二维六角形准晶体双材料中三维界面裂纹问题的断裂分析——第二部分：数值方法

《Applied Mathematical Modelling》：Fracture analysis of 3D interface crack problems in two-dimensional hexagonal quasicrystals bi-materials—Part II: Numerical method

　　袁莉|李博洋|赵明浩|任静丽 中国河南省郑州市郑州大学数学与统计学院，邮编450001

摘要：本研究致力于二维六角形准晶体双材料中三维界面裂纹问题的断裂分析，通过将理论公式与数值方法相结合，系统地解决这一研究问题。研究的第二部分发展了一种扩展位移不连续性边界元数值方法，用于分析在声子-声子联合载荷作用下的二维六角形准晶体双材料中的三维界面裂纹问题。利用狄拉克δ函数在泛函积分中的筛选性质，将第一部分所得的EDD边界积分-微分方程中的微分项替换为包含狄拉克δ函数的积分。为消除裂纹前沿处扩展应力的振荡奇异性，采用高斯分布函数来近似狄拉克δ函数。经过这样的处理后，通过超奇异积分方程方法可以证明，界面裂纹问题中的EDD在裂纹边缘附近呈现r1/2的行为规律。而在裂纹前沿，扩展应力则具有r-1/2的奇异性，这与二维六角形准晶体均匀材料的特性一致。基于此，可以定义不含虚部的界面裂纹问题的扩展应力强度因子。通过对这些定义的ESIF进行简单运算，即可得到能量释放率。利用常数三角形元素对EDD边界积分方程进行离散化，从而建立了EDD边界元数值方法。并通过解析解对EDD边界元方法的结果进行验证。此外，还深入分析了联合载荷以及材料-结构耦合对ERR的影响，并详细探讨了边界条件与椭圆性对计算结果的影响机制。

引言：在第一部分的研究[1]中，针对在声子-声子联合载荷作用下位于二维六角形准晶体双材料界面的任意形状平面裂纹，建立了若干解析解。采用扩展位移不连续性作为基本变量，构建了描述三维界面裂纹问题的边界积分-微分方程。该研究揭示了EDD行为指数函数的虚数特性，并阐述了裂纹前沿处扩展应力的振荡奇异场。如第一部分[1]所示，材料不一致性会在裂纹边界控制方程中引入微分项，进而产生虚部，最终导致振荡奇异性。另一方面，这些微分项也阻碍了二维六角形准晶体界面裂纹问题的数值方法建立。界面裂纹问题固有的振荡奇异性[2]是双材料界面断裂的一个显著特征，它反映了不同材料弹性性质不匹配所导致的独特力学响应。然而，这种振荡奇异性给界面断裂研究带来了根本性的理论挑战：它会引发非物理性的裂纹面相互渗透现象，这与实际的物理断裂过程相矛盾[3]。因此，有效消除这种非物理行为一直是该领域的研究重点。Comninou[4]提出了接触区模型，通过引入裂纹尖端接触效应来消除这种奇异性。Atkinson[5]建议通过在两种不同弹性介质之间添加黏合层来修正理想界面的分析结果，从而消除其中的逻辑矛盾。Delale和Erdogan[6]假设界面区域可以用一层非常薄的非均匀材料来建模，当界面层的弹性性质没有突变时，线性弹性理论预测的裂纹尖端应力/位移振荡现象就会消失。Zhang和Wang[8]将界面裂纹视为界面位错的堆积，指出振荡奇异性源自界面位错基本解中的狄拉克δ函数，他们通过用高斯分布函数近似狄拉克δ函数，成功消除了振荡奇异性。虽然解析方法能够提供有价值的理论成果，但其实际应用仅限于在均匀载荷作用下具有特定几何形状的界面裂纹。为了克服这一限制并完善二维六角形准晶体双材料系统的理论框架，开展针对性的数值方法研究具有重要意义。边界元方法作为一种基于边界积分方程的半解析数值方法，具有降维特性、高精度梯度计算能力以及天然适用于无限域等优点。然而，由于裂纹表面的几何重合会导致边界积分方程退化，这成为限制其在断裂分析中应用的主要问题。为了解决这一问题，学术界迄今已开发出了多种有效的解决方案。其中，多区域边界元方法[[9], [10], [11], [12]]通过将含裂纹区域划分为多个独立的子域，分别对每个子域应用边界元方法，并通过界面条件将它们耦合起来，从而适应复杂的多裂纹场景。双边界元方法的核心思想是分别在裂纹的上表面和下表面应用位移边界积分方程和牵引力边界积分方程，从而有效避免因几何重合而产生的病态矩阵问题。不过，通过本构关系得到的牵引力边界积分方程包含超奇异积分核，需要特殊处理。对称Galerkin边界元方法则利用弱形式位移边界积分方程和弱形式牵引力边界积分方程，在保持公式对称性的同时避免了矩阵奇异性问题。Crouch[23]提出了基于DD基本解的位移不连续性方法，该方法只需在裂纹表面的一侧进行离散化。Hong和Chen[24]以及Liu和Li[25]进一步研究了DDM与BEM在解决裂纹问题时的等价性。在使用DDM解决界面断裂力学问题时，所建立的裂纹边界控制方程会包含微分项，这会影响数值离散化。Zhao等人[26,27]在构建裂纹元素基本解时引入了狄拉克δ函数来消除这些微分项，他们还借鉴Zhang和Wang[8]提出的策略，用高斯分布函数来替代δ函数，这不仅消除了裂纹前沿的振荡奇异性，还为磁电弹性双材料的界面裂纹问题建立了数值方法。此后，Dang等人还将这种处理方法拓展到了热耦合多场材料[[28], [29], [30]]、一维六角形准晶体[31]以及涂层系统[32,33]的界面裂纹问题中。受Zhang和Wang[8]提出并经Zhao等人[26,27]扩展的研究思路启发，本文采用高斯分布函数来消除第一部分[1]中推导出的裂纹边界控制方程中的微分项，为二维六角形准晶体中的三维界面裂纹问题建立了扩展位移不连续性边界元方法。除引言外，本文的结构如下：第2节阐述界面裂纹问题的边界条件，并给出相应的裂纹边界控制方程；第3节为求解步骤，通过用高斯函数替代狄拉克δ函数来消除振荡奇异性，进而建立EDD边界元方法；第4节给出一些数值结果并进行分析讨论；第5节对整个研究内容进行总结。

