《Engineering》：A Surface Quality Evaluation Method for Establishing Image-Surface Causal Chain in X-ray Computed Tomography Measurement
肖晨| Shan Lou| 曾文涵| Paul Scott| 江向谦| 孙文娟
英国哈德斯菲尔德大学计算与工程学院精密技术中心，EPSRC未来计量中心，哈德斯菲尔德HD1 3DH
**摘要**
确保X射线计算机断层扫描（XCT）尺寸计量的可靠性仍然具有挑战性，因为从XCT影响因素到图像质量，再到最终表面质量的完整因果链尚未建立。一个关键问题是缺乏一种与图像质量指标直接相关的表面质量评估方法。本文通过引入这样的方法来填补这一空白，该方法确定了计量结构分辨率（MSR），这是XCT尺寸计量的一个关键分辨率指标。该方法计算二维表面振幅传递函数（SATF），以评估XCT的系统和随机误差，并确定可测量的尺度极限。然后可以通过允许的系统误差或可测量的尺度极限来确定MSR。通过提供将表面系统误差、随机误差和MSR映射到图像模糊、噪声和分辨率的指标，所提出的方法有效地完成了XCT的因果链，并增进了对XCT影响因素如何影响测量质量的理解。
**1. 背景**
X射线计算机断层扫描（XCT）在尺寸计量领域受到了广泛关注，因为它能够以非破坏性的方式获得物体的完整三维（3D）几何信息[1], [2]。与传统尺寸计量技术（如触觉和光学方法）相比，XCT在捕捉内部几何结构和自由形状方面具有显著优势[3], [4]。此外，XCT可以同时对零件进行多个尺寸测量任务，包括长度、形状和表面纹理测量，而这些测量通常需要使用不同的传统技术单独进行。作为尺寸计量工具，XCT的进步对众多行业具有巨大潜力。
尽管具有潜力，但XCT尚未被视为完全成熟的尺寸计量工具，因为确保其测量质量仍然是一个重大挑战。这主要是由于对XCT测量性能的理解有限。XCT测量涉及将图像数据转换为表面数据；然而，从XCT影响因素到图像质量，再到最终表面质量的完整因果链尚未建立。一个关键问题是缺乏一种可以直接映射到图像质量的表面质量评估方法及其指标[5]。
XCT尺寸计量的一个关键分辨率指标是计量结构分辨率（MSR），定义为在指定误差范围内可以尺寸测量的最小结构的大小[6]。MSR使用最终表面数据来确定，预计可以作为测量可靠性和XCT适用性的有效指标。类似于图像分辨率的确定，也需要确定系统和随机误差的MSR，以便进行全面的表面质量评估[7], [8]。由于XCT测量误差在测量空间中往往是不均匀的[9], [10]，因此必须考虑这种空间非均匀性，以便可靠地确定MSR和建立有效的因果链。已经提出了许多评估XCT测量误差和确定MSR的方法，但都没有能够有效地建立因果链。
现有的XCT MSR确定方法本质上仅限于一个空间维度，因此它们不适合评估空间非均匀性[7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18]。大多数方法只考虑系统误差，而忽略或抑制了随机误差，这可能导致MSR高估，并阻碍了对随机误差来源及其影响的调查。XCT的总系统误差通常被表征为低通滤波效应，因为测量误差随着几何结构尺寸的减小而增大。一些方法通过估计滤波器的大小（即滤波器尺寸）来估计这种滤波效应的程度，以确定MSR。例如，Bartscher等人[12]提出使用锐利台阶边缘的半径来估计滤波器大小，而Illemann等人[19]基于弯曲边缘的曲率来评估滤波器大小，假设存在高斯滤波效应。这些方法仅提供了有限的、粗略的XCT系统误差评估。
还有一些方法提供了更完整的XCT滤波效应表征。Zanini和Carmignato[13]提出使用两个球体之间的接触面积来评估接触区域内生成的各种高度的效应，从而在空间域中表征XCT滤波效应。然而，由于其基于空间域的采样策略，该方法的准确性受到数据采样点数量少的限制。Wohlgemuth等人[10]和Arenhart等人[11]提出使用非周期性轮廓样本的振幅传递函数（ATF）在频率域中完全表征XCT滤波效应。虽然基于频率响应分析的方法提供了足够的数据进行准确表征，但其评估结果受到XCT随机误差引入的严重数据噪声的影响。空间随机误差表现为整个频率谱中的ATF噪声。尽管通过抑制XCT随机误差实现了ATF的降噪，但降噪效果效率低下，且无法评估随机误差。
