一种基于POD改进的简化弱Galerkin方法，用于求解溶质传输问题

《Mathematics and Computers in Simulation》：A POD-enhanced simplified weak Galerkin method for solute transport problems

　　巴哈拉克·胡沙亚尔法尔津|莫斯塔法·阿巴斯扎德|梅赫迪·德赫甘
伊朗德黑兰阿米尔卡比尔技术大学（德黑兰理工学院）数学与计算机科学学院应用数学系，哈菲兹大道424号，邮编15914

**摘要**
本文提出了一种简化的弱Galerkin方法用于解决溶质传输问题。该算法允许使用任意形状的多边形网格，相比传统有限元方法而言，可显著减少单元计算量。相较于PFEM、VEM及常规WGM方法，该方法无需显式定义基函数，还能通过使用完全不连续的基函数更好地处理具有不连续解的问题，且构建离散格式更为简单。时间离散化采用Crank–Nicolson有限差分法实现。在H1和L2范数下建立了收敛性分析，结果表明空间收敛率分别达到O(h)和O(h2)。此外，还将SWG方法与正交分解技术结合，形成POD-SWG方法，以降低整体方法的计算复杂度。同时对该方法也进行了收敛性分析。研究表明，POD-SWG方法兼具较高的计算效率与精确度。数值实验结果验证了理论分析的正确性，并体现了所提方法的优异性能。

**引言**
土壤中的溶质对作物生长至关重要，但它们同时也可能成为污染物，其在环境中的积累日益严重[1]。农药和化肥的使用以及工业废水的排放，会促使土壤中盐分以及各类有机和无机污染物的迁移与积累[1]。这一过程会导致环境恶化、自然资源枯竭、土壤质量下降，进而威胁农业生产力可持续性及公共健康[1]。因此，研究溶质传输与流体动力学的相互作用，对于控制土壤盐碱化、优化土地资源利用、提升农业生产力以及加强环境保护具有重要意义。

在土壤中发生的溶质变化主要包括物理、化学和生物化学变化，其中以涉及对流和扩散过程的物理变化最为重要。这类物理过程可通过对流-扩散方程来建模，方程中包含流体流动的平均孔隙速度、复杂的流体动力学弥散系数，以及与土壤类型和流体流动相关的源项。二维溶质传输的控制方程为[1]、[2]、[3]、[4]：
?q/?t = ?/?x(α1(θ,μ)?q/?x) + ?/?y(α2(θ,μ)?q/?y) ? ?/?x(β1q) ? ?/?y(β2q) + g(x,y,t)，
其中(x,y)∈D?R2，0≤t≤T。相应的初始条件和边界条件为：
q(x,y,0) = q0(x,y)，(x,y)∈D；
q(x,y,t) = h(x,y,t)，(x,y)∈?D，0< />zi=∑j=1r(?zi,?φj)0,dφj,i=1,2,…,d。
pod方法的核心在于构造一组正交基{φ1,φ2,…,φr}，使得zi与这些基函数之间的均方误差最小。

**数值结果**
本章通过溶质传输模型中的测试问题，通过数值实验结果来验证理论分析的正确性，并展示swg方法以及pod-swg组合方法的有效性。所有计算均在配备intel core i7-9750h处理器、16gb内存、2.6ghz主频的asus笔记本电脑上，使用matlab 7软件完成。本文所提方法的精度与计算阶数也通过均方根误差进行了测试。

**结论**
本文提出了一种简化的弱galerkin方法（swg），用于解决溶质传输问题。首先，通过crank–nicolson有限差分法得到了半离散格式，随后又基于swg方法推导出了适用于多边形网格的完全离散格式。与pfem、vem及常规wgm方法相比，swg方法无需显式定义基函数，更能有效处理具有不连续解的问题，具备明显优势。

**作者贡献**
巴哈拉克·胡沙亚尔法尔津：论文撰写与修改、原始草稿撰写、软件应用、方法设计、概念构思。
莫斯塔法·阿巴斯扎德：论文撰写与修改、指导监督、形式分析、概念构思。
梅赫迪·德赫ghan：论文撰写与修改、指导监督、方法设计。

**致谢**
感谢匿名审稿人提出的宝贵意见与建议，这些反馈极大地提升了论文的质量。 zi=∑j=1r(?Zi,?φj)0,Dφj,i=1,2,…,d。 pod方法的核心在于构造一组正交基{φ1,φ2,…,φr}，使得zi与这些基函数之间的均方误差最小。 **数值结果** 本章通过溶质传输模型中的测试问题，通过数值实验结果来验证理论分析的正确性，并展示swg方法以及pod-swg组合方法的有效性。所有计算均在配备intel core i7-9750h处理器、16gb内存、2.6ghz主频的asus笔记本电脑上，使用matlab 7软件完成。本文所提方法的精度与计算阶数也通过均方根误差进行了测试。 **结论** 本文提出了一种简化的弱galerkin方法（swg），用于解决溶质传输问题。首先，通过crank–nicolson有限差分法得到了半离散格式，随后又基于swg方法推导出了适用于多边形网格的完全离散格式。与pfem、vem及常规wgm方法相比，swg方法无需显式定义基函数，更能有效处理具有不连续解的问题，具备明显优势。 **作者贡献** 巴哈拉克·胡沙亚尔法尔津：论文撰写与修改、原始草稿撰写、软件应用、方法设计、概念构思。 莫斯塔法·阿巴斯扎德：论文撰写与修改、指导监督、形式分析、概念构思。 梅赫迪·德赫ghan：论文撰写与修改、指导监督、方法设计。 **致谢**>zi=∑j=1r(?zi,?φj)0,dφj,i=1,2,…,d。
pod方法的核心在于构造一组正交基{φ1,φ2,…,φr}，使得zi与这些基函数之间的均方误差最小。

**数值结果**
本章通过溶质传输模型中的测试问题，通过数值实验结果来验证理论分析的正确性，并展示swg方法以及pod-swg组合方法的有效性。所有计算均在配备intel core i7-9750h处理器、16gb内存、2.6ghz主频的asus笔记本电脑上，使用matlab 7软件完成。本文所提方法的精度与计算阶数也通过均方根误差进行了测试。

**结论**
本文提出了一种简化的弱galerkin方法（swg），用于解决溶质传输问题。首先，通过crank–nicolson有限差分法得到了半离散格式，随后又基于swg方法推导出了适用于多边形网格的完全离散格式。与pfem、vem及常规wgm方法相比，swg方法无需显式定义基函数，更能有效处理具有不连续解的问题，具备明显优势。

**作者贡献**
巴哈拉克·胡沙亚尔法尔津：论文撰写与修改、原始草稿撰写、软件应用、方法设计、概念构思。
莫斯塔法·阿巴斯扎德：论文撰写与修改、指导监督、形式分析、概念构思。
梅赫迪·德赫ghan：论文撰写与修改、指导监督、方法设计。

**致谢**
感谢匿名审稿人提出的宝贵意见与建议，这些反馈极大地提升了论文的质量。>