一种用于定常流的稳定自适应残差流式格子玻尔兹曼方法

《Advances in Engineering Software》：A stabilized adaptive residual-streamed Lattice Boltzmann Method for stationary flows

　　穆罕默德·A·博拉伊，埃及扎加齐格大学机械动力工程系，扎加齐格，44519

摘要：本文提出了一种算法，用于加速用于稳态流动的格子玻尔兹曼方法（LBM）的收敛速度。该新算法基于一种新的残差流送概念，即以类似于常规流送步骤的方式将分布函数残差传递到邻近点。不过，所流送的残差是同一格点及其邻近点上残差的加权平均值，且权重因子会在每次迭代中自动调整以加快收敛速度。为避免出现不稳定现象，在残差流送步骤后的每次迭代都会对粒子分布函数（PDF）进行正性检查，如果PDF的最小值出现负值，则会采取相应校正措施。通过一系列基准测试案例对该方法的计算性能和精度进行了验证，同时比较了其与标准LBM算法以及预处理LBM算法在收敛所需迭代次数和误差方面的表现。与传统收敛加速算法相比，所提出的算法具有诸多优势。

引言：格子玻尔兹曼方法是目前计算流体动力学领域中最受欢迎且较为先进的建模技术之一[1][2][3]。与其他CFD技术相比，它具有诸多优点，如实现简单、易于整合多种物理机制[4]、高度并行化、在处理复杂几何结构时性能更优[5][6]，还能很好地处理具有变材料属性的多相问题[7][8][9][10][11][12][13]。然而，对于稳态流动而言，该方法的缺点在于由于流速与格点声速之间存在较大差异，导致其收敛速度较慢[14]。作为一种弱可压缩性方法，它对马赫数存在上限限制[15][16][17]，这也使得缓慢收敛成为该方法的固有特性[18]。为解决这一问题，人们提出了多种方法，包括预处理技术[14][19][20]、求解稳态玻尔兹曼方程[21]、马赫数退火技术[22]、非均匀网格下的局部时间步进法[23]、多网格方法[24]、迭代动量松弛法[25]、自适应松弛频率技术[18]以及其他相关方法。这些方法在加速效率、内存需求以及实现复杂度方面各有优劣。其中，预处理LBM是最常用的收敛加速技术，这一初始理念由郭等人提出[14]，此后又出现了许多变体，包括引入强迫项的预处理LBM[19]、级联LBM[18]、中心矩LBM[26]以及MRT LBM[27]等。基于预处理的方法通过缩小格点特征声速与流速之间的差距，使得低马赫数流动的收敛速度比标准LBM更快。多网格方法则利用成熟的多网格技术，通过在不同空间分辨率的网格之间切换来加速收敛。尽管隐式求解稳态玻尔兹曼方程会占用大量内存，但它仍是众多加速收敛方法的基础[28]。还有较新的方法是将双时间步进与多网格求解器相结合[29]，而安等人提出的多网格算法则旨在提升该方法的计算性能。本文的目标是提出一种新的收敛加速算法，在不丧失该方法原有优势的前提下，进一步提升LBM的收敛性能。所提出的稳定自适应残差流送（SARS）方法在标准LBM算法的基础上，除了进行PDF流送步骤外，还增加了残差流送步骤，且流送的残差是特定格点与邻近点之间的加权残差。本研究提出了一种高效且有效的方案，可用于提升稳态流动场景下LBM的收敛速度，其优势如下：1. 不需要对标准LBM算法进行重大修改；2. 无需调整即可应用于任何碰撞模型；3. 在不同的Ma和Re范围内，都能保持其在减少迭代次数和缩短运算时间方面的计算优势；4. 其性能不受马赫数影响，这与基于预处理的LBM算法类似。本文结构如下：第2节介绍标准LBM算法，第3节阐述SARS方法，第4节介绍该方法的设计理念及实现细节，第5节通过一系列测试案例展示该方法的效果、加速比以及一些特性，第6节对全文内容进行总结。

标准LBM算法：格子玻尔兹曼方法中的核心且唯一的控制方程为玻尔兹曼方程[1]：?f/?t + ξβ?f/?xβ = Ω(f)，其中f为分布函数，ξβ为β方向上的速度，Ω(f)为合适的碰撞算子。通过求解离散化的玻尔兹曼方程，可以得到分布函数（PDF）的时间变化规律。其离散形式为fi(x+ξiΔt, t+Δt) = fi(x,t) + Ωi(x,t)，其中fi为离散化的分布函数，ξi为i方向上的格点速度。通常情况下，Ωi的取值较为固定。

稳定自适应残差流送（SARS）方法：在向稳态解收敛的过程中，每次迭代得到的解都可以视为下一次迭代的改进初始解。在流送步骤中，分布函数的数值会沿着相应的格点方向传递到邻近节点，这一过程实际上就是将某一点的信息传播到邻近节点的不同方向上。为简化表述，记f?i(x,t+Δt)和f?i(x,t)分别为fin+1和fin。

SARS方法的详细内容与实现：本节将详细介绍所提出的SARS方法的基本原理及实现细节。

数值结果：针对不同雷诺数的一系列基准测试案例，对所提出的收敛加速算法进行了测试。对于每个测试案例，分别比较了使用所提出的SARS LBM、标准LBM以及预处理LBM达到收敛状态所需的迭代次数。收敛阈值设定为εo=10?12，宏观速度u在第n次迭代时的残差定义为：εn = ∑xuxn?uxn?1 / 2∑x[uxn]2。对于所有测试案例，初始权重因子及权重值均会根据具体情况进行调整。

结论：本文提出了一种用于加速稳态流动场景下LBM方法收敛速度的算法。SARS方法是在常规流送步骤之前，先对邻近点的残差进行流送。通过动态调整残差流送的权重因子，可最大化收敛速度。同时，该方法还加入了正性检查机制以确保稳定性。通过针对不同雷诺数范围的一系列基准测试，验证了所提方法的性能。

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究工作的已知财务利益或个人关系。