一种用于分析有限深度流体中带有端板的浸没圆柱壳自由振动的高效数值方法

《Ocean Engineering》：An efficient numerical method for the free vibration analysis of submerged cylindrical shells with end plates in a finite-depth fluid

本文提出一种高效数值方法用于计算封闭圆柱壳淹没深度对固有频率的影响，结合轴对称FE-BE方法与镜像法求解流体势能，通过能量原理确定耦合频率。验证了方法的收敛性和准确性，并分析不同结构参数和流体深度对频率的影响，发现壳体长度、质量和壁厚对频率变化起主要作用，端板和海底可削弱这种效应。该方法适用于潜艇结构快速设计。

　　

张德春|邹宇鹏|纪佳欣|马永飞|史永军

中国石油大学（华东）机械与电子工程学院，青岛，266580，中国

摘要

研究水深对封闭圆柱壳频率的影响对于潜水器设计非常重要。为了克服传统分析方法的局限性，本文提出了一种高效的数值方法来解决这一问题。该方法采用了我们之前提出的轴对称FE-BE方法来获得无限流体中圆柱壳的模态及其对应的源分布。随后，基于这些源分布，通过镜像法和最小二乘法结合，求解了有限深度流体中这些模态对应的流体势能。确定了这一势能后，最终通过能量原理得到了封闭圆柱壳的耦合频率。本文验证了该方法的收敛性和准确性，并利用该方法研究了海面的影响。结果表明，圆柱壳的频率随着与海面距离的减小而增加，这种效应在长度更长、中部更轻、更薄的圆柱壳中更为明显。此外，环形肋条和海底的存在可以减弱这种效应。该方法具有高效和多功能性的优点，有利于相关结构的设计和计算。

引言

在水下运行的潜艇会因内部机械设备的激励（Ma等人，2014年；Yu等人，2024年）和外部流体的作用（Ren等人，2023年）而发生振动。当激励频率接近潜艇的流固耦合频率时，其振动会显著增强（Jia等人，2024年）。因此，准确计算潜艇的耦合频率对于避免共振至关重要。

潜艇的船体通常被视为圆柱壳结构，并与流体发生耦合（Ma等人，2014年；Yu等人，2024年）。圆柱壳的流固耦合频率计算是一个经典问题。早在1954年，Bleich和Baron（1954年）就研究了无限圆柱壳在声介质中的耦合频率。Lindholm等人（1962年）进一步提出了有限长度圆柱壳的情况。Paidoussis（2003年）系统地发展了圆柱壳在轴向流中的动力学理论，为圆柱壳的流固耦合提供了分析框架。这种分析方法也广泛应用于圆柱壳的非线性耦合振动分析（Amabili，2008年）和设计（Lakis等人，2011年）。为了求解更复杂的圆柱壳流固耦合问题，Bochkarev（Bochkarev等人，2014年）开发了一种轴对称有限元方法，该方法能够有效考虑截面变化，对圆柱壳的优化设计具有重要意义。

值得注意的是，上述研究的模型都是没有端部封闭的圆柱壳（称为纯圆柱壳）。实际上，潜艇的端部通过端部封闭件密封形成一个封闭空间。端部封闭件通常被建模为柔性圆形板，它们对潜艇动态行为的影响不可忽视（Caresta和Kessissoglou，2009年；Caresta和Kessissoglou，2010年）。对于带有端板的圆柱壳，由于计算结构接头和流体力的难度，动力学分析更加复杂（Zhang等人，2023c年）。对于均匀壳，可以通过假设模态与人造弹簧法结合来求解其结构方程（Cheng和Nicolas，1992年）。然而，对于带有端板的圆柱壳，流体力的计算仍然是一个复杂问题。对于封闭圆柱壳，由于端板的作用，流体域变得复杂，无法像纯圆柱壳那样通过简单的变量分离法获得流体力（Karagiozis等人，2008年；Zhang等人，2023a年）。Sandman（1976年）通过傅里叶积分变换方法研究了带有刚性不可移动端板的有限圆柱壳的声辐射。在本文中，将流体划分为三个区域，并通过流体的连续性条件将这些区域耦合起来。Harari等人（1994年）进一步考虑了端板的运动并计算了声辐射，但忽略了板与流体之间的耦合。Caresta和Kessissoglou（2010年）在分析隔板对声辐射的影响时也采用了这种忽略方法。然而，据作者所知，目前仍缺乏考虑柔性端板流固耦合振动的分析模型，这可能是由于这类模型的复杂性。尽管三维有限元（Li等人，2016年）和边界元（Merz等人，2007年）方法可以有效克服传统分析方法的局限性，但这些方法需要较大的网格，从而降低了计算效率，不利于潜艇的设计。为了提高计算效率，Xie和Chen（2022年）开发了一种封闭圆柱壳的半解析模型。该研究通过周期性条件将亥姆霍兹积分方程的表面积分简化为线积分，有效提高了计算效率。考虑到低频振动时流体的不可压缩性（Montes等人，2024年），为了避免求解声学积分方程的复杂性，作者建立了一种轴对称有限元-边界元耦合方法（简称轴对称FE-BE方法）来分析封闭圆柱壳的动态行为。这种方法不仅具有高效性，更重要的是，能够获得系统中每个模态的参数。通过这种方式，可以通过模态叠加方法高效求解封闭圆柱壳的非线性振动隔离（Zhang等人，2024年；Zhang等人，2023c年）。