本研究提出了一种基于频率响应分析的新型表面质量评估方法，能够在二维（2D）测量空间中评估XCT系统和随机误差。该方法使用由不同频率成分组成的单个非周期性表面计算XCT测量的2D表面ATF（SATF）。计算2D SATF比计算一维（1D）ATF更具挑战性。虽然ATF计算利用多个相同轮廓的平均值来减少ATF噪声，但由于实际制造多个具有相同复杂纹理的表面存在困难，这种降噪方法不适合SATF计算。为了克服这一限制，采用了多重快速傅里叶变换（FFT）平均方法，从而仅使用单个表面就能有效地降低SATF计算中的噪声。这种降噪方法不仅确保了对XCT滤波效应的准确表征，还纳入了对XCT随机误差的评估。然后可以根据系统误差或随机误差全面确定MSR。2D误差评估允许检查空间非均匀性。最终表面数据的质量指标（包括表面系统误差、随机误差和MSR）可以与初始投影图像数据（包括图像模糊、噪声和分辨率）在相同的测量空间中进行关联。
在本文中，第2节描述了计算SATF的方法论和测试样本。第3节讨论了SATF计算中的噪声问题，并介绍了降噪方法。第4节提供了SATF方法用于识别不同XCT测量误差的验证和解释。第5节解释了如何从SATF确定MSR。第6节说明了SATF方法在构建XCT影响因素的完整因果链中的应用，即基于线性化的光束硬化校正（BHC），以便更深入地了解其对测量质量的影响。最后，第7节提供了本研究的结论。
**2. 方法论和测试样本**
**2.1. 开发SATF方法的方法论**
由于SATF噪声是准确评估误差的主要障碍，首先评估了STAF噪声，以确定合适的SATF降噪策略。进行了XCT模拟测量，以通过最小化随机误差来获得噪声最小的SATF。如果SATF噪声仍然显著，说明优化样本设计或测量性能无法实现有效的SATF降噪，这表明需要先进的数据处理技术。然后使用从实际XCT测量获得的SATF来检查所采用的SATF降噪方法。最后，通过具有已知系统和随机误差的基于算法的测量系统验证了SATF的误差评估准确性。
**2.2. SATF的定义**
SATF定义为XCT测量表面频率的幅度与真实表面频率的幅度之比，数学表达式为：
(1)
SATF = AXCT / Atrue = F_{XCT measured surface} / F_{true surface}
其中AXCT和Atrue分别表示XCT测量和真实表面的频率幅度；F_{?}表示N点离散傅里叶变换，使用基数为2的FFT计算；|?|表示绝对值。由于真实表面无法得知，因此使用高分辨率的测试表面测量作为参考来估计SATF。在本研究中，使用了光学表面计量仪器——聚焦变异（FV）显微镜来获得高分辨率的参考测量，以估计物理XCT测量的SATF。
**2.3. 测试样本**
本研究中使用的测试样本是一种金属增材制造（AM）样本，具体是由国家物理实验室（NPL）[20], [21]开发的3D粗糙度标准样本（3DRS）。3DRS样本由Ti64合金制成，采用电子束熔化在垂直方向上制造，如图1所示。该样本具有四个标记为A、B、C和D的测试表面。表面A是原始制造的表面，而其他表面则用不同大小的珠子进行喷砂处理，以获得不同的表面粗糙度。所有四个表面都被用于获得通用结果，并检查XCT中SATF的非线性，即其对输入表面的依赖性。测试表面沿着XCT旋转轴进行测量。
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图1. NPL 3DRS样本：(a) 样本的照片；(b, c) 显示四个测试表面的位置；(d) 显示样本的标称尺寸[20], [21]。
**2.4. 测试表面的光学（FV）测量**
为了获得高质量、可靠的测试表面参考测量，建议参考方法应提供至少三倍的横向分辨率[41]，五到十倍的垂直分辨率[42], [43]，以及不超过XCT测量不确定性的四分之一[39]。典型的光学面积表面计量技术，如FV显微镜、共聚焦显微镜和相干扫描干涉仪（也称为白光干涉仪）是合适的候选者[40]。鉴于AM测试表面具有较高的粗糙度（即陡峭的局部斜率），选择了Alicona G4 FV显微镜（Bruker Alicona，奥地利）[22]，因为它具有高达85°的高斜率接受能力[44]。
FV测量设置如下：放大倍数为20倍，物镜数值孔径为0.40，采样距离为1 μm，并使用环形光照明。FV测量的测试表面显示在图2(a)–(d)中。表面A、B、D和C的粗糙度分别由FV测量的算术平均高度表示，分别为34.5、29.4、29.1和22.2 μm。FV测量的表面的2D频率-幅度图（称为幅度图）显示在图2(e)–(h)中，而图2(i)和(j)显示了这些图的零-crossing轮廓。通常，较粗糙的表面在频率谱上显示出更高的表面幅度。需要注意的是，这些幅度图已经经过降噪处理，降噪过程在第3.2节中讨论。
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图2. 使用Alicona G4 FV显微镜测量的四个测试表面及其频率-幅度图。(a–d) 表面A、B、C和D；(e–h) 相应的频率-幅度图；(i, j) 沿u和v轴的频率-幅度图的零-crossing轮廓。
