一种参数鲁棒方法：基于广义网格求解二维奇异扰动对流-扩散椭圆型偏微分方程的数值解与扩散通量

《Applied Numerical Mathematics》：A Parameter-Robust Approach on Generalized Mesh to Numerical Solution and Diffusive Fluxes for 2D-System of Singularly Perturbed Convection-Diffusion Elliptic PDEs

　　索努·博斯 | 卡乌希克·穆克吉
印度喀拉拉邦蒂鲁瓦南塔普兰，印度空间科学和技术研究院数学系，邮编695547

摘要
本文针对二维奇异扰动对流-扩散椭圆型偏微分方程组的解及其扩散通量（即关于x和y的缩放一阶解导数）的鲁棒数值近似收敛性进行分析。这类问题的解具有指数边界层和角层结构。为达成研究目标，我们在空间域上构造了由两个一维广义S型网格的张量积构成的特殊非均匀网格，并采用迎风有限差分法对相关偏微分方程组进行离散化处理。首先，我们分析了解析解的稳定性，并给出了解导数的先验界。接着，我们确立了在广义自适应网格上数值解在C0范数下的一致收敛性，随后推导出了x和y方向上缩放离散导数的参数鲁棒误差估计。误差分析通过将缩放限制在依赖适当过渡参数的层区域来展开。此外，我们还分析了两种情况下的离散误差通量：ε≤CN?1和ε≥CN?1，其中ε为扩散参数，N为离散化参数。进一步，我们研究了数值近似的双线性插值在适当C1范数下的全局精度。最终，通过针对具有零边界条件和非零边界条件的二阶和三阶方程组进行的数值实验，对这些理论估计进行了验证。

引言
在众多科学与工程应用中，经常会出现耦合的奇异扰动微分方程组。典型例子包括种群动态中的捕食者-猎物反应-扩散模型[1]、生物化学工程中的酶-底物反应-扩散及对流-扩散系统[2][3]，以及地下水污染研究中的对流-扩散-反应模型[4]。当扩散参数足够小时，这类方程组的解往往表现出多尺度特性，在靠近边界的狭窄区域内存在急剧的梯度变化。在二维情况下，通常在远离角的平滑边界区域会形成规则边界层，而靠近角的位置则形成角层。由于解的这种固有特性，除非网格相对于扩散参数足够精细，否则在均匀网格上无法获得精确的数值近似。因此，开发具有参数鲁棒性的数值方法（即相对于ε具有一致收敛性）是一项极具挑战性的任务。更多相关信息可参见相关书籍[5][6]以及文章[7][8]中关于指数拟合方法的内容，还有近期关于1维和2维SPDEs的各种拟合网格方法的研究[9][10][11][12][13]。

除了计算精确的数值解之外，分析SPDEs的缩放解导数的参数鲁棒近似也至关重要。缩放后的一阶导数通常具有物理意义，例如它对应于物质的扩散通量，根据菲克第一定律，该通量与浓度梯度成正比。这类量在诸多与扩散相关的现象中普遍出现，而在科学和工程的各个领域都起着重要作用。以废物处理导致的污染物在土壤中的扩散为例，这一过程在岩土工程中经常被研究[14]。对流通量和扩散通量的共同作用导致了污染物的瞬态传输，这一过程由对流-扩散方程描述[15]。随着扩散参数的减小，边界层内的解梯度会显著增大，而该区域外部则保持有界。因此，基于边界层区域选择合适的缩放因子来准确捕捉扩散通量，既是一项具有挑战性的任务，也具有重要意义。

