重新审视高斯过程激励下不确定线性结构动力系统首次超越概率的交叉熵方法

《Reliability Engineering & System Safety》：Revisiting the cross entropy method for first-passage probability of Gaussian-process excited uncertain linear structural dynamic systems

　　

本研究提出了一种专门针对高斯过程（Gaussian process）激励下线性结构系统可靠性评估的蒙特卡洛（Monte Carlo）方法。结构不确定性通过概率方法表示，其中所有不确定参数被建模为具有指定概率密度函数的随机变量。对于具有确定性参数的结构系统，多域线采样（multi-domain line sampling，mLS）方法已成为估计失效概率的有效途径。为了评估不确定结构的失效概率，需要对结构参数的概率空间进行积分。研究人员提出了一种改进的基于交叉熵的重要抽样（cross entropy-based importance sampling，CE-IS）方法，用于首次超越问题，该方法利用mLS估计随机参数特定实现下的条件首次超越概率。所提出的方法是一种自适应序贯抽样方法，利用对失效概率近似mLS估计的非参数回归，将IS（重要性抽样）密度定位在随机参数结果空间的重要区域。通过数值研究，研究人员证明了当失效事件具有多个部件失效模式或结构系统具有多自由度（如基于有限元的大规模结构模型）时，该方法具有鲁棒性和高效性。

**论文解读：高斯过程激励下不确定线性结构动力系统首次超越概率的交叉熵方法改进**

**研究背景与问题**
结构动力系统在服役过程中常承受随机动态荷载（如地震、风、波浪），其材料属性、几何尺寸等参数往往具有不确定性。首次超越概率（first-passage probability）是衡量结构可靠性的关键指标，定义为在激励持续时间内结构响应首次超过容许阈值的概率。现有半解析方法（如基于外跨理论的方法、PHI2方法、尾部等价线性化法等）无法提供估计误差的统计量化；而模拟方法虽通用，但标准蒙特卡洛（Monte Carlo）在小概率事件下效率极低。针对确定性参数结构，高效重要抽样（efficient importance sampling，eIS）方法和多域线采样（multi-domain line sampling，mLS）方法已展现出优势，但面对不确定性参数结构时，需要对结构参数空间进行积分——该积分直接采用蒙特卡洛会导致大量样本需求。此前基于交叉熵（cross entropy，CE）的重要抽样（CE-IS）方法虽能自适应构建结构参数的准最优重要抽样（IS）密度，但其在CE优化过程中依赖泊松近似（Poisson approximation）来估计条件首次超越概率，该近似基于不总是成立的假设（如稀有事件独立性），且多响应时计算联合外跨率耗时显著。为此，研究人员开展了本研究，旨在改进CE-IS方法，消除泊松近似的依赖，并提升估计器的鲁棒性与效率。

**研究概述与结论**
研究人员提出了一种改进的CE-IS框架，核心创新包括：（1）采用非参数核回归（Nadaraya-Watson kernel regression，NWKR）平滑化低样本量（N=1）下条件首次超越概率的蒙特卡洛估计，从而在CE优化过程中无需泊松近似；（2）将mLS方法集成到CE-IS框架中，替代原有的eIS方法，利用mLS在方向采样上的高效性，特别适用于多自由度及多失效模式结构。通过四个数值算例（单自由度振子、10层线性框架、六层抗弯钢框架、大规模有限元多层建筑），研究人员证实：新方法（mLS-KR）在失效概率估计的变异系数（coefficient of variation，CoV）上显著低于基于eIS或泊松近似的方法；对于多失效模式（如24个临界响应）和大型有限元模型（超过5万自由度），mLS-KR用更少的样本和计算时间即可达到目标精度。该论文发表在《Reliability Engineering》，为不确定线性结构动力系统的首次超越概率分析提供了一种准确、高效的模拟方案。

**主要关键技术方法**
研究人员主要运用了以下关键方法：（1）交叉熵（CE）自适应序贯抽样，通过最小化Kullback-Leibler散度，逐步优化结构参数IS密度，采用高斯混合（Gaussian mixture，GM）或von Mises-Fisher-Nakagami混合（vMFNM）参数族；（2）多域线采样（mLS），在荷载空间中沿失败域设计方向（单位向量）进行一维线积分，结合正交坐标旋转，每次评估仅需两次动力分析（一次随机样本、一次单位方向）；（3）Nadaraya-Watson核回归（NWKR），以高斯核函数对条件失效概率的对数估计进行局部加权平均，并通过留一交叉验证（LOOCV）自动选择带宽参数h。所有数值算例基于独立模拟，样本来源由标准正态随机变量通过等概率变换生成。

