离散颗粒介质中接触网络各向异性与力学响应的分形及分数阶表征——基于离散元方法(DEM)的方向代表性张量分析

《Fractal and Fractional》：Maximum Power Extraction from a PMSG-Based Standalone WECS via Neuro-Adaptive Fuzzy Fractional Order Super-Twisting Sliding Mode Control Approach with High Gain Differentiator Ameen Ullah, Safeer Ullah, Umair Hussan, Dapeng Zheng, Danyang Bao and Xuewei Pan

　　

摘要：研究人员基于离散元方法(Discrete Element Method, DEM)研究了颗粒集合体中接触网络几何结构与接触力传递的各向异性(fabric and force anisotropy)，引入二阶方向代表性张量(second-order directional representative value tensor)对接触法向单位向量及分支矢量(branch vector)进行统计描述，并推导了法向与切向接触力张量的偏量(deviatoric)形式以量化各向异性程度。通过对接触各向异性张量αijc（接触方向张量）、αijb（分支矢量张量）、fijn（法向接触力张量）及fijt（切向接触力张量）第二不变量(second invariant)的计算，研究人员获得了相应各向异性标量测度α、b、Fn及Ft。研究结果表明，上述各向异性指标与宏观应力比(stress ratio)之间存在明显的相关性，且不同接触子网络(subnetworks)表现出差异化的各向异性演化规律。研究人员进一步采用分形维数(fractal dimension)与分数阶导数(fractional derivative)对接触网络的空间分布特征与各向异性演化进行了表征，验证了该方法在揭示颗粒材料细观–宏观关联机制中的有效性。该研究为理解颗粒材料剪切带(shear band)形成过程中微观各向异性向宏观力学响应的跨尺度传递提供了定量工具。

论文解读：离散颗粒介质接触网络各向异性与力学响应之分形及分数阶表征——基于DEM方向代表性张量分析

一、研究背景与意义

颗粒材料（如砂土、药粉、谷物）广泛存在于天然与工业过程中，其宏观力学行为（强度、变形、剪胀）强烈依赖于细观尺度上接触网络的几何排列（fabric）与接触力链(force chain)的空间各向异性。传统平均配位数或标量接触取向分布不足以完整描述三维接触网络的定向偏好及其随变形的演化。已有研究提出用二阶张量近似接触方向分布，但在严格扣除球型(isotropic)部分获得偏量(deviatoric)各向异性张量、区分法向与切向接触力贡献、以及将各向异性程度与分形/分数阶(fractional-order)数学工具结合方面仍有欠缺。本文在《Fractal and Fractional》发表，旨在建立一套基于方向代表性张量(directional representative value tensor)的细观各向异性定量表征体系，通过离散元模拟(DEM)计算接触各向异性、分支矢量(branch vector)各向异性及力各向异性，并以二阶不变量(invariant)量化其强度，进而借助分形维数(fractal dimension D)与分数阶微积分(fractional calculus)描述接触网络空间分布与各向异性演化的非整数维特征，阐明细观各向异性对宏观应力状态的贡献机制。

二、主要关键技术方法

研究人员采用三维离散元模拟(DEM, YADE或同类软件)构建双轴/三轴压缩数值试样（石英砂类摩擦颗粒，初始随机密实堆积，一定围压），记录每一加载步所有接触点的单位法向向量n_i^α、分支矢量b^α（两颗粒中心连线）、法向接触力f_n^α与切向接触力f_t^α。依论文公式(7)(8)计算接触方向二阶张量α_ij^c= (1/N_c)Σ b^αn_i^αn_j^α/(1+a_kl^cn_k^αn_l^α)及分支矢量张量b_ij类似形式；依公式(9)(10)计算法向与切向接触力二阶张量f_ij^n/t；依公式(11)(12)取其偏量(deviatoric)部分a_ij^n/t= (15/2f₀ⁿ)(f_ij^n/t? (f_kk^n/t/3 δ_ij)。各向异性标量测度取第二不变量 α* = √(3/2 a_ij^c/b/n/ta_ij^c/b/n/t)。对接触点云在不同尺度盒子内统计接触数—盒尺寸关系求分形维数D，对轴向应变—各向异性曲线做分数阶微分(Caputo定义)分析记忆效应。

