（Ordered Weighted Averaging，简称OWA）聚合算子：这是一种MCDM方法，用于在生成聚合值时考虑决策者的态度特征。所提出的模型中使用了不同的语言量化指标来模拟决策者对各种标准的态度，以生成PIoEF。这有助于调整计算PIoEF时的标准权重，使其与投资者的态度保持一致。
- 二元语言模型：这是一种模糊语言模型，用于为投资者提供更直观的PIoEF解释，同时保持计算精度。这一点很重要，因为综合性指标的结果通常是一个数字，用于构建排名，但没有明显的语言意义，因此存在不确定性问题。
- 模糊C均值（Fuzzy C-Means，简称FCM）聚类：该模型用于根据各国的PIoEF值对其进行分类。这种聚类技术为每个国家分配一个成员度，揭示其不同的特征。它允许一个国家属于多个群体，并识别出在特定群体中占据较高成员度的国家。
- Shiny：这是一个R语言包，用于构建交互式网络应用程序，以可视化所提出模型的结果，提高其结果的可重复性和透明度。为了证明本文所开发模型的有效性，使用遗产基金会2022年发布的IoEF数据集生成了PIoEF。虽然本文的主要贡献是考虑了投资者对风险的态度在衡量经济自由度中的作用，但它还带来了以下贡献：
- 它使用了一种之前未在文献中用于计算经济自由度指数的MCDM方法（即OWA聚合算子）。这是第一篇使用OWA聚合算子来开发更具个性化IoEF的论文。
- 它重新定义了OWA聚合算子的语言量化指标，使其在语义上更易于理解，从而更好地模拟投资者对衡量经济自由度的不利或有利标准的态度；
- 它生成了多种PIoEF情景，可以满足综合性指标的排名功能，并提供更易于理解的语义解释；
- 它根据不同语言量化指标生成的PIoEF情景对国家进行分类，允许投资者设置成员度并找到在特定群体中满足其需求度较高的国家；
- 它开发了一个交互式网络应用程序，以可视化所提出模型的结果，便于结果的复制和决策过程。

本文的其余部分结构如下：“文献综述”部分总结了过去五年中关于将MCDM方法应用于IoEF计算的研究，并探讨了本文对这些研究的贡献。“初步准备”部分介绍了所提出模型所基于的基本方法论概念。“提出的模型和发现”部分展示了所提出模型在计算PIoEF中的应用。“结果分析”部分分析了获得的结果。“结论和未来研究”部分讨论了所提出模型的优势以及未来研究中需要解决的局限性。

文献综述
本节总结了过去五年中与IoEF相关的研究。首先，它探讨了IoEF的重要性，然后研究了MCDM方法如何用于计算IoEF，并将其与其他指数（特别是人类发展指数（Human Development Index，简称HDI）进行了比较。最后，解释了为什么本文使用OWA聚合算子来衡量经济自由度。

如“引言”部分所述，IoEF是一个综合性指标，通过考虑财产权利、营商环境便利性和劳动力市场条件等多个标准来衡量一个国家的经济自由度。该指数对政府和商业投资者至关重要。在最近的一篇论文中，Alabede（2018）研究了经济自由度对撒哈拉以南非洲税收收入表现的影响，并报告称综合性经济自由度（即IoEF）对税收收入表现有显著的积极影响。?enalp（2019）使用了1970年至2009年间83个发达国家和发展中国家的数据，研究了经济自由度和外国直接投资（FDI）对经济增长的影响。研究表明，经济自由度通过FDI影响经济增长。Singh和Gal（2020）评估了IoEF对FDI流入的影响。他们发现，经济自由度对南亚、拉丁美洲、东亚、北欧和西欧的FDI流入有显著影响，表明更高的经济自由度可以增加FDI流入。Gezer（2020）研究了1996年至2018年间11个转型经济体的IoEF与人类发展之间的双变量关系。该研究揭示了经济自由对人类发展的短期和长期影响。Dempere和Pauceanu（2022年）研究了IoEF各构成要素对全球创业指数及其子指数的解释能力。IoEF的计算方法引起了众多学者的关注。由于IoEF包含12个衡量经济自由的标准，将这些标准结合成一个综合指标属于多标准决策（MCDM）问题。MCDM方法已被用于构建许多指数，包括人类发展指数（HDI）、环境可持续性指数（ESI）、农业可持续性指数（ASI）和水质指数（WQI）。本文回顾了2018年以来使用MCDM方法计算IoEF的相关文章，并将其与其他指数（尤其是HDI）的相关文章进行了比较。在Web of Science、Scopus和Google Scholar数据库中搜索相关文献时使用的查询语句为：“（多标准决策”或“MCDM”）且“（经济自由指数”或“economic freedom index”）。为了比较MCDM方法在构建IoEF与其他指数中的应用，查询中的“经济自由指数”一词被替换为其他指数的名称，例如“人类发展指数”。共有8篇关于IoEF的文章，116篇关于HDI的文章，以及近100篇关于其他指数的文章（例如，98篇关于WQI的文章，93篇关于ASI的文章），排除了重复项和不符合搜索条件的结果。表1展示了所有使用MCDM方法计算IoEF的文章，以及一些涉及其他指数的文章，并指出了这些文章是否使用了其他技术来分析或可视化所得到的指数结果。