**研究结果**

**5.1 单自由度（SDOF）振子受平稳高斯白噪声激励**
针对单自由度振子，结构参数（频率ω、阻尼比η）为对数正态随机变量。研究人员采用单峰多元高斯IS密度，对比了不同阈值（z*=0.7m和z*=1.1m）下的表现。结果表明：mLS-PA（泊松近似）和mLS-KR（核回归）的失效概率估计CoV低于对应的eIS方法；当样本量NCE从250增至500时，单位CoV（δ_P?F,NR=1）下降，说明更优的IS密度近似。对于大阈值（z*=1.1m），CE收敛所需层数略增，但方法间差异不大。mLS-KR在保持相近均值估计的同时，计算效率优于eIS-PA。

**5.2 基准研究中的10层线性框架**
10层框架（30个随机参数：刚度、质量、阻尼系数）受调制滤波高斯白噪声激励，失效定义为顶层楼层位移角超限。研究人员比较了独立多元高斯（iMVN）与von Mises-Fisher-Nakagami（vMFN）两种参数族。结果指出：vMFN因参数个数较少，在NCE=500时能更好逼近最优IS密度，CoV更低；mLS方法在CoV上显著优于eIS，且核回归带来的CoV增加在mLS中不明显；与基准研究中子集模拟等方法相比，mLS相关方法的随机响应评估次数（Nsr）更少（例如mLS-KR-vMFN需约3910次，而子集模拟需2300-3000次，但mLS的CoV仅5.2%，远低于子集模拟的12%-58%）。

**5.3 具有多个失效模式的抗弯钢框架**
六层三跨钢框架（24个节点水平加速度作为临界响应，9个弹性模量等随机参数）采用6分量vMFN混合密度。结果表明：mLS-PA和mLS-KR的失效概率估计CoV（约5%-7%）低于eIS-PA（约10%）；核回归降低了计算时间（例如eIS-KR的CE阶段时间比eIS-PA少67%），但CoV略有增加；自适应样本量NR调整下，mLS-KR达到目标CoV（δ_P?F*=0.10）所需样本（262）远少于eIS-KR（628），且单位CoV更小。

**5.4 多层建筑的大规模有限元模型**
六层钢筋混凝土建筑（7个随机弹性模量，超过5万自由度，有限元模型含9500个单元）受Clough-Penzien谱地面加速度激励，失效定义为5个层间位移角超限。研究人员采用5分量vMFN混合密度，对比了NCE=250和NCE=500。结果显示：mLS-KR在NR=1000时失效概率估计的CoV约为3%，而eIS-KR在相同NR下CoV约5%-11%；当NCE从250增至500，eIS的CoV显著下降（从11.2%降至5.0%），而mLS的CoV变化不大（从3.2%降至3.0%），表明mLS-KR在大型模型中更加鲁棒且样本效率更高。

**总结与结论**
本研究提出并验证了一种改进的CE-IS方法，用于高斯过程激励下随机参数线性结构系统的首次超越概率估计。通过引入非参数核回归（NWKR）消除泊松近似依赖，并将多域线采样（mLS）集成至CE框架，所提方法在多种数值场景中展现出更低的估计变异和更高的计算效率。特别地，对于多自由度（如有限元模型）和多失效模式（如多个响应阈值超限）的问题，mLS-KR的优势更为突出。

**结论部分翻译（论文第6节）**
本文提出了一种精确且高效的方法，用于确定受高斯过程激励的随机参数线性结构系统的首次超越失效概率。所提方法是对最初由[44]提出的首次超越问题交叉熵重要抽样（CE-IS）方法的改进。本文的进展使原始方法更具普适性：它不仅提升了线性结构动力系统失效概率估计器的性能（如本文所示），也为未来研究非线性系统的首次超越问题开辟了路径。具体贡献包括：（1）开发了一种基于非参数回归的程序，利用低精度蒙特卡洛估计的条件首次超越概率来确定随机结构参数的最优IS密度。这一改进消除了原始方法中CE优化对泊松近似的依赖，为将CE-IS框架扩展至随机参数非线性结构动力系统的首次超越失效概率（此类系统鲜有解析条件失效概率近似）提供了途径。（2）研究人员对首次超越问题的理论基础进行了深入分析，建立了[44]采用的高效重要抽样（eIS）方法[40]与其他可用模拟方法在评估条件首次超越概率上的共同脉络。这使得其他随机模拟技术能够集成到原有框架中，从而拓宽了原始方法[44]在更广泛结构动力系统上的应用性。（3）研究人员利用上述进展，针对线性结构动力系统设计了一种改进的原始方法变体，采用近期提出的多域线采样（mLS）方法[41]来估计随机结构参数特定实现下的条件失效概率。数值研究表明，所得方法在减小失效概率估计器采样变异性方面表现出增强的性能，并在样本量和执行时间上带来整体计算效率的提升，尤其适用于多自由度和多失效模式的结构系统。