需要指出的是，上一节讨论的流体力计算方法都适用于无限流体域。实际上，潜艇通常在有限的潜水深度下运行，海面和海底会影响圆柱壳的频率（Ergin等人，1992年）。研究潜水深度对潜艇频率的影响对于结构设计非常重要。为了考虑海面的边界条件，Hasheminejad和Azarpeyvand（2003年）结合了变量分离法和镜像法，提出了一种计算在半无限区域内具有时间谐波表面速度分布的无限圆柱体声辐射的方法。Ugurlu和Ergin（2006年）通过镜像法计算了流体力，并分析了海面对有限长度圆柱壳频率的影响。基于镜像法，Li及其团队研究了在自由表面下方有限深度处受到激励的无限（Li等人，2014年）和有限（Guo等人，2017年）圆柱壳的声辐射。他们进一步系统研究了自由表面和海底对圆柱壳频率的影响（Wang等人，2017年），这有助于选择适当的封闭圆柱壳测试环境。这种分析方法也广泛应用于四分之一水域中浸没圆柱壳的声辐射问题（Chen等人，2016年；Guo等人，2018年）。这些研究表明了镜像法的重要性，它也是计算半无限（Marsick等人，2021年）和有限深度（Kha等人，2023年）流体中圆柱壳诱导声场的有效方法。然而，这种分析方法主要关注纯圆柱壳的声辐射，没有考虑端板对流固耦合的影响，这是由于端板引起的流体力复杂性所致。因此，目前仍缺乏研究潜水深度对封闭圆柱壳频率和模态影响的研究，这也是本文的研究目的。

另一方面，潜艇的船体通常具有变化的截面。截面的突然变化会增加分析方法的复杂性，从而限制其适用性（Zhang等人，2023c年）。尽管可以通过数值模拟计算这种效应（Amiri等人，2020年；Zhang等人，2020年），但高效的计算方法对于模态分析和结构设计仍然至关重要。作者开发了一种轴对称FE-BE方法（Zhang等人，2023c年），可以有效提高计算效率，并适用于具有变化截面的封闭圆柱壳的频率分析。然而，该方法适用于无限流体中的封闭壳。由于有限深度流体的存在，轴对称性的丧失限制了这种高效方法的适用范围。本文旨在将这种方法扩展到有限深度流体的情况，以快速准确地评估潜水深度对频率的影响。相关方法和结论可以为潜艇的设计和快速响应计算提供参考。

本文是作者之前工作（Zhang等人，2024年；Zhang等人，2023b年；Zhang等人，2023c年）的重要扩展。它使用镜像法获得满足海面和海底边界条件的格林函数，并采用作者提出的通用轴对称FE-BE方法对无限流体中的封闭圆柱壳进行模态分析，以获得各个阶次的湿模态及其对应的源分布。随后，通过将这些源分布与最小二乘法结合，获得有限深度流体中每个湿模态对应的势函数，并通过这些湿模态表示封闭圆柱壳的模态。最后，通过能量方法确定圆柱壳的频率。在验证了当前方法的收敛性和准确性后，本文分析了潜水深度对圆柱壳频率的影响，并考虑了各种参数对这些影响的调制。

本文的结构如下。第2节介绍了计算模型，并提供了求解圆柱壳流体势能和频率的方法。第3节讨论了当前方法的收敛性，并通过与ANSYS的比较验证了其准确性。在验证了当前方法后，第4节应用该方法研究了潜水深度对圆柱壳频率的影响，并探讨了结构参数和流体深度对这些影响的影响模式。最后，第5节总结了本研究的一些主要结论。

部分摘录

问题描述

本文研究的模型示意图如图1所示。一个具有两个柔性端板（厚度h_p）和内部环形肋条的圆柱壳浸没在密度为${\rho }_f=1000$kg/m³的有限深度流体中。圆柱壳的半径为R。如图1a所示，圆柱壳被分为三个部分，每个部分的厚度和长度分别为h_i和L_i。

实际上，这种方法可以考虑具有任意截面的圆柱壳

收敛性分析

作为一种新方法，必须提前评估其收敛性。当前方法中使用了七个截断数。它们是方程（2.9）中的镜像截断数i_c，方程（2.7）中的轴向和周向模态截断数M_c和N_c，方程（2.8）中用于计算源分布的轴向和周向截断数M_s和N_s，以及图3中的轴向和周向网格数M_t和N_t。如上所述，M_t等于

结果与讨论

在验证了当前方法的准确性后，利用它来讨论结构和流体参数对圆柱壳振动的影响。考虑到出于安全原因，潜艇通常避免在靠近海底的地方运行。因此，本文重点研究海面对封闭圆柱壳模态和频率的影响。

结论

本文首次提出了一种快速计算具有变化截面和环形肋条的封闭圆柱壳在有限深度流体中频率和模态的方法，这有助于优化潜艇结构的设计。有限深度流体中封闭圆柱壳的模态表示为无限流体中模态的叠加。通过结合镜像法和最小二乘法，获得了满足

CRediT作者贡献声明

张德春：撰写——原始草稿，验证，软件，方法论，数据管理，概念化。邹宇鹏：可视化，验证，资金获取，形式分析。纪佳欣：撰写——审阅与编辑，可视化，资金获取。马永飞：可视化，数据管理。史永军：撰写——审阅与编辑，资源获取。

利益冲突声明

无。

致谢

本工作得到了中国石油大学（华东）自主创新计划（项目编号：27RA2403026）、国家自然科学基金（项目编号：52571323, 52575256, 51705534）的支持。山东省自然科学基金（项目编号：ZR202204080003，ZR2022MF291）以及中国石油大学（华东）本科教学改革研究项目（项目编号：CM2024041，CM2024013）的支持。