功率流几何与近似方法

《IEEE Transactions on Power Systems》：Power Flow Geometry and Approximation

　　

摘要：

在许多实际感兴趣的电力系统问题中，功率流方程非常重要，这些问题涉及交流功率流（ACPF）的物理现象。其中研究最深入的是交流最优功率流问题（ACOPF），该问题旨在优化电力系统的运行。由于功率流方程的非线性特性，包含这些方程的问题通常具有挑战性，尤其是在优化方面。有趣的是，功率流方程的解集构成一个光滑流形。因此，可以利用微分几何来描述和分析这个方程集。这种方法在多个工程应用中已被证明是有效的（例如，求解ACOPF和分析解空间边界）。这种方法成功的关键在于理解功率流流形的几何结构。在这项工作中，我们利用微分几何的概念来研究这个流形的几何和拓扑性质。在展示了将流形表示为函数图的便利性之后，我们重点介绍了计算方法：我们开发了收缩映射、线性近似的误差界限以及评估黎曼度量的公式（包括相关的对象，如测地线和曲率张量）。标量曲率和第二基本形式在量化线性近似的质量方面发挥了新的作用，比如常用的直流近似方法。所有函数都用Julia语言实现，并托管在一个在线仓库中。为了完整性，文中还包含了证明。

引言

越来越多的文献开始使用微分几何来分析和计算交流功率流（ACPF）方程。这种新颖的方法首次在[1]中被明确提出，其中证明了非线性ACPF方程构成了欧几里得空间中的一个嵌入子流形。他们进一步将切空间视为ACPF方程的线性近似，并展示了其用于获得快速近似解的用途。在[2]中，黎曼优化（参见[3]、[4]）被用作在线控制算法的模板。具体来说，将基于物理的收缩映射应用于功率流流形上的投影梯度下降方法被证明可以追踪交流最优功率流（ACOPF）问题的时变解。这种方法在[5]和[6]中得到了进一步的发展，其中实现了用于解决径向配电网络上的负荷流和最优功率流问题的黎曼算法。在[5]中，作者还为相关的功率流流形提出了三种收缩映射。论文[7]考虑了使用黎曼优化算法在任意网络上解决ACOPF问题。关于受限流形优化的研究（例如[8]）表明，使用黎曼技术获得的解与标准内点法[9]的结果相当。黎曼方法与常规松弛方法（如半定规划或二次凸松弛[10]）的不同之处在于，它重新制定了原始的非线性问题并直接求解它，即不放松或丢弃任何约束。在[11]中，采用了动态系统方法来表征具有约束的ACOPF可行区域，将其视为满足某些稳定性质的流形分量的并集。