根据表1，尽管使用MCDM方法计算IoEF的文章数量不少，但实际应用这种方法的案例相对较少。例如，Altin（2020年）采用了TOPSIS和MAUT方法以及Spearman相关性分析来评估IoEF；Dialga和Vallée（2021年）在评估IoEF时应用了BoD方法和PCA，得出结论认为通过内生加权模型计算IoEF可以增强其合法性；Cabello等人（2021年）使用MRP-WSCI进行了IoEF分析并进行了稳健性分析；?zkaya（2022年）和Pu?ka等人（2023年）的研究中也使用了熵方法来评估IoEF。总的来说，用于计算IoEF的MCDM方法包括TOPSIS、BoD、熵、SAW、ARAS、CRADIS、PDTOPSIS-Sort-C、Grey PSI、WEDBA-G、MEREC和MAUT等。然而，据我们所知，尽管这些方法在评估经济自由方面具有优势，但目前文献中缺乏基于投资者态度的IoEF计算方法。在这方面，OWA（有序加权平均）聚合运算符常被用来考虑决策者的态度特征（Yager 1988, 1995；Peláez和Do?a 2003；Ahn 2010；Wen等人2021），这种方法在实际管理场景中更贴近人们的决策过程（Cheng等人2023）。Oukil等人（2021年）使用该运算符来计算WQI，利用其聚合能力和作为主观性调节器的角色，提高了水质评估的灵活性。不过，根据我们的研究，尚未有任何研究使用该运算符来计算IoEF。此外，表1显示，无论是对于IoEF还是其他指数，相关文章多采用传统的可视化技术而非交互式可视化技术来呈现计算结果。

为了填补文献中的这些空白，本文采用了OWA聚合运算符的不同语言量化器来模拟投资者在衡量经济自由时的态度。本文是首次使用OWA聚合运算符来构建更具个性化的IoEF的文献。该运算符的语言量化器被重新定义，以便通过更易于理解的表述来反映决策者的态度（见“有序加权平均（OWA）聚合运算符”部分），这是本文的贡献之一。考虑到各种排名方法通常存在不确定性，而简单的数值排名无法为决策者提供明确的语言意义，本文结合了二元语言模型。这可以为投资者提供更直观的排名结果解释，同时保持计算精度。此外，本文还使用FCM聚类根据不同语言量化器生成的PIoEF情景对国家进行分类。生成的聚类定义了在经济自由方面具有相似特征的国家群体，使投资者更容易识别出更理想的投资目的地。这种方法还允许投资者设定成员度，并识别出最符合他们需求的特定集群中的国家。

最后，本文开发了一个交互式网络应用程序来可视化所提出模型的结果，从而提高了研究结果的可重复性和透明度。上述贡献表明，本文在研究方法及其实际应用方面为相关文献做出了新颖的补充。

本节介绍了用于构建所提出模型的关键概念。OWA聚合运算符是一种多标准决策（MCDM）方法，用于模拟决策者对各种标准的态度，以生成不同的PIoEF情景。二元语言模型改进了对PIoEF结果的解释，同时不会损失计算精度。FCM聚类是一种灵活的技术，根据分配的成员度对国家进行划分，每个国家可以属于多个集群。

**有序加权平均（OWA）聚合运算符**
由Yager于1988年引入，OWA聚合运算符是一种高效的多标准决策方法，可用于生成总体决策函数（Yager 1988；Zarghami和Szidarovszky 2011）。该运算符已被应用于许多领域，包括计算机科学、数学、商业经济学等（Shu 2022）。OWA聚合运算符的定义如下：
**定义1.** n维的OWA聚合运算符是一个映射\(OWA: {R}^{n}\to R\)，伴有n维的权重向量W，满足\(\sum_{j=1}^{n}{w}_{j}=1\)且\({w}_{j}\in [0, 1]\)，根据公式（1）：
$$OWA\left( {a_{v1} ,a_{v2} ,...a_{vn} } \right) = \sum\limits_{j = 1}^{n} {w_{j} b_{vj} }$$
（1）
其中\({a}_{v1},{a}_{v2}, ..., {a}_{vn}\)是对n个标准的备选方案a的评估结果；\(v = 1, ..., \#V\)表示决策者可选的备选方案数量；\({b}_{vj}\)是评估结果中的第j大元素；\({w}_{j}\)表示相应的权重。根据OWA聚合运算符的定义，其计算过程可以总结为三个步骤：（1）按降序重新排列输入值；（2）生成与这些值对应的权重；（3）将每个重新排列的值乘以其对应的权重并求和，得到每个备选方案的聚合值。可以使用各种方法计算每个重新排列值的权重（Xu 2005）。由于语言量化器（至少有一个、少数、一些、大多数、所有等）可以通过应用正式数学公式在自然语言中表达不同的需求层次（Zadeh 1996），因此总是使用它们来确定权重。为了反映决策时的乐观程度或不同风险态度，会从这些量化器生成orness和tradeoff值。这样，OWA聚合运算符可以用来表示决策者在信息聚合中的态度（Yager 1988, 1995；Peláez和Do?a 2003；Ahn 2010）。此外，使用该运算符还可以解决非补偿性聚合问题，并产生统计上可靠的综合指数（Libório等人2022）。

权重计算的过程见定义2和3，而定义4展示了如何使用获得的权重计算orness和tradeoff。定义2. 规则递增单调（RIM）量化器可用于在单位区间内生成参数化子集（Yager 1996），如公式（2）所示：
$$Q_{q} (p) = p^{\lambda } ,_{{}} \lambda> 0$$
（2）
其中\({Q}_{q}\)是将自然语言陈述转换为数学表达式的语言量化器（Zadeh 1983），表示为单位区间[0, 1]上的模糊子集；对于单位区间内的每个p，成员度\({Q}_{q}(p)\)表示p与\({Q}_{q}\)所表示概念的兼容性。Boroushaki和Malczewski（2008）为每个语言量化器提出的参数\(\lambda\)见表2。表2还展示了语言量化器与不同风险态度之间的联系，范围从风险偏好到风险规避。

