用于分析具有随机参数和随机激励的非线性系统的改进型Sobol积分-指数多项式闭合方法

《Reliability Engineering & System Safety》：Improved Sobol integration-exponential polynomial closure method for analyzing nonlinear systems with random parameters and random excitation

　　郭康二|陈欣|林志秋
中国澳门特别行政区澳门大学土木与环境工程系

摘要
本文提出了一种名为改进的Sobol积分与指数多项式闭合（ISI-EPC）的新方法，旨在提高分析含有随机参数且受随机激励的非线性系统响应的概率密度函数（PDF）时的计算效率。与传统Sobol积分（SI）方法不同，该方法将系统随机变量的样本值视为在给定区域内均匀分布，从而能够更充分地考虑随机变量PDF尾部的贡献。因此，与SI方法相比，ISI方法可显著减少随机变量的样本量。在获取系统响应的条件PDF时，采用了EPC方法。为验证ISI-EPC方法的准确性和有效性，对四种不同的非线性振子进行了分析。通过比较ISI-EPC方法与蒙特卡洛模拟（MCS）得到的系统响应PDF，即使在对数尺度下的PDF尾部，两者也表现出良好的一致性。而SI方法得到的结果则与ISI-EPC方法和MCS的结果存在偏差，这进一步体现了ISI-EPC方法的优势。此外，ISI-EPC方法具有更高的计算效率，尤其适用于含有多个随机参数的系统，而这类系统由于维度问题往往会给传统方法带来挑战。本研究通过分析单自由度系统的稳态概率解来验证ISI-EPC方法的有效性。

引言
结构动力学中的不确定性可能源于系统固有参数或激励因素[1][2]。结构参数的不确定性以及随机激励推动了两大分析方向：即含有随机参数的结构或系统分析，以及在随机激励下结构或系统的振动分析[3]。随机振动分析侧重于预测具有确定系统参数但在随机激励作用下的动态系统响应[4]。虽然可以通过多种方法获得PDF解，其中蒙特卡洛模拟是一种常用的数值技术，但为了获得足够精确的解，需要大量的计算资源和时间来生成大量随机样本[5][6]。虽然可以直接求解Fokker-Planck-Kolmogorov（FPK）方程来获得PDF的精确解，但这种方法仅适用于有限类型的系统[7][8]。因此，人们提出了多种半解析方法来解决非线性随机振动问题。通过等效线性化方法可以获取系统响应的一阶和二阶矩[9][10]；扰动法通过小参数展开非线性项来近似系统[11][12]；最大熵法则通过利用现有信息最大化熵值来得到响应PDF[13][14]；A型Gram–Charlier级数可以生成近似的PDF解，但在PDF尾部可能会出现负值[15]；C型变体通过指数基变换确保了尾部的正性，从而解决了这一缺陷[16]；路径积分法无需求解FPK方程即可生成PDF解[17][18]；通过EPC或基于优化的EPC方法，可以用指数多项式函数来近似响应PDF[19][20][21][22][23]；状态空间分割法被提出用于降低高维非线性随机动力系统的维度[24]。近年来，用于求解FPK方程的神经网络方法也受到了关注[25][26]。随机结构分析用于量化材料属性、几何尺寸和边界条件等系统参数的不确定性对结构响应的影响[27][28]。最初，蒙特卡洛模拟与有限元方法相结合，用于概率化量化系统不确定性[29][30]，随后随机结构参数被引入有限元方法中，由此发展出了一些随机有限元（SFE）方法，如扰动SFE方法[33][34]和Neumann SFE方法[35][36]。在SFE方法中，可以通过局部平均法[37][38]、局部积分法[39]或正交展开法[40]对随机场进行离散化。此外，还出现了其他随机SFE方法，例如基本刚度矩阵分解法，该法将随机刚度矩阵分解为低秩基表示，从而加快响应矩的分析速度[41][42]；重核粒子法通过修正后的核函数实现高精度，能够精确再现多项式[43]；概率变换法则用于从系统随机变量的PDF中得到结构响应的边际PDF[44][45]；混合投影法通过将系统响应投影到由随机特征模构成的基上，并采用随机系数，从而在保留系统随机特性的同时降低计算复杂度[46]。在上述方法中，系统要么具有随机激励，要么具有不确定的系统参数，但很少有研究同时考虑系统在随机激励和随机系统参数作用下的随机振动。为此，有人开发了一种结合径向基函数神经网络与物理指导型神经网络的混合方法，用于预测强非线性系统的稳态响应[3]。本文提出了一种结合ISI方法和EPC方法的新方法，用于高效分析同时具有随机系统参数和随机激励的非线性振子。与传统Sobol积分方法不同，该方法将系统随机变量的样本值视为在给定区域内均匀分布，从而能更充分地考虑随机变量PDF尾部的贡献，因此相比SI方法可大幅减少随机变量的样本量。在已知系统随机变量样本的情况下，为进一步提高计算效率，采用了EPC方法来获取系统响应的条件PDF。通过研究四种非线性随机振子，验证了所提出的ISI-EPC方法的准确性和计算效率。本研究通过分析单自由度系统的稳态概率解来验证ISI-EPC方法的有效性。