**2.5. 测试表面的模拟和物理XCT测量**
XCT模拟和物理测量测试表面的扫描设置列在表1中[23]。
表1. 模拟和物理XCT扫描设置。
测量索引 测量1 测量2
测量类型 模拟 物理
测量设备 aRTist软件 Nikon XT H 225 CT
X射线源 单色 多色
电压（kV） 180 180
电流（μA） 85 120
曝光时间（ms） 1420 1420
体素大小（μm） 20 20
焦斑大小（μm） 20 20
估计值 22.4 [23]
XCT模拟测量由软件aRTist（BAM，德国）[24]执行。模拟的虚拟样本是一个包含四个FV测量表面的立方体，如图A Appendix中的图S1所示。虚拟立方体样本上的测试表面尺寸为2.3 mm × 2.3 mm，而立方体本身的尺寸为2.5 mm × 2.5 mm × 2.5 mm。在模拟中，X射线源（焦斑）被建模为一个满宽最大高度为20 μm的2D高斯函数。选择这个焦斑大小是为了模拟物理XCT测量。数字焦点的像素尺寸为301 × 301。然而，为了减少计算负载，数字焦点被重采样为五个随机分布的点。软件中的散射和噪声选项被禁用，以最小化XCT的随机误差。模拟的放射图像使用CT Pro 3D软件（Nikon Metrology，日本）[26]中的滤波反投影算法[25]重建为体积图像。表面测定使用VGStudio Max 3.2.5（Volume Graphics，德国）[27]通过基于局部最大梯度的方法[28][29]进行。确定的表面被导出为网格点云，采样间隔为5 μm。然后使用CloudCompare软件（EDF R&D，法国）[30]中的迭代最近点配准算法将这些表面与参考表面（虚拟样本）对齐，并在同一位置以1 μm的间隔进行重采样。实际的XCT测量使用Nikon XT H 225M（Nikon Metrology，日本）[31]进行，这是一种配备平面探测器的圆锥束XCT系统。体积重建同样使用CT Pro 3D软件和滤波反投影重建算法进行。应用了基于线性化的BHC[32]来减轻束硬化伪影。BHC校正函数设置为二阶多项式：Y = aX + bX2，其中X是XCT放射图像的初始强度值，Y是校正后的强度值，a和b是指定的校正系数[33]，分别设置为0.75和0.25，以实现适当的校正。在第6节中介绍的案例研究中，使用了不同的系数来研究改变BHC强度的影响。表面测定和对齐的方法与模拟中的相同。进行了三次重复的实际测量。
3. SATF的计算
3.1. SATF中的噪声
XCT的随机误差会在测量的表面振幅图中引入随机噪声，导致从这些振幅计算出的SATF（使用公式（1））显示出噪声。从XCT模拟测量（表1中的测量1）获得的测试表面A的SATF显示在图3(a)和(b)中。尽管由于XCT随机误差最小化，预期SATF噪声会很小，但这种噪声仍然足以影响系统和随机误差的有效评估，这突显了SATF计算中有效去噪的必要性。
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图3. SATF噪声问题、去噪过程和结果。(a, b) 未经去噪的XCT模拟测量（表1中的测量1）得到的测试表面A的SATF：(a) 俯视图；(b) 斜视图。(c) SATF去噪过程图，显示了多重FFT平均方法（即SATF去噪算法）。(d, e) 经过去噪的物理XCT测量（表1中的测量2）得到的测试表面A的SATF：(d) 俯视图；(e) 侧视图。
3.2. SATF去噪
为了在考虑到XCT随机误差的情况下减少SATF图中的噪声，对频域中的表面振幅进行了数据平均，称为多重FFT平均方法。SATF去噪方法及其过程如图3(c)所示。在计算表面振幅时，不是直接对整个大表面进行傅里叶变换，而是首先将大表面分割成多个较小的子样本，然后计算所有表面子样本的振幅图并进行平均，表示为：
(2)Aˉ=1mn∑k=1m∑j=1nFSk,j
其中S是表面子样本数据，k和j分别是沿x轴和y轴的子样本索引，m和n分别是沿x轴和y轴的子样本数量，Aˉ是平均振幅。子样本可以与相邻子样本重叠50%或更少。这种平均方法将SATF噪声的方差降低到原始方差的1/mn水平，同时保留了SATF噪声的幅度。减少的方差确保了XCT滤波效应的准确表征，而保留的幅度允许评估XCT随机误差。在计算表面振幅时，表面数据乘以汉恩函数（Hann function）以减少光谱泄漏[34]，SATF计算在MATLAB（MathWorks，美国）[35]中完成。
