用于带Caputo导数快速计算的温和分数阶广义Burgers方程的有限差分/深度学习方法

《Applied Mathematics and Computation》：Finite difference/deep learning scheme for tempered fractional generalized Burgers’ equations with fast evaluation of Caputo derivative

　　希曼舒·库马尔·德维迪|彭业辉|拉吉夫·拉吉夫|曾胜达印度理工学院数理科学系，瓦拉纳西，221005，印度摘要鉴于解中存在的初始奇点问题，我们在非均匀时间网格上构建了一种带有温度参数λ的加速温和Alikhanov公式。我们提出了基于非均匀温和Alikhanov公式的数值方案，利用指数和算法高效近似广义Burgers问题中的Caputo温和分数阶导数。空间导数则通过标准的二阶中心差分法来近似，从而确保整体空间上的二阶精度。通过利用一致性误差的卷积结构，我们得到了精确反映并严格描述解的时间规律性的精细最大范数误差估计。该有限差分求解器的计算成本为O(MKtlogKt)，内存需求为O(MlogKt)，其中M和Kt分别表示空间和时间网格的大小。最后，我们将这种加速温和Alikhanov方案嵌入到非均匀网格上的自适应扩展分数阶物理信息神经网络中，利用自适应激活函数加速训练收敛。数值结果验证了分析的正确性以及所提算法的高效性。引言传统上，带有时间分数阶导数的一维Burgers方程可表示为?tαv(?,t)+vv?=κv??+g(?,t),t∈(0,T],?∈Υ,其中Υ=[0,L]。在(1.1)式中，?tα=0CDtα表示阶数为α的Caputo分数阶导数（z?1< />< /><α<1。为描述扩散和孔隙度的记忆依赖行为，我们采用了包含幂律核的caputo导数的卷积表示形式，该形式能够反映频率依赖的系数变化。为更准确地捕捉复杂的记忆效应，我们采用了能够在宏观层面体现微观异质性的广义卷积框架[1]。在先前研究[2]、[3]的基础上，我们引入了一种指数型温和的幂律核，该核对经典的等待时间分布进行了修改，以确保第一矩为有限值。时间-频率域形式主义被用来模拟这些记忆动态。温和分数阶模型在量化金融、地球物理学以及多孔介质等多个领域都有应用。在本研究中，我们关注的是多孔介质中的非线性声波传播问题，其中与流体相关的衰减是通过温和分数阶burgers方程(tfbe)[4]、[5]来建模的。在相应的流体模型中，分层松弛算子中使用的温和核决定了流体温度t(?, t)和压力p(?, t)的演化规律[2]、[3]、[6]，即?tα,λt?κt??=ωT?P?+ν(P?)2?tα,λP?κ^P??=μ^?tα,λT，其中κ表示热扩散率，ω表示对流扩散系数，ν表示平均耗散扩散率，κ^表示流体特有的扩散率，μ^表示流体的热膨胀率。我们定义Caputo tfd为?tα,λu(t):=><α<1，其中(rl)tβ表示β阶riemann-liouville分数阶积分，其正式定义如下：(rl)tβu(t):=∫0tωβ(t?ξ)u(ξ)dξ，其中ωβ(s)=sβ?1γ(β)。温和分数阶导数可以被视为对经典分数阶算子的物理上一致的修正，它源于连续时间随机游走中重尾等待时间统计量的指数截断处理。这种截断使得平均等待时间为有限值，同时仍保留了短时间和中等时间尺度上的特征幂律记忆效应；因此，相应的温和时间算子为连接异常扩散与经典（菲克）扩散极限提供了自然机制[7]。这种温和机制在多孔介质和水文环境中尤为重要，因为在这些环境中，传输过程和波场往往表现出明显的时间非局部行为（幂律记忆），但由于有限的松弛效应、异质性或阻尼作用，长时间范围内又会呈现指数衰减现象。从这个意义上说，当长时间观测结果显示记忆效应逐渐减弱时，温和模型比纯分数阶模型能提供更为真实的描述。因此，温和分数阶公式已被用于地下水平流-弥散建模、多孔岩石中的非线性声波传播研究，以及旨在捕捉从异常扩散到正常扩散的缓慢且在实际中往往难以观察到的过渡过程的宏观温和异常扩散模型，这些应用涉及多种物理、生物和化学系统[8]、[9]、[10]、[11]。