用于广义克莱因-戈登-薛定谔方程的保结构算子分裂显式方法

《Applied Numerical Mathematics》：Structure-preserving operator-splitting explicit methods for the generalized Klein–Gordon–Schr?dinger equations

　　曾凯明|梅丽杰中国云南省昆明市云南师范大学数学学院，邮编650500摘要受Mei等人[J. Comput. Phys. 533 (2025) 113993]的启发，他们研究了具有周期性边界条件的守恒型Klein–Gordon–Schr?dinger（KGS）方程，本文为广义KGS方程建立了若干显式求解方法。这类方程根据方程中参数的不同取值，可能表现为耗散型或守恒型。本文采用的结构保持理念旨在尽可能保留原系统的守恒律，通过合适的算子分解进行时间离散化，运用傅里叶伪谱法进行空间离散化，并在傅里叶空间中利用快速傅里叶变换实现完全离散化方案。研究表明，时间对称性、精确质量守恒、近似能量守恒以及无条件稳定性可从守恒情形推广到耗散情形。通过对一维、二维和三维KGS方程的数值实验，不仅验证了该方法的高效率、精确的质量守恒、无条件稳定性以及大时间步长的适用性，还证明了该方法能够正确捕捉广义KGS方程的耗散行为。引言本文研究以下广义Klein–Gordon–Schr?dinger（KGS）方程的数值解：{i?t+λΔ?+u?+i??=0,(x,t)∈Ω×(0,Tend],ε2utt+γεut?Δu+u?|?|2=0,(x,t)∈Ω×(0,Tend]，初始条件为?(x,0)=?0(x),u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),x∈Ω，其中i2=?1，Ω?Rd（d=1,2,3），λ为正常数，其取值通常为12 [1], [2], [3], [4], [5]或1 [6], [7]。为便于数值分析，我们对广义KGS方程施加周期性边界条件。KGS方程通常描述通过Yukawa相互作用与中性标量介子相互作用的标量核子的动力学行为，其中?(x, t)和u(x, t)分别表示标量核子场和标量介子场，二者分别为复值和实值[8]。参数γ和?分别表征介子场和核子场的阻尼强度：γ出现在介子场的阻尼项γεut中，而?出现在核子场的阻尼项i??中。当?=γ=0时，广义KGS方程简化为标准的守恒型KGS方程，此时系统演化过程中能量和质量得以守恒。然而，当?＞0（或?=0,γ>0）时，这些方程变为耗散型，因为在这种情况下质量（或能量）会随时间衰减。需要注意的是，正参数ε表示微观量与宏观量之间的比率，其与光速成反比[9]。不过，参数ε并不影响系统的守恒或耗散特性。当0＜ε?1时，该情形通常被称为“非相对论”极限状态[10]。关于广义KGS方程性质的更多细节可参考[6]。为求解标准的守恒型KGS方程，人们已经开发出了大量有效的数值方法，主要包括但不限于显式多辛方法[1]、保能量sinc配置方法[2]、无网格方法[11]、非相对论极限状态下的多尺度时间积分傅里叶伪谱方法[10]、Galerkin有限元方法[12]及其改进的线性化跳蛙版本[3]、带有快速离散正弦变换的保能量有限差分格式[13]、同时保持质量、能量和动量的谱方法[14]、无条件稳定的显式指数方法[15]、基于重构线性方程的保质量保能量方法[4]等等。然而，针对广义KGS方程的数值方法研究，尤其是耗散型KGS方程的相关研究较为有限。现有的重要成果主要包括显式时间分裂伪谱方法[6]以及基于辅助变量法的结构保持方案[7]，这些方法可将原始KGS方程转化为等价形式。需指出的是，[6]中的PSAS–TSSP方法在γ≥0且时间步长τ≥0时具有无条件稳定性，而[6]中的CN–LP–TSSP方法则仅为条件稳定。