**定义3.** 有序权重\({w}_{j}\)（\({w}_{j}\in [0, 1]\）使用公式（3）计算：
$$w_{j} = Q_{q} \left( \frac{j}{n} \right) - Q_{q} \left( {\frac{j - 1}{n}} \right) = \left( \frac{j}{n} \right)^{\lambda } - \left( {\frac{j - 1}{n}} \right)^{\lambda } ,_{{}} \lambda> 0$$
（3）
其中\(\lambda\)是与每个语言量化器\({Q}_{q}\)相关的值。\(\lambda\)越大，决策的风险越低。\(\lambda\)=1表示中等风险程度。定义4. Orness和tradeoff反映了做决策时的不同风险态度。Orness反映了聚合过程中的风险水平，而tradeoff表示标准值之间的可接受补偿程度。它们使用公式（4）和（5）计算（Yager 1988；Jiang和Eastman 2000）：
$$orness = \frac{1}{n - 1}\sum\limits_{j = 1}^{n} {\left( {n - j} \right)} \cdot w_{j}$$
（4）
$$tradeoff = 1 - \sqrt {\frac{{n\sum\limits_{j = 1}^{n} {\left( {w_{j} - \frac{1}{n}} \right)^{2} } }}{n - 1}}$$
（5）
如果使用“至少有一个”量化器计算有序权重，则orness为1，tradeoff为0，表示最高风险（即过于激进或鲁莽的决策）。当orness和tradeoff都为0时（即使用“所有”量化器计算有序权重），代表最低风险（即过于保守或谨慎的决策）。如果使用“一半”量化器，则orness为0.5，tradeoff为1，表示中等风险（即平衡的决策）。如前所述，不同的量化器代表决策者对风险的态度。为了便于投资者和决策者理解，本文将表2中的七个量化器重新定义如下：

- **至少有一个最有利的标准（Q1 = AtLoneMFC）**：投资者或决策者认为即使只有一个最有利的标准也存在满足感，即使这意味着承担最高的风险。也就是说，即使只有一个标准有利，他们也会投资这个国家，而其他标准都不利。
- **少数最有利的标准（Q2 = FewMFC）**：投资者或决策者认为只有少数最有利的标准时感到满足，即使这意味着承担较高的风险。
- **一些最有利的标准（Q3 = SomeMFC）**：投资者或决策者认为即使只有部分最有利的标准也感到满足，即使这意味着承担较高的风险。
- **所有标准平均（Q4 = AveAC）**：投资者或决策者平等对待所有标准（即每个标准都赋予相同的权重），这意味着承担中等风险。
- **一些最不有利的标准（Q5 = SomeLFC）**：投资者或决策者认为有一定数量的最不有利标准时感到满足，这意味着他们承担较低的风险。
- **少数最不有利的标准（Q6 = FewLFC）**：投资者或决策者认为只有少数最不有利的标准时感到满足，这意味着他们承担较低的风险。
- **至少有一个最不利的标准（Q7 = AtLoneLFC）**：投资者或决策者认为即使只有一个最不有利的标准也存在满足感，这意味着他们承担最低的风险。也就是说，即使只有一个标准不利，他们也不会投资这个国家。

以下是一个示例，帮助解释上述重新定义的语言量化器：设 \(C=\left\{{c}_{1}=产权, { c}_{2}=政府诚信, {c}_{3}=司法效率,{c}_{4}=政府支出,{c}_{5}=税收负担,{c}_{6}=财政健康,{c}_{7}=商业自由,{c}_{8}=劳动力自由, {c}_{9}=货币自由, {c}_{10}=贸易自由, {c}_{11}=投资自由, {c}_{12}=财务自由\right\}\) 为衡量各国经济自由的12个标准。假设这两个国家的这些标准得分分别为 \({X}_{countryA}=\left\{{x}_{{c}_{1}}=78, {x}_{{c}_{2}}=65, {x}_{{c}_{3}}=98, {x}_{{c}_{4}}=70, {x}_{{c}_{5}}=43, {x}_{{c}_{6}}=90, {x}_{{c}_{7}}=68, {x}_{{c}_{8}}=88, {x}_{{c}_{9}}=92, {x}_{{c}_{10}}=75, {x}_{{c}_{11}}=31, {x}_{{c}_{12}}=50\right\}\) 和 \({X}_{countryB}=\left\{{x}_{{c}_{1}}=70, {x}_{{c}_{2}}=92, {x}_{{c}_{3}}=85, {x}_{{c}_{4}}=73, {x}_{{c}_{5}}=62, {x}_{{c}_{6}}=63, {x}_{{c}_{7}}=89, {x}_{{c}_{8}}=90, {x}_{{c}_{9}}=79, {x}_{{c}_{10}}=61, {x}_{{c}_{11}}=69, {x}_{{c}_{12}}=71\right\}\)。在OWA聚合运算中，输入值应在与每个量词生成的有序权重相乘之前按照从大到小的顺序重新排列。因此，第一步是将这两个集合中的值按降序排序，分别为 \({X}_{countryA}^{ {\prime}}=\left\{{x}_{{c}_{3}}=98, {x}_{{c}_{9}}=92, {x}_{{c}_{6}}=90, {x}_{{c}_{8}}=88, {x}_{{c}_{1}}=78, {x}_{{c}_{10}}=75, {x}_{{c}_{4}}=70, {x}_{{c}_{7}}=68, {x}_{{c}_{2}}=65, {x}_{{c}_{12}}=50, {x}_{{c}_{5}}=43, {x}_{{c}_{11}}=31\right\} 和 \({X}_{countryB}^{ {\prime}}=\left\{{{x}_{{c}_{2}}=92, {x}_{{c}_{8}}=90, {x}_{{c}_{7}}=89, {x}_{{c}_{3}}=85, {x}_{{c}_{9}}=79,{x}_{{c}_{4}}=73,{x}_{{c}_{12}}=71, x}_{{c}_{1}}=70,{x}_{{c}_{11}}=69, {{x}_{{c}_{6}}=63, x}_{{c}_{5}}=62, {x}_{{c}_{10}}=61\right\})。对应于最高分到最低分的标准顺序在每个国家并不完全相同。对国家A来说，最有利的标准是 \({c}_{3}\)，其次是 \({c}_{9}\)，然后是 \({c}_{6}\)，最后是 \({c}_{11}\)，这被认为是最不利的标准。对于国家B，最有利的标准是 \({c}_{2}\)，其次是 \({c}_{8}\)，然后是 \({c}_{7}\)，最后是 \({c}_{10}\)，这被认为是最不利的标准。如果决策者只关注标准的得分而不考虑特定标准如何影响一个国家的经济自由，他们可能会选择投资于那些最有利标准得分较高的国家。因此，有序权重是根据决策者的态度（即使用的语言量词）生成的。例如，对于那些在至少有一个最有利标准时感到满意的决策者，使用量词AtLoneMFC计算有序权重，公式为 \({w}_{j}={Q}_{1}\left(\frac{j}{12}\right)-{Q}_{1}\left(\frac{j-1}{12}\right)={\left(\frac{j}{12}\right)}^{0.0001}-{\left(\frac{j-1}{12}\right)}^{0.0001}, j=1,...,12\)，这样就得到了权重向量 \({W}_{AtLoneMFC}=\left(0.9998, \text{0.0001,0},\text{0,0},\text{0,0},\text{0,0},\text{0,0},0\right)\)。这些冒险的决策者可能会选择投资国家A，因为其最有利的标准得分高于其他国家（即 \({I}_{countryA}^{{Q}_{1}}=98*0.9998+92*0.0001=97.99>{I}_{countryB}^{{Q}_{1}}=92*0.9998+90*0.0001=91.99\)）。然而，如果决策者平等考虑所有标准，他们会选择投资国家B，因为该国所有12个标准的平均得分高于国家A（即 \({I}_{countryA}^{{Q}_{4}}=70.67<{I}_{countryB}^{{Q}_{4}}=75.33\)）。

