基于结合FORM的SESO方法的三维多材料结构多目标拓扑优化

《Buildings》：Multi-Objective Topological Optimization of 3D Multi-Material Structures Using the SESO Method with FORM Márcio Maciel da Silva, Hélio Luiz Simonetti, Francisco de Assis das Neves and Marcílio Sousa da Rocha Freitas

　　

拓扑优化（Topology Optimization, TO）已确立为一种高效工具，可用于高度复杂结构的设计以及材料的合理利用，尤其适用于涉及多重约束和相互冲突目标的问题。该研究提出了一种新的多材料拓扑优化方法，该方法基于渐进结构优化平滑法（Smoothing Evolutionary Structural Optimization, SESO），并在MATLAB R2021a环境中表述为一个多目标优化问题。该多目标表述同时考虑最大von Mises等效应力（或最小主应力）与最大位移的最小化，这两者均为结构工程设计中的基本判据。所提出的方法还结合了一种采用一次可靠度方法（First-Order Reliability Method, FORM）的可靠度分析，通过正态分布与对数正态分布对施加载荷、体积分数和弹性模量相关不确定性进行建模，目标可靠指标为β_target = 3.0。通过蒙特卡罗模拟（Monte Carlo simulation）对可靠度分析的一致性进行了评估，从而验证了经由FORM得到的可靠指标。

该方法被应用于两个经典三维数值算例：在底部和中部受载条件下的悬臂梁以及MBB梁，并考虑了两种工程中广泛使用的材料——钢和混凝土。结果表明，该方法能够在设计域中实现更优的多材料分布，并在面对不利受力平面、弹性模量变化以及FORM施加的体积约束时表现出更强的结构鲁棒性。此外，研究人员对钢材最小屈服应力（σ_ymin）和混凝土抗压强度（f_ckmin）进行了标定，以表征抵抗钢材中最大von Mises应力以及混凝土中最小主应力（σ₃）所需的最小材料强度，从而保证达到目标可靠指标。由此，该方法突出了SESO与多材料、多目标及基于可靠度优化相结合的优势，表明其是一种一致、稳健且具有实际工程意义的策略，并具有在未来结构工程项目中进一步应用的潜力。

该论文发表于《Buildings》，围绕三维多材料结构在复杂工况下的高效设计问题，提出了一种将渐进结构优化平滑法（SESO）、多材料拓扑优化（MMTO）、多目标优化与可靠度分析统一集成的计算框架。研究背景在于，随着结构工程对轻量化、高性能与经济性的要求持续提高，传统单材料、单目标、确定性条件下的拓扑优化方法，已难以充分反映实际工程中材料差异、性能冲突与参数不确定性并存的设计情境。尤其是在结构设计中，减小位移通常要求增加局部刚度和材料集聚，而控制最大应力又需要优化力流路径与应力重分布，二者往往相互制约。与此同时，荷载、体积约束和材料弹性模量等参数在工程实践中不可避免地存在随机波动，因此仅依据确定性最优解开展设计，可能难以保证结构在不确定环境下的安全性与稳健性。在此背景下，开展兼顾多目标权衡、材料协同配置与可靠度约束的三维多材料拓扑优化研究，具有明确的方法学意义与工程应用价值。

研究人员在MATLAB R2021a环境中构建了多目标MMTO模型，将最大位移与最大von Mises等效应力或最小主应力作为相互冲突的目标函数，并采用加权和法（Weighted Sum, WS）将多目标问题标量化处理，通过系统改变权重系数自动构造Pareto前沿。为反映不确定性影响，研究进一步引入一次可靠度方法（FORM），并通过Hasofer–Lind–Rackwitz–Fiessler（HLRF）迭代算法求解可靠指标β。研究中将施加载荷F、体积分数Volfrac和弹性模量E视为随机变量，采用正态分布（N）或对数正态分布（LN）进行描述，目标可靠指标设定为β_target = 3.0。为验证FORM结果的一致性，研究人员进一步使用100,000次样本的蒙特卡罗模拟进行统计校核。研究对象包括底部受载悬臂梁、中部受载悬臂梁与MBB梁三类三维经典算例，材料选用钢与混凝土，并依据主应力和σ₁ + σ₂ + σ₃的符号判据进行材料分配：受拉主导区域配置钢材，受压主导区域配置混凝土。

