基于机器学习的预测与SHAP方法解释置于弹性基础上的三维多孔涂层纤维增强金属壳体的自由振动行为

《Composite Structures》：Machine learning-assisted prediction and SHAP-based explainability of free vibration behavior of three-dimensional porous coated FGM shells resting on elastic foundations

　　穆罕默德-乌埃吉迪·贝拉尔比|萨多克·费亚|苏菲安·贝努纳斯|艾哈迈德-阿明·戴赫|阿曼·加格|谭N.阮阿尔及利亚比斯克拉大学土木工程研究实验室，邮编145，R.P. 07000比斯克拉摘要本研究的主要目标是通过将有限元方法与优化的机器学习算法相结合，缩小高精度有限元模型与快速预测框架之间的计算差距。这种协同作用使得能够以较高的精确度且较低的计算成本来评估三维多孔功能梯度材料制成的圆柱形、球形、双曲抛物面形和椭圆抛物面形浅壳结构的自由振动行为。有限元建模基于改进的高阶剪切变形理论，用以捕捉横向剪切变形及材料梯度效应。由此生成的有限元数据集被用作机器学习算法的训练基础，这些算法包括高斯过程回归、随机森林和最小二乘提升法。通过全面的验证和参数研究，进一步证明了该模型的稳健性，并为材料属性和几何参数的影响提供了新的见解。其中，高斯过程回归的预测精度最高，其次是随机森林和最小二乘提升法。为提高模型透明度，采用了SHapley加性解释方法，确定了几何比例、核心结构类型以及弹性基底参数为最具影响力的因素。孔隙率及其类型虽会对自然频率产生可测量的局部变化，但在所研究的整体设计空间中，其重要性相对较低。引言现代高科技应用需要兼具轻质特性、优异强度、抗疲劳性、耐腐蚀性以及抗热应力能力的先进材料[1]、[2]。为应对这些挑战，功能梯度材料作为一种突破性解决方案应运而生。这类材料具有空间上变化的属性，能够在一个或多个方向上实现连续或准连续的成分梯度[3]、[4]。通过巧妙结合金属与陶瓷，功能梯度材料具备了更强的耐热性、更高的机械强度以及更好的断裂韧性[5]、[6]。传统上，功能梯度材料的性能呈单向变化（通常沿厚度方向），这有助于减少层状结构中常见的分层、应力集中和界面开裂等问题[7]、[8]。然而，为了拓展其应用范围，人们开发出了双向功能梯度材料和多向功能梯度材料，这类材料的性能在两个或三个方向上发生变化（厚度方向及平面内轴向）[9]、[10]、[11]。已有大量研究致力于探讨双向/多向功能梯度材料在不同条件下的力学行为。阿斯加里和阿赫拉吉[12]通过结合三维弹性方程与有限元方法，研究了双向功能梯度材料空心圆柱体的自由振动问题。雅斯和莫卢迪[13]则运用基于状态空间的微分求积方法分析了多向功能梯度材料环形板的自由振动情况。扎法尔曼德等人[14]采用三维分级有限元方法，结合瑞利-里兹能量公式与新马克直接积分法，研究了承受内部冲击载荷的双向功能梯度材料圆柱壳的动态行为。拉尔和阿赫拉瓦特[15]通过广义微分求积方法，分析了承受静水压力下的双向功能梯度材料圆形板的屈曲与动态行为。阿迪内和卡德科达扬[16]运用三维理论及微分求积方法，研究了由弹性基底支撑的多向功能梯度材料的变形与应力情况。柳等人[17]在等几何分析框架下，研究了厚度可变的双向功能梯度材料的静态弯曲与动态响应。阮-恩戈克等人[18]则利用多面体有限元方法，研究了多向功能梯度材料壳体的弯曲与振动特性。多孔功能梯度材料因其轻质且具备吸能特性，进一步丰富了这一研究领域[19]、[20]、[21]。坦纳尔和赛亚德[22]采用了三角函数剪切与正常变形理论，对具有均匀孔隙分布且具有双曲率的多孔功能梯度材料浅壳体的静态与自由振动进行了分析。库阿特·杜克等人[23]开发了一种新的等几何模型，用于分析具有可变长度尺度参数的双曲率双向功能梯度材料多孔浅微壳体的热机械动态屈曲行为。何等人[24]通过有限差分法，研究了带有多孔微胶囊涂层的金属双曲率浅壳体在低速冲击及平面初始载荷作用下的湿热弹性行为。郑和金[25]提出了一种三变量改进剪切变形理论，用于分析多孔功能梯度双曲率壳体的力学行为。贝拉尔比等人[26]运用改进的一阶剪切变形理论，对具有不同孔隙率分布的功能梯度材料板件的弯曲、自由振动及屈曲行为进行了有限元分析。埃斯迈尔扎德和卡德科达扬[27]采用带动力学阻尼的动态松弛方法，对双向功能梯度材料多孔板件进行了动态分析。