2元组语言模型（2-tuple linguistic model）
IoEF是最重要的综合指标之一，用于对国家进行排名，以帮助决策者和投资者寻找最佳投资机会。然而，对国家等替代方案的排名总是伴随着不确定性（Zampetakis和Moustakis 2010）。语言信息可以用来建模和管理不确定性，许多作者已经证实了这样做的积极效果（Martinez和Herrera 2012；Liu等人2014；Huang等人2022；Malhotra和Gupta 2023）。Herrera和Martinez在2000年引入的2元组语言模型，利用自然语言来管理不确定性，并采用了一个连续的序数尺度，防止在融合语言信息时丢失信息，从而产生语言上准确且易于理解的结果。该模型及其扩展已被广泛应用于各个领域（He等人2019；Ijadi Maghsoodi等人2020；Labella等人2021；Wu等人2021；Bueno等人2022；Li等人2022；Wang等人2022；Yu等人2022；Gao等人2023）。
2元组语言模型通过对模糊语言方法（Zadeh 1975）进行修改，引入了一个称为符号转换的新参数。它使用2元组语言值 \(\left({s}_{i},\alpha \right)\) 来表示语言信息，其中 \({s}_{i}\in S\) 是一个语言术语，\(\alpha \in [-0.5, 0.5)\) 是一个表示符号转换的数值。2元组语言模型的定义如下：
定义5. 设 \(S=\left\{{s}_{0},...,{s}_{g}\right\}\) 是一组语言术语，其基数为 \(g+1\)。 \(\beta \in [0,g]\) 是符号聚合操作后得到的一个值。函数 \(\Delta :\left[0, g\right] \to \langle S\rangle =Sx[-0.5, 0.5)\) 被用来将 β 转换为2元组语言值 \(\left({s}_{i},\alpha \right)\)，如公式（6）所示：
$$\Delta \left( \beta \right) = \left( {s_{i} ,\alpha } \right),$$
其中
$$\begin{gathered}
i = round(\beta ) \\
\alpha = \beta - i,^{{}} \alpha \in [ - 0.5,0.5) \\
\end{gathered}$$
（6）
这里 round(·) 是取整操作；\({s}_{i}\) 是最接近 β 的标签的索引；α 是表示符号转换的数值（即与 \({s}_{i}\) 的中心值的距离）。函数 \(\Delta\) 是双射，其逆函数 \({\Delta }^{-1}: \langle S\rangle =Sx[-0.5, 0.5)\to \left[0, g\right]\) 用于返回等效的数值 β，计算方式为 \(({s}_{i},\alpha )\to {\Delta }^{-1}({s}_{i},\alpha )=i+\alpha =\beta\)。关于2元组语言值的否定运算符和2元组语言计算中的聚合运算符的信息可以在Herrera-Viedma等人（2004）的研究中找到。以下定义说明了如何比较由2元组语言值表示的语言信息：
定义6. 设 \(({s}_{L},{\alpha }_{1})\) 和 \(({s}_{K},{\alpha }_{2})\) 是两个2元组值；它们的语言2元组值的比较如下：
- 如果 L?- 如果 L?=?K，当：
a. \({\alpha }_{1}={\alpha }_{2}\) 时，\(({s}_{L},{\alpha }_{1})\) 和 \(({s}_{K},{\alpha }_{2})\) 表示相同的信息。
b. \({\alpha }_{1}<{\alpha }_{2}\) 时，\(({s}_{L},{\alpha }_{1})\) 小于 \(({s}_{K},{\alpha }_{2})\)。
c. \({\alpha }_{1}>{\alpha }_{2}\) 时，\(({s}_{L},{\alpha }_{1})\) 大于 \(({s}_{K},{\alpha }_{2})\)。
百分比排名（percent rank）方法是一种常用的工具，用于金融、统计学、经济理论和数据分析等领域，以确定某个值在数据集中的位置与其他值相比的位置。百分比排名的范围是0到1。百分比排名0意味着该值在数据集中最低，百分比排名1意味着它最高。接近0的值表示该值相对于数据集的其他值较低，而接近1的值表示该值的位置相对较高。
然而，由于数据分布和百分比计算方法等因素，百分比排名存在不确定性。本文采用2元组语言模型来解决这个问题。在2元组语言模型中，使用了对称的语言标签分布（例如，“非常低”、“低”、“中等”、“高”、“非常高”）。2元组语言模型还结合了符号转换，以表示与每个语言术语的接近程度。因此，该模型能够更准确地表示排名结果，便于语言解释，并消除了不确定性和信息丢失的问题。
定义7解释了如何使用百分比排名方法根据新生成的IoEF分数（即PIoEF）对国家进行排名。
定义8展示了如何将生成的排名转换为2元组值。
定义7. 百分比排名过程包括根据国家的PIoEF按升序对它们进行排序。排序完成后，使用公式（7）计算每个国家的排名：
$$percent\_rank\left( {I_{{Country_{v} }}^{{Q_{q} }} } \right) = \frac{{rank\left( {I_{{Country_{v} }}^{{Q_{q} }} } \right) - 1}}{{\# V - 1}}$$