就方法而言，本文的关键技术主要包括：其一，采用SESO进行三维离散设计域内材料逐步演化与平滑更新；其二，采用WS法构建最大位移与最大von Mises应力/最小主应力的多目标优化模型，并输出Pareto前沿；其三，采用FORM及HLRF算法进行可靠度约束分析，将F、Volfrac与E建模为随机变量；其四，采用蒙特卡罗模拟对可靠指标进行外部验证；其五，针对钢相与混凝土相分别建立以σ_y和f_ck为核心的极限状态函数，实现最小屈服强度与最小抗压强度标定。全文为数值算例研究，未涉及生物样本或人群队列来源。

以下对论文主体结果按原文小标题进行概括。

2. Multi-Material Topology Optimization
本部分系统梳理了多材料拓扑优化的发展脉络，说明其研究热度与多材料增材制造的发展密切相关。研究人员回顾了水平集法（LSM）、SIMP类插值模型、二值子问题分解方法以及BESO、映射型插值函数等多种MMTO策略，指出不同方法在几何表示、材料过渡、离散性控制和制造可行性上的优势与局限。在此基础上，论文给出了基于SESO的三维多材料、多目标、可靠度优化流程图，明确了弹性模量、成本、位移和应力在框架中的作用，形成了后续数值分析的理论基础。

2.1. Multi-Objective Formulation of Multi-Material Topology Optimization
该节建立了本文的优化数学模型。研究人员将结构平衡方程K u = F、体积约束以及单元密度变量x_e共同纳入优化框架，以最大位移f₁和von Mises等效应力或最小主应力f₂为目标，通过权重w₁与w₂组合为单一目标函数。该建模体现出位移控制与强度控制的本质冲突，并为Pareto解集搜索提供了可计算形式。

2.2. Weighted Sum Method
该节说明采用加权和法处理多目标问题的原因。研究人员指出，该方法实现简洁、计算效率较高，易于与演化型优化过程耦合。通过改变权重系数，可系统获得一系列折中解，并自动生成Pareto前沿，从而全面展示不同设计偏好下的最优拓扑。

2.3. Pareto Frontier
该节从理论上阐释Pareto前沿在多目标优化中的作用，即用一组互不支配的解来替代单一最优解。研究人员说明，在结构设计中通常无法同时最小化所有目标，因此需要借助Pareto前沿刻画位移与应力之间的折中关系。该思想也是本文后续所有数值结果展示的核心方式。

2.4. Pareto Dominance
该节进一步定义Pareto支配关系与可行解集，说明何种解属于非支配解。研究人员强调，若某一方案在至少一个目标上更优且其他目标不劣，则可支配另一方案。该判据为识别Pareto前沿上的有效结构方案提供了严格依据。

3. Reliability Analysis
本部分说明为何需要在拓扑优化中引入可靠度分析。研究人员指出，考虑随机不确定性有助于降低失效概率、提升结构安全储备，因此本文在全部数值算例中均将FORM嵌入优化过程，以考察不确定条件下所得拓扑的安全性与稳健性。

3.1. FORM Method
该节给出了FORM的理论基础与实现方式。研究人员通过一阶Taylor展开对极限状态函数进行线性化，并借助HLRF算法迭代搜索最可能失效点（MPP），据此求得可靠指标β及失效概率P_f。文中建立了两类极限状态函数：针对钢材相，以σ_y ? σ_VM,eq.max(F,V,E_inter)为判据；针对混凝土相，以f_ck ? σ_3,eq.max(F,V,E_inter)为判据。研究同时考察了两种策略：一是将最大应力固定为确定性解所得结果，用于标定最小强度；二是在FORM迭代中同步更新最大应力，以反映拓扑演化引起的应力重分布。前者计算成本较低，后者更保守。

3.2. Monte Carlo
该节介绍蒙特卡罗模拟在可靠度验证中的作用。研究人员依据各随机变量的概率分布生成大量样本，并通过极限状态函数是否越界统计失效概率，以此独立验证FORM所估计的β值。对数正态变量的抽样通过变量变换实现。该步骤增强了可靠度分析结果的可信性。