这两种方法的时间精度均为二阶，并且已被证明在γ=?=0的守恒情形下具有时间对称性。此外，PSAS–TSSP方法的实现较为复杂，因为需要根据二次方程的判别式值使用不同的公式。而[7]中提出的结构保持方法是隐式的，且仅能保持修正后方程的守恒律。受时间分裂[6]方法和算子分解方法[15]的启发，本文遵循结构保持理念，探索了一种适合时间离散化的算子分解技术，该技术旨在尽可能保留原系统的守恒律，从而确保所提出的完全离散化方案具备良好的性能、高效率以及易于实现的优点。具体而言，[6]中的方法将系统分解为三个部分，但其中Klein–Gordon方程的精确解取决于判别式的符号，这增加了其实际应用的复杂性。而[15]中的方法虽然对守恒型KGS方程采用了三算子分解，实现了无条件稳定性和高精度，但却不适用于耗散情形。相比之下，本文提出了一种形式简单且易于实现的四算子分解方法。更多相关细节可见第2.1节。我们还需指出，尽管在数值求解薛定谔方程时，分解方法可能会出现不稳定或非线性发散问题[16]，但由于本文对四个子系统都使用了精确解，因此所提出的分解方法并未出现此类问题，数值实验也证实了这一点。本文的主要贡献如下：•我们建立了一种系统化的方法，用于推导出时间精度可任意设定且可使用快速傅里叶变换在傅里叶空间中轻松实现的显式方法；•这些新方法在守恒型和耗散型情况下均具有时间对称性、精确的质量守恒性以及无条件稳定性；•无论KGS方程是守恒型还是耗散型，这些方法都允许使用较大的时间步长。本文结构如下：第2节介绍用于时间离散化的四算子分解方法，并阐述在物理空间和傅里叶空间中均可通过快速傅里叶变换实现的完全离散化方案。第3节探讨所提方法的理论性质，包括时间对称性、精确质量守恒性、无条件稳定性以及收敛阶数。第4节通过一维、二维和三维KGS方程的数值实验来验证这些方法的性能。最后一部分为结论部分。算子分解显式方法在阐述主要结果之前，我们首先给出以下假设，该假设在全文中均予以采用：初始边界值问题（1）-（2）的解存在，并满足以下规律性条件：∥?∥L∞((0,Tend];Hr)+∥u∥L∞((0,Tend];Hr)+∥?0∥Hr+∥u0∥Hr+∥u1∥Hr≤Cp，其中Cp为表示解的均匀上界的正常数，r为拉普拉斯算子空间离散化的精度阶数。此处，Hk(Ω)为标准的希尔伯特空间。新方法的性质一旦对空间部分应用傅里叶伪谱离散化，即用对称正半定矩阵M来近似负拉普拉斯算子?Δ，那么原始的KGS方程（1）即可被离散化为：{iΦt?λMΦ+UΦ+i?Φ=0,t∈(0,Tend],ε2Utt+γεUt+(M+I)U?|Φ|2=0,t∈(0,Tend]，初始条件为Φ(0)=(?0(x1),?,?0(xN))?,U(0)=(u0(x1),?,u0(xN))?,Ut(0)=(u1(x1),?,u1(xN))?。与（4）和（5）类似，离散化后的系统（27）具有离散总质量M(t)=∥P(t)∥22+∥Q(t)∥22。数值实验本节通过数值实验来测试本文所提方法的性能。比较用到的方法如下：•EH2：二阶（时间精度）的算子分解方法（23）；•EH4：基于EH2组合的四阶（时间精度）方法（19）；•SAVRK2：基于[4]中提出的二次辅助变量技术的二阶辛RK方法，迭代容忍度为εtol=10?12，其中采用的……结论在本文中，我们通过开发一种用于时间离散化的四算子分解技术，并用对称正半定微分矩阵来近似负拉普拉斯算子，从而解决了广义Klein–Gordon–Schr?dinger方程的问题。特别是，当结合傅里叶伪谱法进行空间离散化时，可通过快速傅里叶变换高效地实现完全离散化方案，且内存占用较低。所提出的结构保持显式方法CRediT作者贡献说明曾凯明：撰写——初稿、验证、研究。梅丽杰：撰写——审阅与编辑、形式分析、概念构建。利益冲突声明作者声明不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。