具有初始误差和输出约束的MIMO高阶系统迭代学习控制的一般方法

《Applied Mathematics and Computation》：A general approach to iterative learning control of MIMO high order systems with initial errors and output constraints

　　王志豪|沈茂权|李伟南京工业大学机械与动力工程学院，中国南京211816

摘要
本文提出了一种通用的迭代学习控制方法，用于具有初始误差和输出约束的MIMO高阶系统。该方法能够处理奇异和非奇异的输入矩阵。通过使用均匀函数来调整参考轨迹，以实现系统状态的全重置。同时采用障碍李雅普诺夫函数来处理输出约束。借助反步法，无需输入矩阵的逆动态即可构建出实际控制器，从而应对各种不确定性和干扰。此外，还提出了基于障碍李雅普诺夫函数的复合能量函数，以证明误差的收敛性。最后，通过两个数值算例验证了所提方法的有效性。

引言
迭代学习控制是一种广泛应用于重复控制过程的智能控制策略[1]、[2]、[3]。自1984年首次提出以来，由于其独特的学习机制和出色的跟踪性能，已产生了大量重要的研究成果[4]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]、[11]、[12]。具体而言，[4]基于李雅普诺夫函数构建了自适应迭代学习控制框架[5]；[6]则分别将迭代学习控制理论扩展到变迭代长度下的线性和非线性系统[7]；[8]通过连续投影实现了点对点的迭代学习控制；[9]探讨了基于平均驻留时间的切换约束，从而构建出事件触发式的异步切换迭代学习控制；[10]针对非均匀迭代长度提出了时间缩放变换的自适应迭代学习控制；[11]在基于收缩映射的复合能量函数框架下，提出了基于迭代变化因子的更新法则，以处理完全未知的状态；[12]则为具有未知迭代变化不确定性的刚体旋转操作提出了分段自适应学习方法。在应用方面，迭代学习控制已被应用于气动肌肉、自主操作、高速列车等领域[13]、[14]、[15]、[16]。然而，上述方法大多不适用于高阶系统。

由于变量之间的导数关系，一些物理系统可表示为高阶形式，如机器人操纵器[17]、[18]、永磁同步电机系统[19]、卫星偏航角控制系统[20]、无人机[21]、[22]以及车辆横向动力学系统[23]、[24]。为了实现对这些系统的精准控制，人们开发出了多种方法来描述其复杂的动力学特性[25]、[26]、[27]、[28]。例如，[25]提出了自适应反步控制方法，用于处理随机严格反馈系统中未知的控制增益和参数[26]；[27]则为饱和非线性系统设计了输出反馈自适应控制，以实现有限时间收敛；[28]提出了基于观测器的神经控制器，用于处理平均驻留时间下的未知受限状态。根据输入和输出的数量，高阶系统可分为单输入单输出系统和多输入多输出系统[29]、[30]、[31]、[32]、[33]、[34]、[35]。例如，[33]针对具有乘性和加性输入非线性的SISO非严格反馈系统，提出了基于误差跟踪的反步自适应迭代学习控制方法；[34]则构建了预设性能的反步自适应迭代学习控制方法，用于处理匹配和未匹配的不确定性。对于MIMO高阶系统，[35]通过要求输入矩阵为方阵，构建了滑模迭代学习控制方法。但实际上，当存在输入输出不匹配的情况时，这一要求并不适用，比如车辆悬架系统[36]和移动机器人[37]。为了解决这一问题，[38]提出了左可逆方式，而后[39]又提出了基于补偿单元的统一框架。不过，[38]和[39]都是针对MIMO系统设计的，未考虑高阶特性。众所周知，系统输出始终需满足某些约束条件，才能保证其性能[30]、[35]、[40]。在具有输出约束的迭代学习控制领域，[30]采用了基于正切型障碍李雅普诺夫函数的反步方法，来构建虚拟和实际迭代学习控制器，而[35]则提出了指数型障碍李雅普诺夫函数方案。

需要注意的是，上述研究结果都假定初始条件相同或系统处于对齐状态[30]、[38]、[41]、[42]、[43]。由于这两种情况都要求每次迭代开始时初始误差为零或系统处于空间闭合状态，因此[44]、[45]、[46]、[47]等人利用任意初始条件来克服这些限制。例如，[44]提出了误差跟踪方法，以替代参考轨迹跟踪[45]；[46]引入了边界层函数，来放宽系统状态全重置的要求；[47]则通过反步法，针对具有初始误差和执行器故障的机器人操纵器，提出了基于迭代因子的自适应迭代学习控制方法。不过，上述研究都是针对SISO高阶系统或MIMO二阶系统进行的。更重要的是，很难将它们扩展到具有输出约束且无需输入矩阵逆动态的通用MIMO高阶系统。综上所述，如何在反步框架内处理各子系统的初始误差，以及如何在不依赖输入矩阵逆动态的情况下构建控制器，都是具有初始误差和输出约束的MIMO高阶系统迭代学习控制面临的重要挑战。