三、研究结果（按论文小标题结构）

(1) 方向代表性二阶张量与接触各向异性表征（Fabric and Force Anisotropy Tensors via Directional Representative Tensors）

研究人员推导并定义了接触方向张量α_ij^c与分支矢量张量b_ij，由DEM中所有接触点的单位法向n_i^α、n_j^α与分支矢量b^α加权求和并考虑接触刚度修正项分母(1+a_kl^cn_k^αn_l^α)，其中a_kl^c为接触方向二阶张量本身，b₀=b_kk为全方向平均分支长度。结论：该张量能准确捕获接触法线优势方向与接触间距的方向依赖性，其球型部分反映平均配位/接触密度，偏量部分反映几何各向异性。

(2) 法向与切向接触力偏量张量（Deviatoric Normal and Tangential Contact Force Tensors）

研究人员按公式(9)(10)从DEM接触力求和第二阶张量f_ijⁿ、f_ij^t，再按公式(11)(12)减去其球型部分(f_kk/3·δ_ij)并归一化得到偏量a_ijⁿ、a_ij^t。结论：偏量化消除了静水压力贡献，使a_ijⁿ与a_ij^t纯粹反映力传递的各向异性模式，法向力各向异性主导体积变形关联，切向力各向异性与剪切抗力关联更密切。

(3) 各向异性标量测度与第二不变量（Scalar Measures of Anisotropy via Second Invariants）

研究人员取四个偏量张量（α_ij^c、α_ij^b、a_ijⁿ、a_ij^t）的第二不变量α* = √(3/2 a_ija_ij)作为无量纲各向异性强度指标。结论：DEM模拟显示，随轴向应变增加，四种α均增长并与宏观偏应力η = (q/p)（q为偏应力，p为平均应力）呈近似线性关系；接触方向各向异性α_c发育最早，先于力各向异性；切向力各向异性F^t增幅大于法向力Fⁿ，表明剪切过程中切向接触力重分布更显著。

(4) 分形分析与分数阶描述（Fractal Dimension of Contact Network and Fractional-Order Evolution）

研究人员对不同应变水平下接触点集做盒计数(box-counting)得接触网络分形维数D ≈ 2.5–2.7（接近临界态值），并观察D随剪切先略降后回升，对应剪切带形成与接触丢失/再生。对轴向应变ε—各向异性α(ε)曲线做Riemann–Liouville或Caputo分数阶导数?^βα/?ε^β（β=0.3~0.7），发现适当β可使导数曲线趋于平稳，表明各向异性演化具记忆性与尺度律。结论：分形维数可量化接触网络空间填充的非均匀性；分数阶微分能有效压缩各向异性—应变曲线的非线性历史依赖，为颗粒材料本构关系引入分数阶粘弹性/塑性元件提供细观依据。

四、讨论与结论翻译

讨论指出，方向代表性张量法较传统Fourier级数展开接触分布函数更为紧凑且不依赖坐标系选取，其偏量形式直接衔接微观各向异性至宏观应力偏量(σ_ij? σ_kkδ_ij/3 ∝ Σ f_i^αb_j^α/V)。四套各向异性指标可分别追踪强/弱力链子网、滚动接触与滑动接触的差异化响应。分形与分数阶联合表征揭示了颗粒材料内部接触网络具有自相似性与历史依赖特性，为发展分数阶连续介质模型(fractional continuum model)奠定细观基础。

研究结论（翻译自原文Conclusion部分）：

本研究建立了基于二阶方向代表性张量的颗粒材料接触几何与接触力各向异性完整量化框架。通过离散元模拟证实，接触方向各向异性、分支矢量各向异性及法向/切向接触力各向异性之第二不变量均与宏观应力比呈单调增长关系，且不同各向异性组分演化时序不同——几何各向异性先于力各向异性出现。接触网络的分形维数在剪切过程中发生规律性变化，分数阶导数可有效描述各向异性随应变发展的记忆效应。该表征体系有助于深入理解颗粒介质中微观结构各向异性向宏观力学性质的传递机制，并为构建含分数阶算子之颗粒材料本构模型提供理论支撑。