问题表述
含有不确定参数且受高斯白噪声激励的非线性振子的数学模型如下：
X¨+g(X,X˙,Y)=W(t)
其中，系统响应[X,X˙]∈R2；g(X,X˙,Y)是X和X˙的非线性函数；Y是一个m维向量，包含系统中的随机参数；W(t)是均值为零的高斯白噪声，其特性为E[W(t)]=0且E[W(t)W(t+τ)]=2πSδ(τ)；S是W(t)的功率谱密度函数，δ(τ)是狄拉克δ函数。

系统响应条件PDF的EPC方法
通过EPC方法，采用指数多项式函数来近似响应的条件PDF：
p?(x1,x2|α(λ))=C(λ)expQn(x1,x2|α(λ))
其中，p?为近似的条件PDF；α(λ)为待定系数向量；当Λ=λ时，C(λ)为归一化系数；Qn(x1, x2|α(λ))是状态变量的多项式函数，表达式为：
Qn(x1,x2|α(λ))=∑i=1n∑j=0iαkx1i?jx2j
其中，k=i(i+1)2+j；n为xi的最高阶数；α(λ)=[α1,α2,...αnα]，且nα=n2/2+3n/2。对于具有...的系统...

数值算例
为验证所提出的解决方案，分析了四种具有不同数量随机系统参数且受高斯白噪声激励的不同非线性随机振子。在第一个算例中，给定系统参数的值后，可以得到响应条件PDF的精确解。但对于第二和第三个算例，无法获得响应条件PDF的精确解，因此需要使用样本量为10?的蒙特卡洛模拟。

样本量估算
从上述分析可知，每种方法所需的样本量取决于系统中随机变量的数量以及这些随机变量的变异系数大小。在实际分析中，建议根据表6选择初始样本量。图25展示了不同方法的初始样本量与随机变量数量之间的关系。从初始样本量开始，通过PDF...

结论
本文提出了一种名为改进的Sobol积分与指数多项式闭合（ISI-EPC）的新方法，用于分析含有随机系统参数且受随机激励的非线性振子的PDF解。系统响应的PDF可以通过将给定随机系统参数下的系统响应条件PDF与随机变量的PDF相乘后再进行积分来获得，这一积分可通过SI方法实现。

未引用参考文献
缺少引用：图12、图14、图22、图23C

CRediT作者贡献声明
郭康二：写作——审稿与编辑、验证、监督、项目管理、方法论、概念设计。陈欣：写作——初稿撰写、软件使用、方法论、数据整理。林志秋：写作——审稿与编辑、监督。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文所述工作的已知财务利益或个人关系。