问题陈述：考虑一种二维六角形准晶体双材料结构，其界面平行于准周期平面。建立笛卡尔坐标系，使得xoy平面与界面重合，z轴与周期方向一致。有两种具有不同性质的二维六角形准晶体材料，在空间上完全重叠。如图1所示，上半空间为材料1，下半空间为材料2。

EDD边界积分方程：根据狄拉克δ函数及其导数的性质，可得：
∫Sδx(ξ?x)δ(η?y)[uz](ξ,η)dξdη=∫?∞+∞δx(ξ?x)[∫?∞+∞δ(η?y)[uz](ξ,η)dη]dξ=∫?∞+∞δx(ξ?x)[uz](ξ,y)dξ=?[uz](x,y)?x。
利用方程(7)，可以将方程(5)中的微分项替换，从而得到二维六角形准晶体双材料界面裂纹问题的以下边界积分方程：
∫S1r3[(3cos2??1)(L11[ux]+Lw11[wx])+(3sin2??1)(L12[ux]+Lw12[wx])+cos?sin?(L13[uy]+Lw13[wy])?2πL14δx(ξ?x)δ(η?y)[uz]]dS(ξ,η)=?p^x(x)

数值结果与讨论：为了验证解析解及所提数值方法的准确性，进行了数值模拟。在模拟过程中，部分材料常数参考了文献[40]中的假设。表1列出了某种二维六角形弹性准晶体介质的材料常数，另一种介质的常数则通过合理调整以确保其有效性。

结论：本文提出了一种EDD边界元数值方法，用于研究在声子-声子联合载荷作用下二维六角形准晶体双材料中的三维界面裂纹问题。通过用高斯分布函数近似狄拉克δ函数，成功消除了裂纹边缘附近扩展应力的振荡奇异性。基于EDD可确定应力强度因子和能量释放率。在数值模拟中，分析了高斯参数的影响，并确定了最优参数。

作者贡献声明：袁莉：写作——审稿与编辑、写作——初稿、方法论、研究、资金获取；李博洋：写作——初稿、验证、软件、研究、形式分析、数据整理；赵明浩：写作——审稿与编辑、监督、形式分析；任静丽：写作——审稿与编辑、验证、监督、资金获取。