基于Birge比率方法的贝叶斯多变量元分析

《Journal of Multivariate Analysis》：Bayesian multivariate meta-analysis by using the Birge ratio method

　　奥尔哈·博德纳|塔拉斯·博德纳
美国马里兰州盖瑟斯堡国家标准与技术研究院，邮编20899-8980

摘要
本文提出了基于贝叶斯推断的多元位置-尺度模型参数分析方法，该方法与多元Birge比率法相结合，是一种用于整合多元测量数据的新型方法，可拓展广为应用的单一变量Birge比率法。文中推导出了联合后验分布、边际后验分布以及条件后验分布的表达式。基于这些成果，本文引入了Metropolis–Hastings算法和Gibbs采样方法，用于从联合后验分布中抽取样本，并基于模拟样本开展贝叶斯推断。通过研究高血压治疗的有效性，本文的理论成果得到了实证验证，结果表明抗高血压药物能够显著降低收缩压和舒张压，同时降低心血管疾病和中风的风险。

引言
元分析是一种广泛用于整合各项研究结果的常用方法。随机效应模型是一种用于实际进行元分析的定量工具，被广泛应用于化学（Mandel和Paule，1970）、医学（Bodnar等人，2017；Guolo和Varin，2017；Hansen和Rice，2023；Hardy和Thompson，1996；J. Higgins等人，2009；Jones等人，2018；Lambert等人，2005；Turner等人，2015；Veroniki等人，2019）、计量学（Ruhkin，2003；Rukhin，2007；Rukhin，2013；Strawderman和Rukhin，2010）以及物理学（Bodnar等人，2016a；Bodnar等人，2016b）领域。为捕捉“暗不确定性”——即当各研究结果被整合为单一共识值时所产生的、在单个研究中并不存在的变异现象（参见Thompson和Ellison，2011），随机效应模型通过在每项研究报告的组内方差基础上增加组间方差，将组间变异引入测量方程，具体方法是于各项研究的模型方程中引入随机效应。

在单一变量情况下，计量学和物理学领域存在另一种处理随机效应模型的方法（Birge，1932；Bodnar和Elster，2014；Bodnar和Eriksson，2023；Kacker等人，2008；Particle Data Group等人，2020；Tiesinga等人，2021；Toman等人，2012；Weise和W?ger，2000）。该方法基于Birge比率法，通过在模型方程中加入乘法因子来模拟暗不确定性。从数学上讲，这种方法相当于位置-尺度模型（例如Bodnar和Elster，2014；Fernández和Steel，1999）。近期，Bodnar和Eriksson（2023）利用Berger和Pericchi（1996）提出的用于模型选择的固有贝叶斯因子，发现位置-尺度模型在拟合用于确定基本物理常数的测量数据时，比随机效应模型更具优势，从而验证了目前CODATA中所采用的分析方法（Newell等人，2018；Tiesinga等人，2021）。

当每项研究都测量多个特征时，模拟暗不确定性的问题会变得更加复杂（例如Chen等人，2012；Jackson等人，2013；Jackson等人，2010；Rukhin，2011；Rukhin和Evans，2015）。文献中常用的经典方法是多元随机效应模型，该模型最初是在正态性假设下提出的（参见Berkey等人，1998；Jackson等人，2020；Riley等人，2015；Schwarzer等人，2015等），后来Bodnar和Bodnar（2024c）将其扩展到更广泛的多元分布类别，即所谓的椭圆轮廓分布族（参见Gupta等人，2013）。虽然Gasparrini等人（2012）、Jackson等人（2013）、Jackson等人（2010）提出了用于估计多元随机效应模型参数的频率学派方法，即总体均值向量和组间协方差矩阵，但Bodnar和Bodnar（2024b）、Bodnar和Bodnar（2024c）、Nam等人（2003）、Paul等人（2010）、Riley等人（2015）则开发了基于信息性先验和非信息性先验的贝叶斯推断方法。