SATF去噪的有效性取决于计算中使用的表面子样本数量。对于XCT模拟测量，49个大小为500 μm × 500 μm的子样本足以实现有效的SATF去噪。相比之下，实际XCT测量则需要大约600个相同大小的子样本才能达到令人满意的去噪效果。SATF去噪方法的有效性在图3(d)和(e)中得到了证明，这些图显示了物理XCT测量中测试表面A的去噪SATF，清晰地揭示了可识别的特征。每个子样本的计算时间为0.0218秒。
4. SATF的准确性验证、敏感性分析和解释
4.1. SATF的准确性验证
为了验证计算出的SATF在评估测量系统的系统和随机误差方面的准确性，设计了一个基于算法的验证测量系统。该系统具有特定的系统和随机误差，如图4所示。
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图4. 用于SATF验证的测量系统，具有指定的高斯滤波器和指定的高斯噪声。(a) 输入表面；(b) 高斯滤波器；(c) 滤波后的表面；(d) 高斯噪声；(e) 输出表面。
在图4中，FV测量的测试表面图4(a)作为验证测量系统的输入，并作为SATF计算的参考（真实）表面。低通滤波器图4(b)通过卷积应用于参考表面，以表示总的系统滤波效应。由于高斯滤波器在空间域和频域中都有解析形式，因此采用它来进行与计算出的SATF的准确比较。随后将加性噪声图4(d)应用于滤波后的表面图4(c)，以表示随机误差。根据中心极限定理（CLT），许多独立随机影响的总和近似为高斯分布[38]，因此使用高斯噪声作为加性噪声。最终输出是表面图4(e)。然后使用输入和输出表面计算SATF。验证过程检查计算出的SATF是否能够准确表征指定的高斯滤波器并评估指定的高斯噪声。考虑的高斯滤波器的截止波长（即50%透射对应的波长）分别为10、20和30 μm，分别称为高斯滤波器1、2和3。高斯噪声使用MATLAB中的randn函数生成。为了改变噪声水平，生成的高斯噪声分别乘以0、0.1、1和10。
图5展示了使用不同滤波器、测试表面和噪声水平获得的SATF结果。图5(a)显示了使用不同滤波器但在相同噪声水平下测试表面A获得的SATF。结果表明，在低于临界转折点的频率下，SATF曲线与滤波器曲线紧密对齐。该转折点发生在表面组分的幅度等于测量表面的噪声分量时，如图5(b)中的交叉点所示。图5(b)显示，在高于交叉点的频率下，噪声分量幅度超过了表面分量幅度，表明这些表面分量未能被有效测量，被测量噪声所掩盖。因此，SATF的转折点代表了由于随机测量噪声而可测量的尺度限制。此外，高于转折点的频率处的SATF等于噪声与参考表面的幅度比。这个结果在图5(a)中得到了证明，该图显示SATF与噪声与参考表面比率曲线紧密对齐。这个比率可以概括为XCT测量系统的随机误差与参考表面比率。SATF可以详细描述为：
(3)SATF=Afiltered,surfaceAreference,surface,Afiltered,surface[GRTEQT]Arannom,errorArandom,errorAreference,surface,Afiltered,surface
其中afiltered,surface和arannom,error分别表示图4(c)中滤波后表面的幅度和图4(d)中的高斯噪声。
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图5. 使用不同参数获得的satf结果：高斯滤波器、测试表面、高斯噪声水平、子样本大小和fft窗口。(a) 使用不同滤波器但在相同噪声水平下测试表面a获得的satf。比较了高斯滤波器、satf和噪声与参考表面比率的曲线。(b) (a)中测量表面上的表面分量和噪声分量之间的幅度比较。(c) 在相同滤波器和噪声水平下不同测试表面获得的satf。(d) 使用相同滤波器但在不同噪声水平下测试表面a获得的satf。(e–g) 使用固定滤波器和高斯噪声（保持不变）的测试表面a获得的satf。(e) 使用不同子样本大小（300、500和700 μm）在50%重叠比率下获得的satf。(f) 在固定子样本大小为500 μm的情况下，使用不同重叠比率（10%、30%和50%）获得的satf。(g) 使用不同fft窗口计算的satf。
公式(3)还表明，satf的转折点发生在系统滤波曲线和随机误差与参考表面比率曲线的交点处，如图5(a)所示。这个结果表明，可测量的尺度限制由系统滤波效应、随机测量误差和表面特性的相互作用决定。图5(c)和(d)分别说明了表面特性和噪声水平对可测量尺度限制的影响。图5(a)、(c)和(d)的结果表明，随着系统滤波效应的增加、随机误差的增加和表面的平滑度提高，测量系统的可测量尺度限制会减小。总之，验证确认satf可以准确表征在可测量表面尺度内的系统滤波效应以及超出此尺度的随机误差与参考表面比率。
4.2. satf的敏感性分析