巴蒂尼等人[28]基于改进的一阶剪切变形理论，分析了双向功能梯度材料多孔板件的动态行为。兰特克和潘达[29]利用C0等参四边形拉格朗日元素，研究了具有不同梯度分布的多向功能梯度材料多孔壳体的自然频率问题。库马尔·萨赫和戈什[30]采用带有纳维技术的正弦型剪切变形理论，对多向功能梯度材料多孔夹层板进行了动态分析。米尔扎伊等人[31]利用非均匀有理B样条基函数，研究了厚度可变的多向功能梯度材料多孔板件的力学与动态行为。哈希米等人[32]结合经典板理论与改进的庞加莱-林德斯泰特方法，研究了双向功能梯度材料多孔板件的自然频率问题。霍苏尔·希瓦拉马亚等人[33]采用直接迭代法与新马克方法，研究了双向功能梯度材料多孔板件的频率特性。范文等人[34]运用改进的一阶剪切变形理论与有限元方法，对双向功能梯度材料多孔板件的弯曲与屈曲行为进行了分析。贝拉尔比等人[35]采用分层有限元方法，研究了功能梯度材料夹层板件的弯曲与自由振动行为。蒂等人[36]基于改进的一阶剪切变形理论，通过有限元方法研究了多向功能梯度材料多孔纳米薄片的弯曲与动态行为。阮和潘[37]、[38]采用基于NURBS的等几何分析方法，研究了双向功能梯度材料多孔板件及纳米薄片的弯曲行为。范等人[39]提出了一种基于改进一阶剪切变形理论的解析解，用于估算热环境下多向功能梯度材料多孔壳体的振动频率。乔希等人[40]采用基于高阶剪切变形理论的九节点四边形元素，对多向功能梯度材料多孔面板的弯曲行为进行了分析。乌尔德·拉尔比等人[41]运用改进的高阶剪切变形理论，研究了双向功能梯度材料多孔板件的屈曲行为。阮等人[42]结合谢氏高阶剪切变形理论与有限元方法，分析了多向功能梯度材料多孔夹层板件的自由振动行为。功能梯度材料结构的力学行为在很大程度上取决于制造过程中采用的材料分布模型[43]、[44]、[45]。为描述功能梯度材料中材料属性的变化，人们提出了多种模型，包括幂律模型[46]、指数律模型[47]、S形曲线模型[48]、托尔纳贝内定律[49]、三角函数模型[50]、潘指数律模型[51]以及余弦三角函数模型[52]。其中，幂律模型最为常用。近期，一种名为涂层功能梯度材料的新型模型被提出[53]。这种新型材料允许从核心到表面逐步改变材料属性，为涡轮叶片及航空航天结构等应用提供了前所未有的设计灵活性[54]。戴赫等人[55]采用准三维方法，研究了涂层功能梯度材料板的动态行为。同一组作者在另一项研究中[56]，通过一种新的高阶剪切变形理论，提出了用于分析双层涂层功能梯度多孔纳米薄片屈曲响应的非局部应变梯度准三维模型。阿卜杜勒哈费兹等人[57]运用高阶剪切变形理论，研究了涂层球形壳体的屈曲行为。后来，甘杜拉赫等人[58]进一步发展了这一方法，用于研究三层涂层多孔功能梯度材料壳体的自然频率问题。在改进的一阶剪切变形理论框架下，索菲耶夫等人[59]研究了不同外部压力作用下，涂层功能梯度材料夹层圆柱壳体的屈曲行为。伊扎迪等人[60]结合等几何分析方法与高阶剪切变形理论，分析了具有任意形状且边界条件为弹性的功能梯度材料多孔三角形板的自由振动问题。阿拉埃伊等人[61]采用瑞利-里兹方法结合高阶剪切变形理论，分析了置于弹性基底上的功能梯度材料多孔圆柱壳体的自由振动行为。传统上，对功能梯度材料浅壳结构的力学分析依赖于有限元方法、等几何分析方法以及各类无网格数值方法[62]、[63]。虽然这些方法在处理多种结构问题时具有很高的精度，但应用于功能梯度材料时存在诸多固有缺陷[64]、[65]。首先，功能梯度材料具有空间上变化的材料属性，这就需要精细的空间离散化或更高阶的形状函数，才能准确描述刚度、密度及热性能的梯度变化[66]、[67]。这会导致自由度大幅增加，计算成本也随之上升，尤其是在处理大规模或三维浅壳结构时[68]。其次，这些方法往往需要在曲率较大、几何结构不连续或属性梯度突变的区域进行网格细化，这不仅会增加计算时间，还会给网格生成和质量控制带来困难[69]、[70]。第三，对于几何非线性、材料非线性或热机械耦合等非线性问题，迭代求解过程可能耗时较长，且容易出现收敛问题[71]、[72]。此外，当需要评估多种载荷情况、边界条件或材料梯度组合时的参数研究或优化任务，仅依靠纯数值求解方法会耗费大量时间[73]。相比之下，机器学习提供了一种数据驱动的解决方案，能够帮助克服许多这样的计算瓶颈[74]、[75]。