其中 \({I}_{{Country}_{v}}^{{Q}_{q}}\) 表示国家v根据语言量词\({Q}_{q}\)获得的相应PIoEF的值；\(rank({I}_{{Country}_{v}}^{{Q}_{q}})\) 表示对应于\({I}_{{Country}_{v}}^{{Q}_{q}}\)的排名，\(v = 1, ..., \#V\)；\(\#V\) 表示本文中包含的国家总数（即决策者可选的替代方案数量）；\(percent\_rank(\cdot )\in \left[\text{0,1}\right]\)。
定义8. 将排名转换为相应的2元组值为投资者提供了一种更精确和直接的方式来理解一个国家的经济自由。这为投资者节省了时间，因为他们不需要将一个国家的排名与其他国家的排名进行比较来确定其在经济自由方面的排名高低。
设 \(S=\left\{{s}_{0}=非常低=VL, {s}_{1}=低=L, {s}_{2}=中等=M, {s}_{3}=高=H, {s}_{4}=非常高=VH\right\}\) 是一组五个语言术语，用来表示国家的PIoEF排名，其基数为 \(g+1=5\)。这些语言术语代表了每个国家经济自由排名与其它国家排名相比的百分比排名值。使用公式（8）计算每个国家在其PIoEF下的2元组语言值排名：
$$R_{{Country_{v} }}^{{Q_{q} }} = \Delta \left( {percent\_rank(I_{{Country_{v} }}^{{Q_{q} }} ) \cdot g} $$（8）
其中 \(\Delta (\cdot )\) 和 \(percent\_rank(\cdot )\) 在公式（6）和（7）中有定义；g用于调整 \(percent\_rank(\cdot )\) 的范围，使其与本文中的 \(\beta\) 的范围（从0到4）对齐。以下是将PIoEF转换为2元组排名值的示例：
示例2. 假设 \(I=\left\{\text{50,35,15,70,95,88}\right\}\) 是一组包含六个国家通过语言量词\({Q}_{q}\)获得的PIoEF的值。表3按升序展示了它们的排名，以及它们的百分比排名值和以2元组语言值表示的排名。
如表3所示，按升序排列排在最后的国家实际上是所有国家中排名最高的，其百分比排名为1。因此，其2元组语言值计算为 \(\Delta \left(1\cdot 4\right)=\left({s}_{round\left(4\right)},4-round\left(4\right)\right)=({s}_{4},0)=(VH,0)\)。注意，添加值0作为符号转换，\({s}_{i}\in S\to ({s}_{i}, 0)\)，与没有符号转换的标签 \((VH,0)=VH\) 是相同的。当排名以没有任何符号转换的2元组值表示时，意味着该国家的PIoEF排名与该语言术语本身完全对应，例如在这种情况下是“非常高”。\((VH,0)\) 的逆变换是 \({\Delta }^{-1}({s}_{4},0)\)=\(4+0=4\)。
按升序排在第六名的国家的百分比排名为0.8，这意味着其PIoEF高于这六个国家中80%的国家的PIoEF。其2元组语言值计算为 \(\Delta \left(0.8\cdot 4\right)=\left({s}_{round\left(3.2\right)},3.2-round\left(3.2\right)\right)=({s}_{3},+0.2)=(H,+0.2)\)。其逆变换是 \({\Delta }^{-1}({s}_{3},+0.2)\)=\(3+0.2=3.2\)。这个国家的PIoEF排名的2元组值具有符号转换。这意味着这个国家的PIoEF排名并不完全对应于语言术语“高”，而是稍高，即高0.2，表明这个国家的PIoEF排名实际上略高于该术语所暗示的级别。
模糊C均值（FCM）聚类
Dunn（1973, 1974）首次提出了模糊聚类的概念，Bezdek在此基础上发展了FCM聚类（Bezdek 1981），提高了聚类性能，并使数据分类更加逻辑清晰（Fan等人2003）。FCM聚类是一种无监督算法，用于解决与特征分析、聚类和分类器设计相关的问题（Ghosh和Kumar 2013）。它已被应用于许多领域，如图像分割（Memon等人2019；Wang等人2020；Cai等人2021；Mishro等人2021）、模式识别（Odeh等人1992；Das 2013）、医学诊断（Anter和Ali 2020；Zhao等人2020；Cai等人2021；Sumathi等人2022）以及多 Concordance-Distribution Modeling（MCDM）（Valipour等人2022；Y??it和D?nmez 2022）。
FCM聚类是K-Means聚类的扩展，旨在解决K-Means聚类在处理重叠簇时不够准确的问题（Cebeci和Y?ld?z 2015）。FCM和K-Means方法的工作原理相似。它们都根据数据点与聚类中心的距离将数据点分配到簇中，但FCM允许两个或多个簇之间有一定程度的模糊性或重叠，而K-Means将每个点分配到一个簇中。FCM聚类比K-Means聚类更灵活，因为数据点可以分配到所有簇中，其成员度数介于0到1之间。每个数据点的成员度数之和等于一。成员度数表示数据属于该簇的程度，0表示没有成员资格，1表示完全成员资格。此外，与K-Means不同，FCM聚类对异常值的敏感性相对较低。FCM聚类过程可以概括为七个步骤：（1）确定簇的数量、模糊度参数m（m≠1）以及停止条件；（2）初始化模糊划分矩阵；（3）将k设置为0开始循环；（4）计算簇中心点和目标函数J；（5）计算每个数据点和簇的隶属度值；（6）如果连续迭代之间的J值小于停止条件，则转到步骤7；否则，将k加1并继续步骤4；（7）对获得的隶属度值进行去模糊化并产生分割结果。定义目标函数J、隶属度确定和中心点计算的方程可以在Cheng等人（1998年）、Wang等人（2004年）和Tran（2018年）的研究中找到。下面将讨论影响聚类结果的关键因素。

