R-SAV方法在梯度流中的原始能量耗散定律

《Applied Mathematics Letters》：The original energy dissipation law of the R-SAV approach for gradient flows

　　谢杰|赵成超 中国浙江省宁波市东华理工学院数学科学学院，邮编315200 摘要 标量辅助变量方法被广泛用于构建梯度流的能量稳定数值格式。其简化版本R-SAV通过将更新后的辅助变量与原始能量直接关联，进一步提升了数值精度。尽管数值实验表明，在时间步长足够小的情况下，R-SAV格式中的原始能量具有耗散特性，但至今仍缺乏严格的理论证明。本文通过为应用于一般梯度流的一阶R-SAV格式提供原始能量耗散律的完整证明，填补了这一空白。该证明的核心在于建立了一个关键不等式，从而无需对数值解进行L∞-范数约束。借助R-SAV方法固有的松弛步骤，通过数学归纳法严格证明了其耗散特性。数值实验验证了理论结果。引言 许多科学与工程问题都可以用梯度流方程来描述。这些方程通常源自系统自由能的热力学变化，其演化遵循耗散动力过程。梯度流能量泛函的典型形式为E(?)=∫Ω12L???+F(?)dx，其中L是L2(Ω)中的自伴线性对称非负算子，F(?)为非线性势函数，Ω是Rd中的有界域，(?,?)是L2(Ω)中的内积，‖?‖则是L2(Ω)中的相应范数。与上述自由能对应的梯度流方程可表示为?t=?Gμ，μ=δEδ?=L?+F′(?)，其中G是L2(Ω)中的对称正算子。该方程还需满足边界条件：若G=I，则为周期边界条件，即?|?Ω=0或???n=0；若G=?Δ，则也为周期边界条件，即???n=?μ?n=0。在这些边界条件下，上述梯度流系统满足以下能量耗散律： ddtE(?)=(δEδ?,?t)=?(Gμ,μ)。对于这类耗散系统，数值算法的一个重要特性就是能够满足能量耗散律，这对于消除非物理性的数值结果至关重要。近几十年来，大量研究致力于开发高效的能量稳定数值格式[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]。尤其是SAV方法因其简单性、高效性、精确性及广泛应用性而备受关注。在SAV方法的基础上，[7]、[8]中提出的简化SAV（R-SAV）方法引入了松弛步骤，将该步骤与原始能量直接关联，从而进一步提升计算精度。[7]、[8]中的大量数值证据表明，当时间步长足够小时，R-SAV格式的原始能量也具有耗散特性。然而，目前仅严格证明了修正后能量的耗散律，因此有必要为R-SAV方法推导出原始能量的耗散律。本文为应用于方程(2)的一阶R-SAV格式在时间步长足够小时的原能量耗散律提供了严格证明。该证明的成功依赖于两个关键要素：首先，我们推导出了一个关键不等式（引理1），无需对数值解进行L∞-范数估计；其次，与原始SAV方法不同，R-SAV方法中的松弛步骤能在当前时间步将辅助变量与原始能量直接关联，从而在时间步长足够小时，通过数值解?n和?n?1有效控制辅助变量。通过将这两个关键方面与数学归纳法相结合，我们成功证明了原始能量的耗散特性。需要指出的是，由于原始SAV方法中辅助变量与原始能量之间不存在直接关联，此处给出的证明无法直接应用于原始SAV格式。将本文结果扩展到原始SAV格式及更高阶R-SAV格式将是未来研究的课题。本文其余结构如下：第2节简要回顾R-SAV方法；第3节首先建立关键不等式，然后阐述并证明我们的主要结果，即原始能量耗散定理；最后，第4节通过数值实验验证理论结果。章节节选 R-SAV方法简述 假设?E1(?)?∫ΩF(?)dx≥1?C0，??，其中C0>0为某常数。通过引入辅助变量r(t)=E1(?)+C0，方程(2)可改写为?t=?Gμ，μ=L?+r(t)E1(?)+C0F′(?)，rt=12E1(?)+C0F′(?)，?t。对方程(4)中的前两个方程分别取与μ和??t的内积，并结合第三个方程，可得到修正后的能量耗散律： ddtE?(?)=?(Gμ,μ)，其中E?(?)=∫Ω12L???dx+r2为修正后的能量。令??n??n(x)表示t=tn时?(t,x)的数值近似值。那么，一阶…… R-SAV格式的原始能量耗散律 在本节中，我们将为R-SAV格式(9)–(10)建立原始能量耗散律。首先给出一个关键的辅助结果。在本文后续内容中，我们用H1简称空间H1(Ω)。引理1 设v,w∈H1。则对于任意?>0，都有以下不等式成立： ∫Ωv2|w|pdx≤?‖v‖H12+C1?‖v‖2‖w‖H12p，其中?C1?(2+|Ω|)CΩ2p+2/4，且当d=1,2时p>0为任意值；当d=3时，0