《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：Projection enhanced triangular finite element method: a novel FEM approach for polygonal elements
编辑推荐：
在本工作中，研究人员引入了投影增强三角形有限元方法（PET-FEM），一种用于多边形网格的有限元公式。该方法依赖于一个有限元子网格，而内部自由度通过最小二乘投影算子恢复。这产生了一种简单、灵活且无问题相关参数的实现。对于高阶PET-FEM，该公式允许一种ser
在本工作中，研究人员引入了投影增强三角形有限元方法（PET-FEM），一种用于多边形网格的有限元公式。该方法依赖于一个有限元子网格，而内部自由度通过最小二乘投影算子恢复。这产生了一种简单、灵活且无问题相关参数的实现。对于高阶PET-FEM，该公式允许一种serendipity风格的内部自由度缩减，并在网格畸变下相比经典有限元serendipity单元展现出改进的鲁棒性。研究人员进一步提出了一种一阶单元，融合了虚拟单元法（VEM）和PET-FEM，以获得一种计算廉价、无锁闭的离散化。研究人员针对Poisson方程以及结构力学中的标准基准问题（包括线性和非线性情况，如Cook膜和冲头测试）对方法进行了基准测试。该方法在所有测试中实现了最优收敛，一阶单元在锁闭主导问题中具有更高的精度。
**研究背景与意义**
工程实践中求解偏微分方程常依赖有限元法，但二维问题中传统有限元法仅适用于三角形或四边形网格，复杂几何的网格生成耗时且困难。多边形方法（如Wachspress坐标、均值坐标等）因网格生成灵活且同等自由度下精度更高而成为有前景的替代方案，但存在形状函数有理函数导致积分点过多、计算瓶颈显著的问题。虚拟单元法（VEM）通过将形状函数定义转移至边界规避了积分困难，但依赖人工稳定化参数，该参数对结果影响显著。现有方法如一致伪导数、虚拟节点法等虽有所改进，但高阶扩展复杂或存在刚度矩阵半正定问题。为此，研究人员提出投影增强三角形有限元方法（PET-FEM），旨在实现一种简单、灵活、无问题相关参数且对锁闭问题鲁棒的多边形单元公式。论文发表在《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》。
**关键技术方法**（不超过250字）
1. **最小二乘投影算子**：在每个多边形单元内，通过求解最小二乘问题 \(\min_{a_k} \| \mathbf{D}_k \cdot a_k - \hat{u} \|_2^2\) 获得k阶多项式投影 \(u_k^\pi\)，其中 \(\mathbf{D}_k\) 为在节点处计算的多项式基矩阵，投影系数 \(a_k = (\mathbf{D}_k^T \mathbf{D}_k)^{-1} \mathbf{D}_k^T \hat{u}\)。
2. **子三角化与形状函数构造**：将多边形划分为 \(n-2\) 个三角形，在每个三角形上采用s阶有限元形状函数，内部节点值由多项式投影确定，边界节点值直接等于多边形节点未知量，形成投影矩阵 \(\mathbf{P}_s^k\) 映射全局自由度至三角形节点。
3. **高阶Serendipity缩减**：对于高阶PET-FEM，内部自由度（矩）数量由 \(M_{k-\eta_h}\) 确定（\(\eta_h\) 为覆盖多边形边界的直线数），实现与Serendipity虚拟单元（S-VEM）一致的未知量最小化。
4. **VEM与PET-FEM融合（VPF-12）**：基于Wriggers等（2018）的VFE方法，用PET-FEM的 \(s=2, k=1\) 子网格替代线性有限元三角形，结合VEM投影算子，并通过调整材料参数（\(\hat{E} = E \beta/(1+\beta), \hat{\nu}=0.4\)）实现稳定化。
5. **欠积分策略**：对于二阶子三角形，仅使用每个三角形一个积分点仍可保持满秩刚度矩阵，显著降低计算成本并改善锁闭行为。
