综述：逆热传导问题求解方法在能源密集型工业过程与能量转换中的应用——现状与最新挑战

《Energies》：Applications of Methods of Solving Inverse Heat Conduction Problems for Energy-Intensive Industrial Processes and Energy Conversion—Current State of the Art and Recent Challenges Magda Joachimiak and Damian Joachimiak

　　

本文介绍了在Hadamard意义下不适定的逆热传导问题（IHCPs）的方法与应用。IHCP求解允许在无法或难以进行测量的位置确定热流密度或温度形式的边界条件。描述了IHCP求解在能源密集型工业过程（如热处理和热化学处理）中的应用。研究人员给出了在动力锅炉壁内表面和活塞机械内表面以及燃气轮机叶片表面上确定边界条件的示例。研究人员指出，将IHCP求解应用于上述问题通常需要简化计算模型，特别是稳定逆问题（IP）的方法。为此，目前使用了IP的准正则化和机器学习。具有稳定性质的方法和神经网络被认为是IHCP求解发展的一个具有挑战性和有趣的方向。

**1. 引言**
本文阐述了逆热传导问题（IHCP）的基本概念，指出其在Hadamard意义上是不适定的。IHCP的求解通常基于热传导微分方程，在已知部分边界条件（Γ1）和内部温度测量点（Γ*）数据的情况下，确定未知边界（Γ2）上的热流密度或温度。通过最小化计算温度与测量温度之间的平方和泛函，将问题转化为求解代数方程组。由于测量误差（如热电偶定位误差±0.2mm）以及热接触电阻的存在，IHCP的数值解往往不稳定。为获得稳定解，需采用正则化技术，如Tikhonov正则化，其中正则化参数的选取是关键难题。本文指出，准正则化与机器学习是当前用于稳定逆问题（IP）的重要方向。

**2. IHCP求解方法及其在工业应用中的准正则化**
该部分综述了针对简单几何形状（如矩形、圆环）的解析-数值方法，以及面向复杂工业几何形状的数值方法。为在工业中实用化，IHCP解必须数值稳定。准正则化方法通过调整计算参数（如时间步长、积分方法）来平均化输入数据，从而在保持传热过程信息的同时实现稳定。其优点在于数学模型比经典正则化更简单，但需要在精度与稳定性之间取得平衡。

**2.1 锅炉与加热装置**
研究人员利用IHCP求解确定了蒸汽锅炉管道内壁的厚度、膜式水冷壁的热边界条件，以及热交换器管道内的沉积物分布。通过逆空间推进法（ISMM）从厚壁板内部温度测量值反演表面热流密度与换热系数。ISMM采用有限体积法逐层计算，具有准正则化特性，计算时间短，适用于电厂部件热应力的在线监测。该方法还被用于测量过热蒸汽温度及计算开孔厚壁管道的瞬态热应力，并用于控制锅炉启动、停机及负荷变化过程中的温度与热应力。

**2.2 热处理与热化学处理**
IHCP被应用于激光加热表面、喷水冷却淬火以及移动金属板淬火等过程的热边界条件确定。对于气体渗氮这类热化学处理，研究人员通过求解IHCP获得了封闭炉内零件边缘的温度、热流密度及换热系数。一种准正则化方法通过合理选择时间步长Δt来消除解振荡，数值测试表明，时间步长从1 s增大到10 s可使平均相对误差比分别降至温度0.5145、热流密度0.1441、换热系数0.1503，显著提高了稳定性。此外，基于Trefftz函数与阶跃函数逼近的准正则化方法被用于稳态与非稳态IHCP，通过适当划分边界区段Γ_2,i并在自由有限元求解器（freeFEM）中实现，可应用于复杂几何形状（如蒸汽轮机定子腔、活塞机械机体）的热流密度确定，计算时间仅约2 s，具备在线控制潜力。

**2.3 燃气轮机**
为提升燃气轮机效率，需优化叶片冷却与保护涂层。研究人员发展了迭代算法，结合变分法与离散傅里叶变换，求解Laplace方程的Cauchy型IHCP，确定了多连通域（如椭圆环）内边界的热条件。该算法被用于分析燃气轮机叶片冷却通道的优化，以及多孔材料冷却通道的边界温度与孔隙率分布。对于带有陶瓷涂层的叶片，通过能量平衡方程对陶瓷层进行准正则化，研究了热导率与涂层厚度对金属-陶瓷界面温度的影响。

**3. 神经网络求解IHCP的应用**
近年来，人工智能神经网络（ANN）特别是物理信息神经网络（PINN）被用于IHCP求解。PINN将物理定律（如热传导方程）嵌入损失函数，从而无需显式正则化。对于一维非稳态平板问题，五种不同架构的PINN被测试，其中Net-3（3个隐藏层，130-100-70神经元）在热流密度归一化均方误差（NMSE）为0.028、热导率相对误差0.13%的情况下，训练时间约840 s。即使在输入数据噪声高达8%时，热流密度重建仍保持满意精度。二维矩形算例表明，增加传感器数量可提高识别效果，但几何简单且热导率较低（<5 W/mK）。非线性IHCP的对比研究显示，前馈神经网络（FFNN）与自回归外生递归神经网络（NARX）均可获得较高确定系数（r²），但阶跃验证函数下热流密度仍存在显著偏差。PINN还被用于多层隔热材料与多孔介质中的瞬态非线性热传导，计算速度比有限体积法快五个数量级。然而，现有研究主要集中于一维或小尺寸简单几何，且材料热导率通常较低（最大4.4 W/mK），对于工业中常用的钢材（热导率30-50 W/mK）及复杂几何，神经网络的有效性尚待验证。

**4. 结论**
IHCP在工业中的应用面临不适定性、数学复杂性及跨学科知识要求的挑战。经典正则化方法（如Tikhonov）参数选择困难，可能不适合工业实时控制。准正则化通过调整时间步长、控制体积尺寸或附加能量平衡方程来稳定解，已在锅炉、燃气轮机和热化学处理中实现在线控制，其关键在于根据具体传热动态与求解方法个体化选择方案，且无需人员干预。相比之下，神经网络（特别是PINN）虽在简化模型与避免显式正则化方面具有潜力，但目前测试案例局限于低热导率小尺寸几何，且对工业常用材料（如变物性钢）的训练困难较大。研究人员认为，在现阶段，神经网络尚无法可靠应用于昂贵的工业设备，而准正则化方法更为成熟。未来需开展针对更大尺寸、复杂几何与工业常用材料的神经网络IHCP研究，并建立认证机制。