如前文所述，与K-Means聚类类似，FCM聚类也需要研究人员提前确定最优簇的数量。不同的簇评估方法可能会导致不同的最优簇数量。确定FCM聚类中最优簇数量的常见方法包括肘部方法（Thorndike 1953年）、Calinski-Harabasz指数（CHI）（Caliński和Harabasz 1974年）、Davies-Bouldin指数（DBI）（Davies和Bouldin 1979年）、轮廓系数（SC）（Rousseeuw 1987年）以及专家知识。由于最优簇数量的选择也取决于数据的性质和每项研究的具体目标，本文结合了数学聚类评估指标（即CHI、DBI和SC）和专家知识来确定一个合理且相对最优的簇数量来进行国家分类。理想的簇数量是一个，这对应于高CHI、高SC和接近于零的DBI。同时，该数量也应当易于实现，并与研究的 数据规模和专家的现实世界知识相符。

另一个需要提前设置的参数是模糊度阶数（m）。这个参数用于控制聚类结果中的模糊程度。m的值通常在1到无限大之间，较高的值会使得聚类过程更加灵活。找到m的最佳值通常需要实验，并且可能具有挑战性。在本文中，m被设置为2，因为在许多先前的研究中已经证明这可以提供良好的聚类结果（Pal和Bezdek 1995年；Liao等人2003年；Berget等人2008年；Chang等人2011年；Bai等人2014年；Aroora等人2019年；Wang等人2020年；Askari 2021年）。

除了参数调整之外，选择合适的距离度量对于提高FCM聚类的质量也非常关键。聚类技术中最常用的距离度量是欧几里得距离。Rusdiana等人（2021年）在各种数据集中尝试了不同的距离度量，包括欧几里得距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离和明可夫斯基距离，以找到适合FCM算法的最佳距离。他们报告说，曼哈顿距离和明可夫斯基距离为FCM算法带来了最好的结果。Eliyanto和Surono（2022年）使用了七个不同的数据集来确定适合FCM聚类的距离度量。他们认为欧几里得距离、平均距离、曼哈顿距离、明可夫斯基-切比雪夫距离和堪培拉距离是合适的度量方法，并且欧几里得距离和平均距离比其他距离度量产生了更好的结果。因此，FCM聚类的最佳距离度量可能会根据所使用的数据集而有所不同。其他距离度量，如考虑变量之间相关性的马氏距离，也可以用来提高聚类性能。本文在FCM聚类中应用了不同的距离度量，以确定最适合当前研究的数据集。

### 提出的模型和发现

本节解释了如何使用所提出的模型来模拟投资者对风险的态度，从而为不同国家计算PIoEF。图2展示了这个模型，它包括六个步骤。

#### 数据收集和清洗
“数据收集和清洗”部分介绍了所提模型的第一步。这一步包括收集研究所需的数据集，并对收集到的数据进行预处理，处理缺失值，并消除任何异常值。

#### 确定每个语言量化的权重
“确定每个语言量化的权重”部分介绍了第二步，而“个性化经济自由指数计算”部分介绍了第三步，这两个步骤都使用了OWA聚合运算符。第二步使用OWA运算符的不同语言量化来计算权重，第三步通过将这些权重与评估经济自由的12个标准的得分相结合来生成各种PIoEF情景。

#### 国家排名生成
“国家排名生成”部分演示了在第四步中应用2元语言模型来生成以2元语言值表示的PIoEF排名，从而提高了排名结果的可解释性。

#### 国家分类
“国家分类”部分介绍了在第五步中使用FCM聚类，根据语言量化生成的各种PIoEF情景对国家进行分类。

#### 结果的交互式可视化
“结果的交互式可视化”部分介绍了在第六步中创建交互式网页应用程序，以便于显示和分析通过所提模型获得的结果。

#### 数据收集和清洗
本文使用了Heritage Foundation发布的2022年IoEF数据集，该数据集涵盖了2020年下半年和2021年上半年（Heritage Foundation 2022）。然而，某些国家的缺失数据在做出投资决策时可能会造成挑战。政治和经济不稳定也是显著影响投资选择的因素。例如，尽管Heritage Foundation发布了关于俄罗斯和乌克兰的数据，但这些国家目前处于冲突状态，因此不适合投资。此外，科索沃的独立性仍受到一些国家的争议（Economides 2020；Beha和Arben 2021；Acar和Bulut 2022），导致其国家代码和地图上的边界缺乏国际认可。

因此，本文考虑了173个国家作为替代选项。表4显示了2022年排名前十的国家及其对应的12个标准。这12个标准每个的标准都是根据0到100的尺度进行评估的，其中100代表最高得分。

#### 确定每个语言量化的权重
在“有序加权平均（OWA）聚合运算符”部分中，OWA聚合运算符的语言量化被重新命名以模拟投资者对风险的态度。在这一步中，确定了每个语言量化的有序权重，这些权重的值是根据方程（3）计算得出的。每个语言量化的权重以及使用方程（4）和（5）计算的相关性和权衡在表5中显示。表5显示了每个语言量化的权重及其对应的相关性和权衡。

#### 个性化经济自由指数计算
基于与每个语言量化相关的权重，这一步中使用方程（1）为每个国家生成各种PIoEF情景。表6显示了Heritage Foundation排名前十的国家由不同语言量化生成的多种PIoEF情景。表6显示了Heritage Foundation排名前十的国家的七种PIoEF情景（0-100尺度）。

如表4和表6所示，由量化AveAC计算的PIoEF与Heritage Foundation确定的IoEF基本相同，只是小数点后有细微差别。然而，当使用其他量化器（特别是AtLoneMFC和AtLoneLFC）计算时，PIoEF值显示出显著差异。这两个语言量化器分别只考虑了每个国家最有利的标准（AtLoneMFC）和最不利的标准（AtLoneLFC）来衡量经济自由。这是由于在OWA聚合运算符中将IoEF的12个标准从大到小重新排序所致。

#### 国家排名生成
为了帮助决策者使用PIoEF做出更好、更快的决策，这一步中使用方程（8）生成了173个国家的PIoEF排名，这些排名以2元语言值表示。这些值提高了PIoEF的语言可解释性，同时确保了计算的精确性，从而为投资者提供了一种更简单、更直观的方式来理解该指数的结果。表7显示了Heritage Foundation排名前十的国家由不同语言量化生成的多种PIoEF情景。表7显示了Heritage Foundation排名前十的国家及其PIoEF排名和排名稳定性，以2元语言值表示。