4. Results
结果部分首先说明了材料分配准则：依据σ₁ + σ₂ + σ₃的符号，受拉区分配钢材，受压区分配混凝土。该准则使多材料布局与局部受力状态保持一致，具有明确的力学合理性。

4.1. Bottom-Loaded Cantilever Beam
在底部受载悬臂梁算例中，研究人员比较了确定性拓扑优化（DTO）与两类可靠度拓扑优化结果。结果显示，FORM框架下所得结构通常具有更小的结构体积，说明在可靠度约束参与后，材料分配呈现出更有针对性的演化特征。与此同时，与DTO相比，FORM所得方案的von Mises应力和最大位移总体更高，反映出可靠设计相对保守但更加稳健。随着权重w₂变化，位移与应力之间始终呈现显著冲突关系：较低w₂对应较小位移但较高应力，较高w₂则带来应力下降与位移上升。无论应力取自DTO固定值还是在FORM中迭代更新，这种冲突均持续存在，证明采用Pareto前沿表达折中解是合理的。蒙特卡罗结果表明，在100,000次模拟下，最小位移点对应的β值约为3.18和3.19，其余点亦高于目标可靠指标，验证了FORM收敛性与可靠性。

4.2. Center-Loaded Cantilever Beam
在中部受载悬臂梁中，确定性与可靠度方案的差异同样清晰。DTO方案在理想确定条件下具有较低应力与较小位移，而FORM方案由于纳入了参数不确定性，目标函数值系统性提高，表现出更保守的响应特征。Pareto前沿向保守区域移动，体现为达到既定可靠度所需付出的结构性能代价。不同权重下，应力与位移仍表现为典型冲突目标，且位移对权重变化的敏感性有所减弱，说明概率约束对结构响应具有一定稳定化作用。蒙特卡罗验证中，最小位移点β值约为2.98和2.92，其余点高于目标值，说明本文FORM分析总体上与随机模拟具有较好一致性。

4.3. MBB Beam
在MBB梁算例中，研究人员进一步检验了方法的普适性。结果表明，针对von Mises应力目标与最小主应力目标，可靠度优化均能够得到相应的Pareto前沿和多材料拓扑构型，显示该框架不仅适用于悬臂梁，也适用于更典型的桥式受力构件。论文给出了不同权重组合下的应力、位移与材料强度标定结果，说明工程师可依据不同项目需求，从多组折中方案中选择最匹配的设计。

讨论与结论表明，本文的主要贡献并非简单叠加既有技术，而是在SESO框架下实现了多材料拓扑优化、多目标优化与概率可靠度约束的统一集成。研究结论可概括如下：SESO用于多材料结构拓扑优化能够获得高效且稳定的结构构型；三维多材料多目标表述适于从同一设计域中探索不同折中方案，依据目标偏好可实现最大von Mises应力最高约2.1%的降低，或最大位移最高约20.6%的降低；引入FORM后，优化结果能够满足既定可靠指标，且经蒙特卡罗验证后最大差异小于9.1%，表明所提方法具有较高精度与稳健性。两种应力处理策略中，固定确定性应力的方案计算代价较低，所得钢材屈服强度相对作用应力提高30.6%和30.3%；而应力随FORM迭代同步更新的方案更为保守，对应提高42.8%和51.8%。对于MBB梁，Pareto前沿在最大von Mises应力、最小主应力和最大位移上分别表现出24.2%、7.1%和21.6%的差异，为工程选型提供了充分的折中空间。

论文结论部分可译述为：SESO方法应用于多材料结构拓扑优化，被证实能够有效获得高效且稳定的结构构型；将三维多材料拓扑优化表述为多目标问题，适于在同一结构域内探索多种设计方案；将FORM可靠度分析引入多材料多目标拓扑优化后，可获得满足目标可靠指标的结果，并经蒙特卡罗模拟验证其准确性与鲁棒性；通过对钢材屈服强度σ_y和混凝土抗压强度f_ck的标定，能够确定达到β = 3.0所需的最小材料强度水平，从而增强方法的工程实用性。整体而言，该研究为结构工程中多材料、多目标、可靠度驱动的拓扑优化提供了一种一致、稳健且具有推广潜力的理论与数值框架。