satf计算的准确性主要取决于去噪效果，而这又取决于表面子样本的总数。对于固定的测试表面面积，子样本数量随子样本大小和重叠比率而变化。如图5(e)和(f)所示，研究了satf准确性对这些两个参数的敏感性。satf是使用验证测量系统获得的，输入为测试表面a。所有情况下都应用了相同的高斯滤波器（截止波长：10 μm）和高斯噪声。用于satf计算的表面面积保持不变。图5(e)比较了在50%子样本重叠比率下不同子样本大小获得的satf，而图5(f)比较了在固定子样本大小为500 μm时不同重叠比率下获得的satf。结果表明，satf准确性对子样本大小和重叠比率具有鲁棒性。然而，较大的子样本大小和较小的重叠比率会减少用于幅度平均的子样本数量，从而在高频下减弱去噪效果。由于xct随机测量误差在不同测量和样本中变化，建议通过实验确定适当的子样本数量。
计算出的satf的频谱分辨率取决于fft窗口。具有较宽主瓣的窗口会降低分辨率并可能模糊估计的表面幅度，从而降低satf的质量。为了减轻这一点，建议使用平衡窄主瓣宽度与低旁瓣的窗口，如汉恩（hann）、凯泽（kaiser）、纳塔尔（nuttall）和布莱克曼-哈里斯（blackman–harris）。图5(g)显示了使用这些窗口计算的satf。结果表明，satf计算对fft窗口的选择具有很强的鲁棒性。
4.3. xct的satf解释
基于satf准确性验证的结果，可以通过satf分析区分xct测量误差。例如，图6(a)–(d)显示了从xct模拟测量（表1中的测量1）获得的测试表面c的2d satf。在低空间频率（低于转折点）下，satf揭示了xct系统的滤波效应。在较高频率（超过转折点）下，satf表征了随机误差与参考表面的比率。此外，线性插值上采样会在satf图中引入周期性误差，表现为双峰特征。上采样发生在①表面提取过程中以实现亚体素测量精度，以及②satf计算过程中以匹配参考表面的采样距离。 其中afiltered,surface和arannom,error分别表示图4(c)中滤波后表面的幅度和图4(d)中的高斯噪声。 下载：下载高分辨率图像（483kb） 下载：下载全尺寸图像 图5. 使用不同参数获得的satf结果：高斯滤波器、测试表面、高斯噪声水平、子样本大小和fft窗口。(a) 使用不同滤波器但在相同噪声水平下测试表面a获得的satf。比较了高斯滤波器、satf和噪声与参考表面比率的曲线。(b) (a)中测量表面上的表面分量和噪声分量之间的幅度比较。(c) 在相同滤波器和噪声水平下不同测试表面获得的satf。(d) 使用相同滤波器但在不同噪声水平下测试表面a获得的satf。(e–g) 使用固定滤波器和高斯噪声（保持不变）的测试表面a获得的satf。(e) 使用不同子样本大小（300、500和700 μm）在50%重叠比率下获得的satf。(f) 在固定子样本大小为500 μm的情况下，使用不同重叠比率（10%、30%和50%）获得的satf。(g) 使用不同fft窗口计算的satf。 公式(3)还表明，satf的转折点发生在系统滤波曲线和随机误差与参考表面比率曲线的交点处，如图5(a)所示。这个结果表明，可测量的尺度限制由系统滤波效应、随机测量误差和表面特性的相互作用决定。图5(c)和(d)分别说明了表面特性和噪声水平对可测量尺度限制的影响。图5(a)、(c)和(d)的结果表明，随着系统滤波效应的增加、随机误差的增加和表面的平滑度提高，测量系统的可测量尺度限制会减小。总之，验证确认satf可以准确表征在可测量表面尺度内的系统滤波效应以及超出此尺度的随机误差与参考表面比率。 4.2. satf的敏感性分析 satf计算的准确性主要取决于去噪效果，而这又取决于表面子样本的总数。对于固定的测试表面面积，子样本数量随子样本大小和重叠比率而变化。如图5(e)和(f)所示，研究了satf准确性对这些两个参数的敏感性。satf是使用验证测量系统获得的，输入为测试表面a。所有情况下都应用了相同的高斯滤波器（截止波长：10 μm）和高斯噪声。用于satf计算的表面面积保持不变。图5(e)比较了在50%子样本重叠比率下不同子样本大小获得的satf，而图5(f)比较了在固定子样本大小为500 μm时不同重叠比率下获得的satf。结果表明，satf准确性对子样本大小和重叠比率具有鲁棒性。然而，较大的子样本大小和较小的重叠比率会减少用于幅度平均的子样本数量，从而在高频下减弱去噪效果。由于xct随机测量误差在不同测量和样本中变化，建议通过实验确定适当的子样本数量。 计算出的satf的频谱分辨率取决于fft窗口。具有较宽主瓣的窗口会降低分辨率并可能模糊估计的表面幅度，从而降低satf的质量。为了减轻这一点，建议使用平衡窄主瓣宽度与低旁瓣的窗口，如汉恩（hann）、凯泽（kaiser）、纳塔尔（nuttall）和布莱克曼-哈里斯（blackman–harris）。图5(g)显示了使用这些窗口计算的satf。结果表明，satf计算对fft窗口的选择具有很强的鲁棒性。 4.3. xct的satf解释 基于satf准确性验证的结果，可以通过satf分析区分xct测量误差。例如，图6(a)–(d)显示了从xct模拟测量（表1中的测量1）获得的测试表面c的2d>其中afiltered,surface和arannom,error分别表示图4(c)中滤波后表面的幅度和图4(d)中的高斯噪声。
