一种利用指数自回归移动平均（Exponential Autoregressive Moving Average，EXPARMA）模型预测具有非周期性周期的时间序列的新方法

《Research in Statistics》：A novel approach to forecast time series exhibiting aperiodic cycles using Exponential Autoregressive Moving Average models

　　

在对现实世界过程建模时，数据生成过程可能表现出显著的非周期性周期行为，其峰值与谷值均具有可变性。此类情况可通过周期图（Periodogram）分析确定，此时非线性时间序列模型至关重要。源于以捕捉随机周期振动而广为人知的指数自回归（Exponential Autoregressive，EXPAR）模型家族，指数自回归移动平均（Exponential Autoregressive Moving Average，EXPARMA）模型已被提出。然而，应用此类模型存在的问题是文献中缺乏将此类模型拟合到真实数据集的简单方法。本研究提出了一种直接且有效的模型参数估计方法及样本外预测方法。所提出的方法论结合了残差平方和（Residual Sum of Squares，RSS）最小化及利用信息准则选择合适模型阶数等简单概念。所开发算法的有效性已通过应用得以凸显。通过实施所开发算法获得的预测结果在误差方面进行了比较。所考虑的误差度量清楚地突出了所开发方法论的优越性，准确率提高了约40%。总体而言，结果表明所讨论的模型可用于捕捉现实场景生成数据的周期性质。

该研究发表于《Research in Statistics》。研究背景方面，现实世界生成的随机过程时间序列常含有振幅与频率均不固定的非周期性周期波动，传统线性自回归积分移动平均（Autoregressive Integrated Moving Average，ARIMA）模型难以捕捉此类非线性动力学特征。虽指数自回归（Exponential Autoregressive，EXPAR）模型具备极限周期行为捕捉能力，但其存在结构非简约（需大量预测变量）、参数估计方法（遗传算法、网格搜索、扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF））各有缺陷（全局最优缺失、计算昂贵、实现复杂）等问题。为此，研究人员提出融合移动平均（Moving Average，MA）项的指数自回归移动平均（Exponential Autoregressive Moving Average，EXPARMA）模型及配套的低复杂度参数估计流程，旨在提升对非周期性周期数据的拟合与预测精度。

研究人员开展的主要关键技术方法包括：采用周期图（Periodogram）分析识别时间序列的主导频率以判定非周期性周期特征；构建EXPARMA(p,q)模型，其自回归与移动平均项均引入指数非线性组件（含线性权重α_i、β_j与非线性修饰符λ_i、ν_j及缩放参数γ、ω>0）；利用Nelder-Mead优化算法最小化残差平方和（Residual Sum of Squares，RSS）进行参数估计；遍历p=1~5、q=1~5共25种阶数组合，依据贝叶斯信息准则（Bayesian Information Criterion，BIC）选取最优模型；以印度1901–2015年9个农业气候区年度降雨量数据集（训练集1901–1990，测试集1991–2015）为样本队列，采用平均绝对百分比误差（Mean Absolute Percentage Error，MAPE）、均方根百分比误差（Root Mean Square Percentage Error，RMSPE）及Giacomini and Rossi（GR）检验进行预测精度评估与显著性对比。

研究结果部分如下：

1. 1.
   引言（Introduction）：综述时间序列分析中ARIMA模型的线性局限，阐述EXPAR模型在周期捕捉上的优势及现有参数估计方法的不足，引出引入MA项构建EXPARMA模型以解决非简约性问题的必要性。
2. 2.
   材料与方法（Materials and methods）：详述周期图分析原理；给出EXPARMA(p,q)数学模型公式，明确其含2(p+q+1)个待估参数及一步、两步超前预测公式与误差方差推导；说明基于Nelder-Mead算法的最小化RSS目标函数及基于BIC的模型阶数选择策略；回顾线性ARIMA(p,d,q)模型作为基准对比；定义MAPE与RMSPE误差度量及GR检验统计量用于模型间预测差异显著性验证。
3. 3.
   数据集（Data sets）：描述所用印度9个地区年度降雨量数据的变异性（低、中、高波动如AM、NMMT、HDC等），周期图显示多峰非单一周期特征，证实数据具备非周期性周期属性，适合本研究验证。
4. 4.
   结果与讨论（Results and discussion）：EXPARMA模型在所有数据集与指标上均优于ARIMA与EXPAR，较ARIMA最高提升MAPE 43.12%、RMSPE 46.71%（NMMT地区），较EXPAR最高提升MAPE 37.78%、RMSPE 36.17%（AM地区）；雷达图显示EXPARMA误差多边形面积最小；EXPARMA较EXPAR参数更少（如HDC、TL地区参数减半），解决非简约性问题；GR检验统计量多时段显著正向偏离零线与置信带，证明EXPARMA损失（MSE）显著低于基准模型且具有时间稳健性。

讨论部分总结：研究人员指出EXPARMA通过加入MA项成功建模ARIMA无法捕捉的非周期性周期，在十年跨度降雨数据上全面超越ARIMA与EXPAR并经GR检验证明显著性。已开发R语言包EXPARMA供学界使用。同时指出Nelder-Mead在长预测或高维下具挑战，未来可结合并行化、拟牛顿法、正则化或深度学习（长短期记忆网络（Long Short-Term Memory，LSTM）、时间卷积网络（Temporal Convolutional Networks，TCN））提升效率与鲁棒性，并拓展至金融、生物信号及缺失值、离群点处理等领域。

结论部分翻译：通过将移动平均误差项添加到基本EXPAR模型中而开发的EXPARMA模型，已被证明可对传统ARIMA模型无法捕捉的非周期性周期进行建模。EXPARMA模型在长达十年的降雨量数据上的表现表明，其在每个考虑的指标上都优于ARIMA以及EXPAR模型。使用Giacomini and Rossi检验亦发现其显著优于同类模型。研究人员还开发了名为EXPARMA的R语言包，可供全球研究人员广泛快速使用与适配作为预测辅助工具。基于此途径，EXPARMA极有可能成为一种能够提供可解释预测的宝贵模型。尽管如此，两个操作层面的考量值得注意。首先，尽管所采用的优化器在当前研究中表现良好，但扩展到长期预测或高维滞后算子仍具挑战。特别是，采用并行更新规则或拟牛顿优化来改进参数估计效率，将有助于缓解对序列长度的敏感性。此外，考虑正则化手段以减轻序列长度有限对结果稳健性的影响至关重要。再者，将EXPARMA模型与长短期记忆网络（Long Short-Term Memory，LSTM）或时间卷积网络（Temporal Convolutional Networks，TCN）等深度学习框架结合，将使这些模型能够利用深度网络强大的非线性模式识别能力，同时保留EXPARMA易于理解的特质。在研究工作尾声，验证EXPARMA在金融及其他生物信号等领域的有效性对其适用性至关重要。此外，该模型亦可借助适当的统计技术用于处理“缺失数据”与“离群值”等问题，这可作为感兴趣的研究人员未来开展的工作。