通过利用实验测量、详细仿真或多种数据源构建的高精度数据集进行训练，机器学习模型能够学习输入参数（几何形状、材料梯度、载荷条件）与输出结果（位移、应力、屈曲载荷、振动频率）之间的复杂非线性映射关系，从而无需反复进行全尺寸数值分析[76]、[77]。一旦训练完成，这类模型即可实现近乎即时的预测，从而支持快速的设计迭代、灵敏度分析以及实时控制应用。此外，基于机器学习的替代模型还可以轻松整合到优化与不确定性量化流程中，几乎不会带来额外的计算负担[78]。对于功能梯度材料浅壳结构而言，这种能力尤为重要，因为其多参数依赖关系及复杂的属性梯度使得传统分析方法需要耗费大量计算资源[79]。因此，引入机器学习技术能够显著提升功能梯度材料浅壳结构在分析设计与优化方面的效率、可扩展性及适应性[80]。近期，加格等人[81]针对利用机器学习技术预测功能梯度材料力学行为这一主题进行了系统性综述。瓦伊沙利等人[50]、瓦伊沙利与德伊[51]利用机器学习方法，研究了不同类型功能梯度材料壳体在热环境下的随机力学行为。在高斯过程回归框架下，加格等人[82]成功预测了纳米级功能梯度材料板的刚度矩阵。塔吉扎德等人[83]则借助人工神经网络，研究了微型功能梯度材料板的弯曲与屈曲行为。加格等人[84]采用多输出支持向量机，分析了受热作用下的仿生功能梯度梯度壳体的自由振动行为。陈等人[85]运用前馈神经网络，研究了微型功能梯度材料板的热屈曲响应。加格等人[86]的研究表明，在预测纳米级功能梯度材料梁的弯曲与屈曲响应方面，高斯过程回归的效果优于随机森林。吴等人[87]借助深度学习方法，预测了置于弹性基底上的功能梯度材料壳体的热弹性响应。徐等人[88]利用物理信息神经网络概念，研究了环形扇形多孔双向功能梯度材料纳米板的屈曲与弯曲响应。埃斯法哈尼等人[89]也采用了类似的方法，用于分析纳米级功能梯度材料梁的弯曲行为。达斯等人[90]运用物理信息神经网络，解决了用于分析功能梯度材料球形壳体热弹性响应的运动方程问题。加迪卡尔等人[91]提出了一种混合人工神经网络与高斯过程回归的算法，用于预测功能梯度材料板的自由振动响应。现有文献综述显示，在研究带有涂层的多孔功能梯度材料双曲率壳体的力学行为方面，目前还存在明显的研究空白。尽管已有众多研究分析了传统功能梯度材料及多孔功能梯度材料的静态、屈曲与振动响应，但针对具有不同孔隙率分布及边界条件的涂层多孔功能梯度材料浅壳体的复杂行为，相关研究仍然十分匮乏。此外，虽然传统数值方法具有较高的精度，但在处理多维度功能梯度材料结构时，往往存在计算成本高昂且可扩展性较差的问题。根据对以往研究的回顾以及作者所知，目前尚无关于嵌入弹性基础上的、具有不同孔隙率分布和边界条件的多孔涂层功能梯度双曲面浅壳的自由振动行为的研究。为填补这一知识空白，本研究旨在开发一种强大的混合框架，结合精细的有限元建模与先进的机器学习技术，首次预测并分析置于弹性基础上的三维多孔、非多孔及多孔涂层功能梯度材料浅壳的自由振动行为。首先，通过结合拉格朗日插值函数和厄米插值函数，构建了一种精确的四节点四边形有限元，该元素能够在高阶剪切变形理论框架下准确描述平面内及横向位移变量。在本分析中，研究了两种芯材结构——实心芯和软芯，以及五种涂层功能梯度壳的梯度方案（FG-A、FG-B、FG-C、FG-D和FG-E）和四种孔隙率分布（均匀、不均匀以及两种非线性类型）。通过应用哈密顿原理推导出运动方程，并利用有限元方法进行求解。所提出的模型通过与现有的解析解和数值解对比验证，结果吻合度极高。此外，研究还进行了大量参数分析，探讨了涂层功能梯度材料的类型、孔隙率分布模式、材料梯度分布、壳体几何形状（曲率与长宽比）、边界条件以及温克勒型弹性支撑等因素对功能梯度多孔涂层曲面壳自然频率的影响。为进一步提升计算效率与预测能力，本研究将所开发的有限元模型与数据驱动的机器学习方法相结合。采用了三种不同的机器学习模型，即高斯过程回归、最小二乘提升法和随机森林，用于预测壳体的自由振动响应。随机森林具有抗噪声能力，能够通过集成平均捕捉非线性相互作用，有效处理高维输入数据；作为梯度提升方法的最小二乘提升法则通过重点处理难以预测的案例逐步提升预测精度，非常适合捕捉微妙的非线性依赖关系；高斯过程回归不仅能对平滑连续的响应给出精确预测，还能量化预测不确定性，这对基于可靠性的设计而言十分重要。这些模型在可解释性、准确性及泛化能力方面相互平衡，相比单一的浅层学习器或纯线性模型，更适用于复杂的结构分析任务。所提出的高斯过程回归模型展现出较高的精度与计算效率，为先进工程应用中功能梯度多孔壳结构的设计与优化提供了重要参考。