**研究结果**
*3.1 Poisson方程*
- 多项式再现测试：使用Voronoi网格（约180单元），k阶PET-FEM（PF-kk）能精确恢复k阶多项式解至机器精度。
- 收敛性测试：在六种不同网格（规则四边形、畸变四边形、拉长四边形、随机细化四边形、Voronoi、星形Voronoi）上，PET-FEM（PF-11, PF-12, PF-22, PF-33）均达到最优收敛阶（\(k=1,2,3\)），误差与VEM和有限元三角形相当；二阶Serendipity有限元（QS-2）在畸变网格上收敛阶下降。
- 条件数比较：PET-FEM条件数增长速率与有限元三角形一致，但通常更小；VEM条件数最低，但高阶VEM（\(k=3\)）条件数急剧增长，PET-FEM尽管较VEM略高，但增长稳定。
*3.2 结构力学*
- 特征值分析：线性弹性下，PET-FEM（PF-12, PFU-12）刚度矩阵恰有三个零特征值，对可压缩材料（\(E=1.0, \nu=0.3\)）和近不可压缩材料（\(E=1.0, \nu=0.4999999\)）均无虚假零能模式；VPF-12在近不可压缩时仅一个特征值趋于无穷，实现真正无锁闭。
- 分片测试：线性弹性平面应变下，PF-12和PFU-12在畸变四边形、Voronoi和星形网格上均通过分片测试，\(L^2\) 和 \(H^1\) 误差达机器精度。
- 薄梁弯曲（Neo-Hookean材料）：一阶V-1和PF-12出现严重剪切锁闭，VPF-12、VFE-1和PFU-12显著改善，PFU-12在规则网格上位移与二阶结果一致，Voronoi网格上VFE-1性能略降。
- Cook膜（Neo-Hookean材料）：可压缩材料（\(\mu=40, \lambda=100\)）下，PF-12、V-1、VFE-1锁闭严重，VPF-12精度最高，接近二阶结果；近不可压缩材料（\(\nu=0.4999, E=100\)）下，所有一阶方法除VPF-12和VFE-1外均失败，VPF-12在规则和Voronoi网格上均优于或匹敌二阶方法。
- 冲头问题（Neo-Hookean材料）：低载荷可压缩情况，所有方法位移接近，一阶方法误差约3%；近不可压缩低载荷时，VPF-12和VFE-1精度最高，PFU-12在Voronoi网格上表现良好；高载荷（\(q_y=2560\)）下，V-2和VFE-1在某些网格不收敛，所有PET-FEM方法稳健收敛，PFU-12位移预测最准确。
**总结与讨论**
论文讨论了PET-FEM的优势与局限性。数值结果表明，PET-FEM是VEM的一种有前景的替代方案，尤其在锁定问题中表现优越。VPF-12单元在近不可压缩问题中实现高精度，且无需人工调整稳定化参数。PFU-12单元通过欠积分有效缓解剪切锁闭，且未引入沙漏模式。PET-FEM实现简单，可轻松集成至现有有限元代码。未来研究方向包括：扩展至三维问题（通过子四面体分解与单点积分技术）；整合至自适应方案（h/p细化）；建立严格的数学框架（收敛性与误差分析）。
**研究结论**：本工作引入了投影增强三角形有限元方法（PET-FEM）。研究人员展示了多边形基函数的构造方法以及如何将方法扩展至高阶形状函数。还引入了一阶单元，结合VEM和PET-FEM（VPF-12），基于Wriggers等（2018）的思想。随后数值证明，k阶PET-FEM能够恢复k阶多项式解，且Poisson方程达到预期的收敛阶。研究人员还研究了PET-FEM在结构力学非线性问题中的性能，它在不同基准测试中表现出稳健性，其中最显著的特征是其在VEM和三角形有限元单元不收敛的问题中具有可靠的收敛行为。对于可压缩材料，尤其是采用欠积分的一阶PET-FEM（PFU-12）在剪切锁闭方面显示出有前景的结果，且未引入沙漏模式。对于近不可压缩材料，所提出的VPF-12单元即使在非常粗糙的网格上也能实现非常精确的材料行为预测，始终优于VFE-1单元，代价是每个子三角形需要更多积分点。未来研究的有趣方向包括将PET-FEM扩展至三维问题。