接下来，我们将介绍一些在SPDEs数值方法的发展与分析方面的重要研究成果。Cen在[16]中，Lin?在[17]中分析了1维对流-扩散常微分方程组。此外，Madden和Stynes在[18]中，Tamilselvan及其合作者在[19]中分别分析了用于反应-扩散和对流-扩散型奇异扰动边值问题耦合系统的经典有限差分法和重叠Schwarz方法。Singh和Natesan在[20]和[21]中分别研究了1维和2维抛物线型对流-扩散偏微分方程组的数值解。最近，Clavero和Jorge在[22]和[23]中分别提出了基于分量分解的方法，以降低求解1维和2维抛物线型对流-扩散偏微分方程组的计算成本。另外，Aarthika等人在[24]中，Clavero等人在[25]中分别研究了1维双参数抛物线型偏微分方程组和2维双参数椭圆型对流-扩散偏微分方程组。

还有大量研究致力于SPDEs的缩放解导数的参数鲁棒近似。例如，书籍[5]以及文章[26][27][28]探讨了标量两点对流-扩散边值问题导数的近似方法。随后，Priyadharshini等人在[29]中扩展了具有相同扩散参数的1维对流-扩散常微分方程组导数近似的分析。此外，Gracia和O’Riordan在[30]中分析了标量1维奇异扰动对流-扩散抛物线型偏微分方程在时空上的导数近似。上述文献主要基于合适的分段均匀Shishkin网格进行误差分析。最近，Bose和Mukherjee在[31]中利用广义自适应网格，为具有不同扩散参数的1维对流-扩散常微分方程组的解及其缩放导数建立了快速且一致精确的近似方法。随后，他们又在[32]中将分析扩展到具有多个扩散参数的1维抛物线型对流-扩散偏微分方程组，所采用的网格为标准Shishkin网格。在二维SPDEs背景下，实现缩放解导数的高效近似是一个更为复杂的问题，因此也带来了更大的挑战。在这方面，Gracia和O’Riordan在[33]中的工作值得关注。他们使用了分段均匀Shishkin网格的张量积，分别分析了2维标量椭圆型对流-扩散问题在ε≤CN?1和ε≥CN?1两种情况下的缩放离散导数。

然而，据我们所知，目前尚无研究文章涉及2维SPDEs系统的解及其扩散通量的参数鲁棒近似。下文将介绍本文提出的算法及其相关收敛性分析的几个关键特点。

首先，通过将解分解为平滑部分和层状部分，我们为连续问题（2.1）的解导数建立了渐近界。为了进一步优化这些界，除了考虑平滑部分s→的渐近展开式（3.5）外，我们还考虑了层状部分r→T和r→R在（3.7）和（3.8）中的展开式。尤其是r→T和r→R的展开式，对于分析相关的离散误差通量至关重要（更多细节见备注3.2）。

在[31]中已经证明，与标准Shishkin网格相比，当k>1时，广义S型网格（S(k)-mesh）能够在不增加网格区间数N的情况下，实现更快的参数鲁棒收敛速度，从而带来更具成本效益的近似结果。基于此，本文首次利用1维广义S型网格的张量积，分析了形式为（2.1）的二维椭圆型对流-扩散SPDEs系统的解及其在x和y方向上的缩放解导数在C0范数下的更快参数鲁棒近似。

此外，我们在广义S型网格上，通过双线性插值，得到了解及其缩放导数在适当加权C1范数下的全局数值近似。

更进一步，为了验证理论结果，我们在两个测试算例上开展了严格的数值实验，这些算例包含二阶方程组，既有具有精确解的情况，也有没有精确解的情况。实验结果表明，随着从S(1)-网格过渡到S(2)-网格，所提算法的参数鲁棒数值精度（在C0范数和C1范数下衡量）逐步提升，而在S(3)-网格上达到最优值，此时对数因子的影响显著减弱。当将数值实验扩展到另一个包含三阶方程组且具有非零边界数据的测试算例时，也观察到了类似的趋势。

本文的结构如下：第2节介绍连续问题，第3节讨论解析解的性质。第4节介绍数值技术并分析离散解的稳定性。第5节对解的收敛性进行分析，第6节则对离散解导数的误差进行分析。第7节利用适当的加权C1范数确定该方法的全局精度。第8节报告在S(1)、S(2)和S(3)网格上进行的大量数值实验，以验证理论估计。最后，第9节对全文进行简要总结。