近期，Bodnar和Bodnar（2024a）将单一变量Birge比率法扩展到多元情形，通过将单一变量位置-尺度模型推广为多元模型，并从频率统计的角度建立了模型参数的统计推断方法。本文则进一步发展了多元位置-尺度模型的完整贝叶斯分析方法，推导出了信息性共轭先验以及两种非信息性先验，即Berger和Bernardo参考先验（Berger和Bernardo，1992；Berger等人，2009）和Jeffreys先验（Jeffreys，1946）。在每种先验条件下分别推导出了相应的后验分布，并设计了两种数值方法，即Metropolis–Hastings算法和Gibbs采样方法，用于从后验分布中抽取样本。研究表明，只要样本量满足较低要求，即可得到模型参数的贝叶斯估计值——例如，后验中位数至少需要两个观测向量，而后验均值向量则至少需要三个观测向量。所得结果被应用于包含高血压治疗有效性研究结果在内的多元数据中（例如Riley等人，2015；Wang等人，2005），旨在判断高血压治疗是否能够降低收缩压和舒张压，以及是否能够显著降低心血管疾病和中风的风险。此前已有研究使用多元随机效应模型对这些数据进行了多元元分析，而本文则通过应用多元Birge比率法为现有研究提供了新的视角。特别是，我们发现将多元Birge比率法与多元位置-尺度模型结合使用，相比使用多元随机效应模型，能显著降低对总体均值向量各分量的不确定性。

本文的其余结构如下：下一节将介绍多元位置-尺度模型并推导其参数的三种先验。第3节给出了在所选先验条件下的后验分布表达式，并设计了两种数值方法，即Metropolis–Hastings算法和Gibbs采样方法，用于从后验分布中抽样。第4节将讨论若干重要特殊情况下的解析结果，第5节则通过实证研究应用这些理论成果。第6节总结全文，数学推导过程则放在附录中。补充材料中还提供了实证研究的额外结果和一些R代码。

章节要点
多元位置-尺度模型与先验
设xi为第i项研究中的p维测量结果向量，i={1,…,n}，Ui为第i项研究中与xi一同报告的协方差矩阵。多元位置-尺度模型是单一变量模型的推广形式，其表达式为εxi=μ+Bεi，其中εi～N(0,Ui)，且假设各测量误差ε1,…,εn相互独立。参数向量μ∈Rp为总体均值向量，通常是该模型的核心参数。

后验与合理性
首先，我们在共轭先验（10）–（11）条件下推导出后验分布的表达式，然后讨论在两种非信息性先验（6）、（7）条件下的结果。将似然函数（8）与先验函数（9）相乘，可得πC(μ,b?|X)∝∏j=1pb?jn+n0exp?12b??G0b?exp?12∑i=0n(μ?xi)?B?Ui?1B?(μ?xi)。定义x?0:n(b?)=B??1∑i=0nUi?1?1∑i=0nUi?1B?xi，以及Q0:n=∑i=0nDiUi?1Di?∑i=0nDiUi?1∑i=0nUi?1?1∑i=0nUi?1Di，其中Di=diag(xi)，i={0,1,…,n}。由此即可得出μ和b?的后验分布表达式。

特殊情形
本节将在两个重要特殊情况下展示理论结果：（i）单一变量模型，即p=1；（ii）组内协方差矩阵为对角矩阵的情况。

高血压治疗的有效性
本节将把所推导的理论成果应用于真实数据，包括针对高血压治疗有效性的十项研究数据，这些研究每项都测量了四个指标：收缩压、舒张压、心血管疾病风险以及中风风险（详细数据描述见Wang等人，2005）。该研究的目的是分析高血压治疗是否能够降低收缩压和舒张压，以及是否能够显著降低心血管疾病和中风的风险。

总结
多元随机效应模型是一种常用的工具，可将多项研究的多元结果整合为一个单一的共识向量。其发展与应用源于当各项研究结果被汇总时所存在的所谓“暗不确定性”（Thompson和Ellison，2011）。在单一变量情况下，另一种处理暗不确定性的方法是基于位置-尺度模型与Birge比率法（Birge，1932；Toman等人）。

致谢
作者感谢Dietrich von Rosen教授、责任编辑以及四位匿名审稿人提出的建设性意见，这些意见提升了本文的质量。本研究是由国际纯粹与应用化学联合会（IUPAC）资助的项目“用于估算元素标准原子重量和同位素比值以及评估相关不确定性的统计模型与数据简化方法”（项目编号2019-024-1-200）中的一部分。