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图5. 使用不同参数获得的satf结果：高斯滤波器、测试表面、高斯噪声水平、子样本大小和fft窗口。(a) 使用不同滤波器但在相同噪声水平下测试表面a获得的satf。比较了高斯滤波器、satf和噪声与参考表面比率的曲线。(b) (a)中测量表面上的表面分量和噪声分量之间的幅度比较。(c) 在相同滤波器和噪声水平下不同测试表面获得的satf。(d) 使用相同滤波器但在不同噪声水平下测试表面a获得的satf。(e–g) 使用固定滤波器和高斯噪声（保持不变）的测试表面a获得的satf。(e) 使用不同子样本大小（300、500和700 μm）在50%重叠比率下获得的satf。(f) 在固定子样本大小为500 μm的情况下，使用不同重叠比率（10%、30%和50%）获得的satf。(g) 使用不同fft窗口计算的satf。
公式(3)还表明，satf的转折点发生在系统滤波曲线和随机误差与参考表面比率曲线的交点处，如图5(a)所示。这个结果表明，可测量的尺度限制由系统滤波效应、随机测量误差和表面特性的相互作用决定。图5(c)和(d)分别说明了表面特性和噪声水平对可测量尺度限制的影响。图5(a)、(c)和(d)的结果表明，随着系统滤波效应的增加、随机误差的增加和表面的平滑度提高，测量系统的可测量尺度限制会减小。总之，验证确认satf可以准确表征在可测量表面尺度内的系统滤波效应以及超出此尺度的随机误差与参考表面比率。
4.2. satf的敏感性分析
satf计算的准确性主要取决于去噪效果，而这又取决于表面子样本的总数。对于固定的测试表面面积，子样本数量随子样本大小和重叠比率而变化。如图5(e)和(f)所示，研究了satf准确性对这些两个参数的敏感性。satf是使用验证测量系统获得的，输入为测试表面a。所有情况下都应用了相同的高斯滤波器（截止波长：10 μm）和高斯噪声。用于satf计算的表面面积保持不变。图5(e)比较了在50%子样本重叠比率下不同子样本大小获得的satf，而图5(f)比较了在固定子样本大小为500 μm时不同重叠比率下获得的satf。结果表明，satf准确性对子样本大小和重叠比率具有鲁棒性。然而，较大的子样本大小和较小的重叠比率会减少用于幅度平均的子样本数量，从而在高频下减弱去噪效果。由于xct随机测量误差在不同测量和样本中变化，建议通过实验确定适当的子样本数量。
计算出的satf的频谱分辨率取决于fft窗口。具有较宽主瓣的窗口会降低分辨率并可能模糊估计的表面幅度，从而降低satf的质量。为了减轻这一点，建议使用平衡窄主瓣宽度与低旁瓣的窗口，如汉恩（hann）、凯泽（kaiser）、纳塔尔（nuttall）和布莱克曼-哈里斯（blackman–harris）。图5(g)显示了使用这些窗口计算的satf。结果表明，satf计算对fft窗口的选择具有很强的鲁棒性。
4.3. xct的satf解释
基于satf准确性验证的结果，可以通过satf分析区分xct测量误差。例如，图6(a)–(d)显示了从xct模拟测量（表1中的测量1）获得的测试表面c的2d satf。在低空间频率（低于转折点）下，satf揭示了xct系统的滤波效应。在较高频率（超过转折点）下，satf表征了随机误差与参考表面的比率。此外，线性插值上采样会在satf图中引入周期性误差，表现为双峰特征。上采样发生在①表面提取过程中以实现亚体素测量精度，以及②satf计算过程中以匹配参考表面的采样距离。>这两个步骤都使用了表面确定和对齐软件中固有的线性插值算法。双峰特征出现在与表面提取采样间隔和体素大小相对应的频率上，以及它们的整数倍频率上。应当注意的是，数据上采样引入的周期性误差取决于插值方法。为了帮助解释SATF图，图6(e)–(h)比较了未上采样和使用不同插值方法计算出的SATF。图6(e)显示了未经上采样的测试表面C的SATF，即采样距离等于体素大小（20 μm）。这里的可测量频率范围限制在0.1 μm?1。图6(f)–(h)显示了使用MATLAB中的线性、立方和样条插值将测试表面C的采样距离从20 μm上采样到1 μm后的SATF。上采样扩展了可测量频率范围，使得在进行了亚体素表面确定后能够保留更多的表面细节。不同的插值方法会引起不同的周期性测量误差。线性插值产生的周期性伪影最强，而样条插值产生的伪影最弱。为了评估这些方法对XCT测量精度的影响，图6(i)比较了这些SATF的零交叉剖面。结果表明，线性插值引入了额外的表面滤波效应，而立方和样条插值则没有。