为了更全面地了解每个国家在不同语言量化下的排名情况，表7还显示了每个国家的排名稳定性。排名稳定性表示使用不同量化时国家PIoEF排名的变化程度。它是通过计算每个国家在不同PIoEF情景下的排名标准差来确定的，然后使用方程（6）将其转换为2元语言值。

由于量化AveAC计算的PIoEF与Heritage Foundation确定的IoEF几乎相同，因此在这两种情况下国家的排名也相同。然而，如表6和表7所示，当使用除量化AveAC之外的其他语言量化时，前十国家的排名会发生变化。具体来说，一些国家在PIoEF排名中始终保持了较高且稳定的排名，而其他国家则没有。例如，瑞士和新西兰无论使用哪种语言量化来聚合这一指数，其排名都较高且稳定。相反，当使用更负的语言量化来计算这一指数时，芬兰和丹麦的排名发生了显著变化。

#### 国家分类
为了总结各国在不同PIoEF情景下的特征，这一步使用FCM聚类根据语言量化生成的各种PIoEF情景创建国家的同质组。它确定了无论投资者是优先考虑最有利的标准还是最不有利的标准来衡量一个国家的经济自由，哪些国家可能是投资者的首选。

如“模糊C均值（FCM）聚类”部分所述，距离度量的选择和簇的数量的确定对聚类结果的性能有显著影响。本文使用了四种常用的距离度量——即欧几里得距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离和马氏距离——来确定2到15个之间的最佳簇数量。为了更好地比较在不同簇数量和距离度量下获得的聚类结果的性能，本文采用了一种评分方法。图3显示了基于三个聚类评估指标（CHI、SC和DBI）的这些性能结果。

如图3所示，当使用不同的距离度量时，最佳簇的数量会有所不同。从方法论的角度来看，本文中没有一种簇数量同时在所有三个聚类评估指标上表现最佳。例如，当使用欧几里得距离时，最佳簇数量可能是9（根据CHI和SC指标），而根据DBI指标则可能是15。采用欧几里得距离的FCM聚类的最终最优聚类数为9，因为它在三个聚类评估指标上的总分均高于其他聚类数。同样地，当使用曼哈顿距离时，理想的聚类数可能是8；使用马氏距离时，理想聚类数为11；使用切比雪夫距离时，理想聚类数为15。在比较这四种距离指标下的最优聚类数的总分时，只有在使用欧几里得距离和9个聚类数进行FCM聚类时，总分才能超过40分。此外，在征询了专家意见并考虑到本文研究的是173个国家的经济自由度后，确定最优聚类数为9。因此，使用欧几里得距离的FCM聚类方法创建了9个不同的国家群体。表9显示了每个聚类的中心点（以2元语言值表示）以及每个聚类中包含的国家数量。表10展示了每个群体的特征，并指出了根据投资者态度可能做出的决策之间的相似性和差异。表9 属于每个群体的中心点（以2元语言值表示）全尺寸表格表10 每个国家群体的特征全尺寸表格

此外，表11列出了每个群体的20个国家示例，其中每个国家的最高隶属度用粗体标出。这些表格的分析细节在“结果分析”部分提供。表11 基于FCM聚类的某些国家群体ID全尺寸表格

为了便于对上述分析中获得的结果进行可视化和分析，本节建议使用Shiny（Sievert 2020）和地图数据集（Esri Data and Maps 2021）来构建一个基于统计语言R的交互式网页应用程序。图4展示了该交互式应用程序中创建的五个界面，这些界面是专为学术研究目的设计的。详细分析可以在“结果分析”部分找到。图4 交互式应用程序示例全尺寸图像

**结果分析**

本节展示并分析了来自交互式网页应用程序的关键发现。“全球PIoEF”界面介绍了可以在该应用程序中探索的各个部分。该界面可以比较由Heritage Foundation生成的173个国家的经济自由度排名与由七个语言量化器生成的排名。如图4所示，通过选择“前10名”国家和量化器FewMFC，应用程序会显示这十个国家的地图及其相应的排名比较。使用量化器FewMFC计算PIoEF时，瑞士排在第五位，但根据Heritage Foundation的排名则排在第二位。

“按国家划分的PIoEF”界面允许了解更多关于瑞士的信息。如图5所示，瑞士属于第六组，因为其在该组中的隶属度高于其他任何组。如“模糊C均值（FCM）聚类”部分所述，在FCM聚类中，每个数据点可以属于多个聚类，隶属度介于0到1之间（即从0到100%）。表11显示新加坡、瑞士、澳大利亚和爱沙尼亚都属于第六组，但瑞士在该组中的隶属度为0.6764，低于新加坡、澳大利亚和爱沙尼亚。此外，瑞士在第四组中的隶属度为0.121。

图5 瑞士的结果可视化示例全尺寸图像

比较第4组和第6组可以通过参考表9来实现。对于属于第4组的国家，当用于生成PIoEF的语言量化器更强调不太有利的标准时（即从AtLoneMFC变为AtLoneLFC），它们的排名从高到中等不等。相比之下，当用于生成PIoEF的语言量化器发生变化时，第6组国家的PIoEF排名几乎没有差异。这意味着第6组国家在衡量经济自由的12个标准中表现更好、更稳定。无论投资者是优先考虑最有利的还是最不利的标准来衡量一个国家的经济自由度，第6组国家都是投资的首选。

如表10所示，当语言量化器更倾向于考虑不利于衡量PIoEF的标准时，某些国家群体的PIoEF会下降，反之亦然。第5组和第6组在各种生成的PIoEF排名中保持相同的地位：一个组极低，另一个组非常高。这两组国家在经济自由度表现上截然相反。如图11所示，第5组中的国家，如朝鲜和古巴，被广泛认为有过度监管，阻碍了经济自由。这些国家对投资者吸引力最小，通常具有较高的经济和政治限制。第6组中的国家，如瑞士和新加坡，被广泛认为是为投资者提供高且稳定的经济自由度的国家。每个组中的完整国家列表可以在“国家细分”界面中查阅。图6显示了第4组中的国家列表。