基于上述问题，本文致力于研究具有初始误差和输出约束的MIMO高阶系统的自适应迭代学习控制方法。通过使用均匀函数调整参考轨迹，可以处理初始误差；采用正切型障碍李雅普诺夫函数则可用于处理输出约束。同时，通过反步法构建控制方案，以应对各种干扰、奇异输入矩阵以及系统不确定性。最终，通过基于障碍李雅普诺夫函数的复合能量函数，确保各子系统的误差能够收敛。文中还通过两个仿真示例，证明了所提方法的有效性。本文的主要贡献如下：
1）与不需要考虑初始误差的[31]、[42]不同，本文通过改进的均匀函数参考轨迹，逐步推导出一种能够实现迭代学习控制误差初始重置的方法。
2）通过反步法对误差耦合和虚拟控制器项进行补偿，解决了将[39]的方法扩展到MIMO高阶系统时所面临的难题。
3）与[35]相比，本文引入了结合反步法的正切型障碍李雅普诺夫函数，用于处理具有奇异输入矩阵且存在输出约束的MIMO高阶系统。

本文共分为四个部分。第二部分介绍了MIMO高阶系统及其相关的假设和引理。第三部分阐述了基于反步法的自适应迭代学习控制方法及其收敛过程。第五部分给出了两个示例，并进行了简要总结。

符号说明：Z+表示正整数。Ri表示一类i维向量。Ri×j表示一个i×j维矩阵。proj(·)表示投影算子。(.)i表示函数(. )的i阶导数。(.)(i)表示函数(. )的i次幂。若A为矩阵，则‖A‖表示A的诱导矩阵范数；若A为向量，则‖A‖表示其欧几里得范数。sign(·)表示符号函数，tr(·)表示矩阵的迹。

问题描述
MIMO不确定非线性高阶系统可以用以下方程描述：
{x˙i,k(?)=xi+1,k(?),i=1,2,…,n?1
x˙n,k(?)=θ(?)ξ(xˉi,k(?))+B(xˉi,k(?))(uk(?)+d(xˉi,k(?)))+w(xˉi,k(?)),i=1,2,…,n
yk(?)=x1,k(?)}
其中，i∈Z+表示系统阶数，k∈Z+表示迭代次数，?∈[0, T]表示每次迭代的时刻索引。xi,k(?)∈Rm（i=1,…,n）表示第k次迭代时的系统状态，xˉi,k(?)表示为xˉi,k(?)=[x1,k(?),…,xi,k(?)]T∈Rmi。系统输出yk(?)受到约束，即‖yk(?)‖≤kx，其中kx为某个给定值。

主要结果
如[50]所示，定义了一个与子系统阶数相关的均匀函数?i(·)：
?i(?)={1/(i?1)!)?^(i?1)cos(n+1)/(π2Ta?)，?∈[0,Ta]
0，?∈[Ta,T]}
其中，i表示对应的子系统阶数，Ta表示设计的校正时间。该函数满足以下条件：
1）?1(0)=1，?1(Ta)=0，且对于i=1,2,…,n，有?1i(0)=0；
2）?21(0)=1，?2(Ta)=0，且对于i=2,…,n，有?2i(0)=0；
3）?32(0)=1，?3(Ta)=0，且对于i=1,3,…,n，有?3i(0)=0；
4）……
5）?nn?1(0)=1，?n(Ta)=0，且对于i=1,2,…,n?2,n，有?ni(0)=0。

为了处理各子系统的初始误差……

示例分析
本章通过两个仿真示例，展示了本文所提算法的有效性。

示例1
考虑以下MIMO二阶系统：
{x˙1,k=x2,k
x˙2,k=θξk+Bk(uk+dk)+wkyk=x1,k}
其中，x1,k=[x11,k,x12,k]T，x2,k=[x21,k,x22,k]T为状态变量，uk=[u1,k,u2,k]T为控制输入。其余参数取值为θ=1，ξk=[x12,ksin(x11,k?+x12,k)+x22,ksin(x11,k+x12,k)0.2x12,kcos(x21,k)+0.5x22,kcos(x22,k)]，Bk=[sin(x21,k)cos(x11,k)cos(x22,k)sin(x……

结论
本文研究了具有奇异输入矩阵、初始误差和输出约束的MIMO高阶系统的迭代学习控制框架。通过构建与子系统阶数相关的均匀修正函数，可以处理系统的初始误差；同时，结合反步法与正切型障碍李雅普诺夫函数，可有效处理输出约束问题。此外，通过设计无需输入矩阵逆动态的实际控制器，可以应对各种不确定性以及匹配和未匹配的干扰。

利益冲突声明
无。