图6. XCT测量的SATF及表面数据插值的影响。所有SATF均来自XCT模拟测量中的测试表面C（表1中的测量1）。(a–d) 使用线性表面数据插值解释SATF：(a) 俯视图；(b, d) 放大的俯视图；(c) 侧视图。(e–i) 不同插值方法对SATF的灵敏度分析：(e) 参考SATF（未上采样，表面采样距离等于体素大小（20 μm）；(f–h) 分别使用MATLAB中的线性、立方和样条插值将采样距离从20 μm上采样到1 μm后计算出的SATF；(i) SATF的零交叉剖面。
诸如XCT测量误差对输入表面的依赖性之类的线性特性，可以解释为从不同表面获得的SATF的一致性。SATF计算假设了一个线性的、与输入无关的测量系统，而XCT系统包括线性和非线性影响，需要可靠地识别这些影响。图7(a)–(d)显示了从XCT物理测量中获得的四个测试表面的2D SATF图（表1中的测量2），图7(e)和(f)显示了这些SATF的零交叉剖面。结果表明，在水平方向（u方向，垂直于样品旋转轴）和垂直方向（v方向，平行于样品旋转轴）存在各向异性误差。XCT的系统性滤波效应在垂直方向上大致呈线性，但在水平方向上呈非线性，这可能是由于水平方向占主导的影响，如束硬化效应（BHC）。
基于SATF的MSR确定
SATF允许通过考虑系统误差的方面以及随机误差的方面，并检查空间非均匀性，来全面确定MSR。系统MSR是根据系统误差确定的，系统误差被定义为SATF阈值介于0和1之间的波长。可以通过使用2D表征模型拟合SATF（在转折点之前）来获得两个垂直方向上的系统MSR值。在这项工作中，采用了2D高斯函数，表示为：
(4)fu,v = exp(-ln(1/p)·ku·nu + vk·nv)，其中u、v是沿x轴和y轴的空间频率（单位为μm?1），nu和nv是大于1的阶数，ku和kv是对应于高斯函数值p在u轴和v轴上的频率（单位为μm?1），p是SATF阈值。参数ku、kv、nu和nv是在拟合过程中获得的。因此，波长1ku和1kv代表了两个垂直方向上的系统MSR值。
SATF阈值尚未标准化。一些研究通过类比MTF50 [7]、[10]、[11] 采用p = 0.5，而其他研究则认为应根据所需的测量精度来调整p [37]。例如，Laquai等人[37]建议通过将拟合的高斯滤波器与宽度等于0.5 MSRsystematic的矩形表面进行卷积来确定SATF阈值p。根据这一标准，p = 0.8可以获得超过98%的表面高度测量精度[37]。在这项工作中，SATF阈值的确定基于SATF拟合的稳健性。SATF拟合对所使用的SATF数据的频率范围（从0到最大频率kc）敏感。不同的kc选择会产生明显不同的拟合结果，如图8所示。然而，拟合在SATF约为0.8时仍然稳定。因此，可以可靠地确定对应于SATF值为0.8的波长，建议使用p = 0.8。
基于从XCT物理测量（表1中的测量2）获得的测试表面A的SATF来确定MSR。通过将方程(4)中的高斯函数拟合到SATF数据上来确定MSRsystematic。用于拟合的SATF数据的最大频率被标记为kc。比较了不同kc值的拟合高斯剖面。拟合在SATF约为0.8时是稳健的，因此，相应的频率被确定为MSRsystematic。随机MSR通过视觉观察大致确定。
基于SATF的方法应用——一个案例研究
SATF方法允许通过完整的因果链彻底研究XCT影响因素的影响。本节通过一个案例研究展示了这种方法的好处和优势，特别研究了基于线性化的BHC对XCT测量质量的影响。基于线性化的BHC是XCT体积图像校正程序中的关键部分，用于处理由束硬化效应引起的图像伪影[32]。虽然这个因素对体积图像质量的影响可以很容易地定性和量化，但其对表面质量的影响难以评估和预测。这个挑战在于，基于线性化的BHC可以在不同方面提高或降低图像质量，且缺乏综合评估这些方面表面质量的方法。这种影响的不明确性导致在选择最佳校正强度时缺乏指导。
为了建立因果链，需要弄清楚每个显著图像质量变化对表面质量造成的相应变化。从文献和我们的实验数据已经知道，基于线性化的BHC可以提高图像清晰度，减少系统误差并改善MSRsystematic [32]。理解BHC强度与这种改进之间的关系至关重要。然而，基于线性化的BHC也会增加图像噪声，了解其对XCT随机误差和可测量尺度限制MSRrandom的影响也很关键。由于束硬化伪影主要表现为XCT体积图像中水平方向（垂直于样品旋转轴）的低频结构，这种伪影校正在不同频率和不同方向上可能有不同的影响。这些影响需要使用2D SATF方法来确定。