图6 第4组的结果可视化示例全尺寸图像

如图6所示，与其他第4组的国家相比，比利时的隶属度相对较低（大约为0.3）。此外，表11显示毛里求斯的隶属度在第八组为0.18，在第三组为0.121。这些数值表明，尽管毛里求斯被分配到第4组，但它并不强烈归属于任何一个组，因为其在第4组中的隶属度高于其他组。这表明FCM聚类结果存在一些不确定性。一些国家在两个或更多组中的隶属度相似，或者在最终分配到的组中的隶属度较低（例如，小于0.5或0.6），这使得解释结果变得具有挑战性。一个可能的解决方案是结合该国家在所有具有相似隶属度的组中的特征。或者，设定一个最低隶属度可以帮助排除那些可能不属于任何特定组的国家的隶属度较低的情况。

“+MyCountryMatch”界面旨在帮助设置隶属度，并识别在选定组中具有相对较高隶属度的国家。当在此界面中设置的最低隶属度与“国家细分”界面中设置的最低隶属度相等，并且该设定值大于或等于属于选定组国家的最低隶属度时，两个界面中的国家列表是相同的。然而，如果在此界面中设置的最低隶属度与“国家细分”界面中设置的最低隶属度不相等，或者设定值低于属于选定组国家的最低隶属度，则这两个界面中的国家列表是不同的。

“+MyCountryMatch”界面允许决策者自由设置隶属度。图7a和图7b分别比较了隶属度为0.6和0.32的第六组国家列表。当最低隶属度非常低时，最初未分配到获胜组的国家可能会被包括在内；例如，阿拉伯联合酋长国被包括在第六组中，尽管它实际上更属于第四组。

**结论与未来研究**

创建和计算IoEF对于政府和投资者至关重要。本文提出了一种新颖的方法来模拟投资者对衡量经济自由度标准的态度，从而生成了多种PIoEF的场景。该方法使用OWA聚合运算符的语言量化器来确定PIoEF计算中的权重。每个量化器都被重新定义，以模拟投资者对风险的态度（例如，在计算PIoEF时给予不太有利或更有利的标准更大的重要性）。此外，应用2元语言模型来解决排名中的不确定性问题，并提供了对PIoEF排名的更直观的语言解释。随后，使用FCM聚类根据生成的PIoEF对国家进行分段。

使用Heritage Foundation发布的2022年IoEF数据集证明了所提出模型的实用性，其结果通过交互式网页应用程序进行了可视化。结果显示，所提出的模型可以生成多种PIoEF场景，提供了更易于理解的指标，反映了基于投资者风险态度的每个国家的经济自由度。例如，当投资者希望承担中等风险并平等考虑所有标准（即使用量化器AveAC将绩效汇总到12个标准中）时，所提出模型生成的PIoEF与Heritage Foundation确定的IoEF相同，仅在小数位上有微小差异。在其他情况下，PIoEF会根据投资者的风险偏好而变化（更加冒险或谨慎）。计算了PIoEF排名的稳定性，以显示在这种情况下一个国家的PIoEF排名会有多大变化，帮助投资者找到排名较高的国家。例如，无论投资者是优先考虑最有利的还是最不利的标准来衡量一个国家的经济自由度，瑞士和新西兰在PIoEF中都保持较高排名。

本文使用FCM聚类将173个国家分为九组。两组国家（第5组和第6组）在经济自由度方面的表现截然不同，尽管它们的PIoEF排名表现出相对较高的稳定性。第6组的国家普遍被认为对投资者更有吸引力（例如瑞士、新西兰、新加坡、澳大利亚、加拿大等），通常没有显著的经济或政治限制。相比之下，应避免投资第5组中的国家，因为它们的过度监管阻碍了经济自由（例如朝鲜、古巴和委内瑞拉）。其他组的国家也可以帮助投资者识别适合他们风险态度的具有相对较高PIoEF的国家。此外，聚类结果的可视化灵活性允许投资者调整FCM聚类中使用的隶属度，以找到在其特定组中具有设定隶属度的国家。

以上所有发现都展示了所提出模型的以下优点：
- 它生成了不同的PIoEF场景，允许根据投资者的风险态度识别最适合投资的国家和
- 它用2元语言值表示PIoEF排名，消除了排名不确定性和信息丢失的问题，同时提高了语言的可解释性，并满足了作为综合指标的排名功能；
- 它应用FCM聚类根据生成的PIoEF对国家进行分组，允许国家属于多个组，并识别在特定组中具有相对较高隶属度的国家；
- 它为决策者（如投资者和政策制定者）提供了有用的交互式可视化工具，使他们能够更深入地了解国家的经济自由度，并选择符合他们关于PIoEF标准的态度的国家。

尽管有上述优点，但在未来的工作中仍应解决所提出模型的一些局限性。一个局限性是FCM聚类可能并不总是生成分离良好的组，组之间的界限可能不明确。模糊聚类可能比硬聚类产生更灵活的结果（即，将每个国家分配到单个组）。然而，一些国家可能在两个或更多组中具有相似的隶属度，或者在最终分配到的组中的隶属度相当低（例如，小于0.5）。尽管本文通过设定最低隶属度来排除隶属度较弱的国家解决了这个问题，但未来的工作可以考虑引入更多变量或改变距离度量来进一步完善聚类结果。所提出的模型还可以使用PCA来提取特征向量，并利用这些特征向量进行聚类分析，以提高聚类结果的准确性和有效性。此外，PIoEF的12个评估标准的排序被重新调整为降序，以便与权重向量中的相应权重相乘。每个国家的标准评分从高到低的顺序各不相同，且每个标准所分配的权重并不是固定的，而是根据其降序位置来确定的。未来的工作可以通过在所提出的模型中应用各种权重分配方法（如AHP方法）来解决这一限制。这将有助于为每个标准制定出更加通用适用的权利重分配方案。