当λ=0时，(1.1)式中的时间分数阶burgers方程(tfbe)通过对经典burgers模型[12]、[13]、[14]加入分数阶时间导数，从而实现了对长期记忆效应以及更丰富相位行为的描述[15]、[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]。尽管这一模型具有重要意义，但针对此类分数阶偏微分方程的数值求解方法的研究却相对较少[23]、[24]。从数值方案的角度来看，赵等人[6]为多孔介质中的tfbe设计了线性化差分法，而王等人[21]则提出了一种基于λfl1公式的快速有限差分算法。最近，德维迪等人[25]提出了一种二阶加速的λfl2?1θ方案，同时还设计了针对tfbe的紧凑离散化格式。在忽略(1.5)式中的压力扩散项后，我们利用riemann-liouville caputo等价关系[7]、[26]，将p(?,t)设为μ^t(?,t)。根据(1.4)式，可得到?tα,λt?(νμ^2+μ^ω)(t?)2?κt??=0。对(1.9)式关于空间变量求导，并结合v(?,t)=?2(νμ^2+μ^ω)T?，即可得到如下形式的温和TFBE方程：?tα,λv(?,t)+vv??κv??=0。在一般情况下，我们考虑以下温和TFBE的广义形式：?tα,λv(?,t)+vnv?=κv??,v(?,0)=v0(?),?∈Υˉ，其中n?≥?1为整数，Υˉ为Υ的闭包集。在本研究中，我们的目标是利用非均匀时间网格和指数和技巧设计一种加速的二阶数值方案。研究非均匀时间网格主要有两个动机，这两个动机都与指数和技巧相关：•与其他非线性亚扩散问题类似，时间温和分数阶Burgers方程的解在t=0附近存在内在的初始奇点[27]、[28]、[29]，因此这类问题适合采用分级网格[28]、[30]。•时间分数阶偏微分方程的经典近似方法需要O(MKt)的内存容量以及O(MKt2)的计算量。为解决这一问题，我们借鉴[25]、[31]、[32]、[33]、[34]的研究成果，提出了一种加速方案，即加速温和Alikhanov方案。据我们所知，物理信息神经网络[PINNs][35]、[36]、[37]、[38]、[39]、[40]已成为处理高维偏微分方程、复杂初始边界条件以及不规则几何形状问题的常用工具。基于这种多功能性，我们在非均匀（分级）时间网格上发展了一种加速的二阶温和Alikhanov近似方法，用于计算温和分数阶导数，同时还将这种离散化方法应用于温和分数阶广义Burgers方程(TFGBE)的数值模拟中。据我们所知，此前尚未有针对TFGBE的二阶温和Alikhanov方案的相关报道，尤其是那种适用于长时间模拟的加速形式。在理论层面，我们建立了精确反映精确解时间规律性的严格最大范数误差估计，相比仅基于L2型范数的误差界，这类估计能提供更强且更有意义的收敛性描述。这些估计还得到了严格的稳定性和收敛性分析的支持，这些分析表明，在适当假设条件下，所提出的方法确实能达到二阶时间精度。由于分数阶模型的解在t=0附近通常会呈现弱奇点行为，我们进一步采用了分级网格策略来处理初始层，从而保持所需的精度。最后，为了扩大该方法的适用范围，我们将加速温和Alikhanov离散化方法纳入自适应Alikhanov-XfPINN框架中，从而形成了一种专为TFGBE设计的自适应物理信息学习算法，该算法在统一框架下同时运用了数值离散化和数据驱动的近似方法。本文的其余部分结构如下：第2节介绍基本概念；第3节阐述非均匀网格上的加速温和Alikhanov方案；第4节描述二阶完全离散化格式；第5节进行基于卷积的误差与收敛性分析；第6节介绍自适应Alikhanov-XfPINNs方法；第7节给出数值计算结果，第8节则为结论部分。章节要点基本原理我们考虑对[0, t]区间进行非均匀时间离散化处理，将其划分为[0, tarb]和[tarb, t]两部分，其中tarb?∈?(0, t)。设kt和k^t为两个正整数，且满足ckt≤k^t≤kt，这里的c属于(0, 1)区间。一种具有节点tr=Tarb(r/K^t)γ（其中0≤r≤K^t且γ?≥?1）的分级网格可用于处理初始奇点问题，而另一种具有有限步长比的准均匀网格则可用于覆盖[Tarb, t]区间。完整的网格范围为0=>< />