为了进行这项研究，使用了测试3DRS样本的XCT物理测量数据（表1中的测量2）。通过改变线性化系数（第2.4节中描述的二阶多项式的a和b参数）来应用不同级别的BHC强度；NBHC（基线，a = 1, b = 0），BHC1（中等校正，a = 0.75, b = 0.25）和BHC2（强校正，a = 0.5, b = 0.5）。校正后的体积切片显示在附录A的图S2中。观察到BHC1系数提供了适当的校正强度，而BHC2系数导致了过度校正。
结果表面显示在图9(a–d)中。可以明显看到，即使应用了过度校正，小结构（如颗粒）的测量也随着BHC强度的增加而改善。测试表面A的结果SATF显示在图9(e)和(f)中，可以进行全面和定量的分析。SATF的非均匀形状表明XCT测量误差是空间非均匀的，在水平方向（u方向）上的滤波效应比垂直方向（v方向）更明显。
在水平方向上，转折点左侧的SATF值随着BHC强度的增加而增加，表明系统误差减少，MSRsystematic得到改善，这与现有文献的发现一致。然而，一个新的发现是过度校正（BHC2）可以进一步提高性能。此外，转折点右侧的SATF值也随着BHC强度的增加而增加，证实了由于图像噪声增加导致XCT随机误差的升高。然而，值得注意的是，可测量尺度限制MSRrandom并没有相应减少。在垂直方向上，SATF变化很小，这与束硬化效应和基于线性化的BHC主要影响水平方向的数据的观察结果一致。在水平和垂直方向上，SATF的低频部分（大约0～0.004 μm-1）显然受到基于线性化的BHC的影响。具体来说，产生了振幅减少，表明基于线性化的BHC可能在较大尺度上引入了额外的系统误差。
如第4.3节末尾所讨论的，束硬化（因此BHC）在水平方向上是主导的，并且可能是非线性的影响。通过检查不同表面上SATF的一致性如何随BHC强度的变化来评估基于线性化的BHC的非线性。结果表明，随着BHC强度的增加，SATF的偏差增加，表明基于线性化的BHC在水平方向（u方向）产生了非线性影响。该方法不需要高精度制造或特殊设计的测试样本，任何能够在所研究的测量范围内提供合适空间频率成分范围的表面都可以使用。(2) 更全面和准确的误差评估。SATF采用了多重FFT平均方法进行去噪处理。这种方法不仅提供了更有效的噪声抑制和更准确的系统误差评估，还能够估计随机误差与参考表面的比率，并以新的方式确定可测量尺度极限。此外，这种去噪策略使得2D分析成为可能，从而可以检查XCT测量误差的空间非均匀性。SATF的准确性已经通过基于算法的表面测量系统得到了验证。结果表明，当测量表面信号的幅度超过随机误差信号的幅度时，SATF能够表征系统过滤效应；而当随机误差信号淹没测量表面信号时，它可以表示随机误差与表面信号的比例。这两种情况之间的转变点出现在测量表面信号的幅度与随机误差信号的幅度相等的频率处，这个转折点代表了可测量尺度极限。敏感性分析进一步表明，SATF的准确性对处理参数的选择具有鲁棒性。(3) 深入的系统分析和广泛的应用。SATF可以确定XCT的MSR（测量系统分辨率），量化XCT因素的影响，并建立从图像质量到表面质量的因果链。本文简要介绍了这些应用。通过确定的MSR可以帮助评估给定的XCT机器或测量配置是否适用于特定任务。可以全面研究XCT影响因素的影响。对数据插值和基于线性化的BHC（背散射校正）的SATF分析得出了实际建议：由于线性插值会引入额外的过滤效应，因此不推荐使用；而三次插值和样条插值由于信息损失小且插值误差低而更受青睐。对于基于线性化的BHC，建议进行适当的过校正以达到最佳性能改进。结果还表明，图像质量的变化可以追踪到最终表面质量的变化，从而可以建立用于测量预测和控制的图像-表面因果链。然而，尽管SATF在理论上已被验证可以达到高精度，但其实际精度主要取决于参考测量的准确性。在这项工作中，由于FV光学表面计量技术具有高分辨率和高测量效率，因此被选为参考方法。然而，FV测量误差对SATF精度的影响尚不清楚，需要进一步研究。在应用SATF研究XCT影响因素的影响时，假设了线性效应，这无法完全描述非线性影响。未来的工作将探索解决这一限制的先进方法。SATF旨在建立投影图像质量与最终表面质量之间的因果链，案例研究证明了定性图像-表面因果链的可行性。未来的工作将进行定量分析，并评估从投影图像预测和控制最终表面质量的可行性。
未引用的参考文献[36]。
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