基于底部压力反演地表位移的基本方法性能研究：不规则方向波的数值模拟

《Ocean Engineering》：Performance of basic methods for reconstructing the surface displacement from bottom pressure: numerical simulation of irregular directional waves

　　安娜·V·科科里娜|阿列克谢·V·斯卢尼亚耶夫|V·斯里拉姆俄罗斯科学院应用物理研究所，乌利亚诺夫街46号，603951，下诺夫哥罗德，俄罗斯摘要通过直接数值模拟不规则水波，检验了利用单点底部压力变化数据评估统计表面波参数时，静水理论和线性色散理论的准确性。模拟对象为具有JONSWAP谱型的波浪，其强度可达波浪即将破碎的程度，同时考虑了小范围和中等范围的两个方向扩散情况。研究采用了中间深度条件，即0.4 ≤ kh ≤ 2，其中k为特征波数，h为水深。研究表明，静水理论在包括相对较深水域在内的广泛条件下，仍能给出重要波参数的可靠精确估计。文中还提出了底部压力与表面位移之间的经验映射关系，用于计算波峰过零周期和有效波高，从而较为准确地重建这些参数。引言使用安装在海底的波浪记录仪来监测海面波浪具有明显的实际意义，因为这类设备不会干扰航行，也不会受到大型或正在破碎的波浪的影响。此外，它们难以被未经授权的人接触，具备防破坏功能，且安装和数据获取相对简单。例如，用于监测开阔海域海啸的DART系统，以及用于监测底部压力和地震振动的DONET系统都是很好的例子。这类系统在测量长波（如潮汐、海啸）时尤为有效，因为此时底部所受压力与表面位移成正比。而对于较短波长嘅波浪（如沿海地区的风浪），尤其是高度较大的风浪，则需要考虑波浪色散和非线性效应，此时底部压力理论会变得复杂起来。从已知的底部压力反推水面形态的问题比直接求解更为复杂，属于数学上不适定的问题。目前关于这类问题的大多数研究都集中在单向波浪上，且多为永久性波浪形态，如cnoidal波、孤波或波群，参见相关文献（Constantin, 2012; Oliveras et al., 2012; Clamond and Constantin, 2013; Vasan et al., 2017; Pellet et al., 2017; Slunyaev et al., 2018）。为提高重建精度，人们还将非线性效应纳入新的重建技术中，参见相关文献（DiMarco et al., 2001; Bonneton and Lannes, 2017; Vasan et al., 2017; Mouragues et al., 2019; Clamond and Henry, 2020）。在假设波浪波长较长（即色散效应较弱）的情况下，表面位移与底部压力之间的关系可以简化，参见相关文献（Pelinovsky et al., 2015; Bonneton and Lannes, 2017; Vasan et al., 2017; Bonneton et al., 2018）。对于浅水区域，这些结果可通过Green-Naghdi方程来表示，该方程对色散项进行了简化处理（属于Korteweg - de Vries方程的推广形式）。同时，也存在多种色散项的近似方法，当非线性效应较弱时，这些方法可导出Whitham方程或Benjamin-Bona-Mahony演化方程。值得注意的是，尽管这些框架在数学上极为相似，但在孤立波通过的测试案例中，它们对底部压力的估算结果却存在明显差异；而在由色散聚焦等瞬态过程引发的极端波浪情况下，这种差异更为显著，参见相关文献（Didenkulova et al., 2021）。目前关于同时测量底部压力变化和表面位移的实验室研究并不多，仅有少数案例，如（Gabl et al., 2021; Slunyaev et al., 2022），而通常是通过直接数值模拟流体动力学方程来验证新提出的理论。海面波浪往往具有非线性和宽带特性，无论是在频率还是方向上都是如此。底部压力监测站可部署在从沿海地区到深海的不同深度位置。即便部署在靠近海岸的特定位置，由于风浪的复杂性以及潮汐、涌浪等因素导致的水位变化，单个监测仪也可能记录到具有不同特征深度参数kh（其中h为水深，k为波数）的波浪。因此，即使来自同一个监测站的测量数据，也可能对应不同的水深条件。这一情况无疑会增加选择能够准确重建瞬时水面形态的最佳理论的难度。尽管那些能在强波浪测试案例中给出相对准确结果的重建理论十分复杂，但上述所有技术本质上都假定波浪是单向传播的。在平面几何中，水面波浪具有描述向两个相反方向传播的波浪的两种色散关系。仅依靠一个流体动力学场变量（本例中为压力）是无法解决这一不确定性的，还需要另一个通常无法获得的变量。因此，在平面水波情况下，无法仅通过某一点获取的底部压力时间序列来反推波浪方向。而在三维海波的一般情况下，从底部压力反推波浪方向则是一个至今尚未得到充分发展的问题，仅有少量相关案例，参见相关文献（Long and Oltman-Shay, 1991; Montoya and Dally, 2016; Kokorina et al., 2024）。在本研究中，我们通过直接数值模拟不规则方向的海波，评估了最简单（也是最常用）的重建理论的性能，这类理论能够根据给定的底部压力变化时间序列预测瞬时表面位移。我们的分析仅限于目前普遍认可的静水理论和线性色散理论。同时，我们重点研究恶劣的海况，因为这些情况不仅具有重要的研究价值，也代表着更大的挑战。本研究还探讨了海面波浪统计特性的重建问题，包括对波浪样本中最极端波浪的估算。我们模拟的波浪条件直至波浪破碎开始起重要作用的临界状态。研究采用高阶谱方法来解决流体动力学的势流方程，该方法被认为是一种能够在较低计算成本下准确描述强非线性波浪的有效手段。本研究中考虑了相当宽范围的深度，从相对较浅的水域kh = 0.4到相对较深的水域kh = 2。在更浅的水域中，高阶谱方法的效率会降低；而在更深的区域，由于信噪比过低，几乎无法重建风浪尺度下的表面位移。本文的结构如下：第2节介绍了波浪数据生成的数值方法，包括流体动力学方程、初始条件以及模拟参数设置。第3节简要介绍了我们所研究的表面位移重建的基本方法，即静水理论和线性色散理论。第4节探讨了不同方法从底部压力时间序列重建水面特性的性能，这些测试以现有的表面演变数据作为参考。第5节讨论了包括Benjamin – Feir指数和Ursell数在内的复杂波浪特性的重建问题，这两个指数在文献中被认为是判断极端波浪（巨浪）出现概率较高的指标。第6节总结了本研究的主要成果，并提出了经验公式，使得能够在所有模拟波浪条件下，仅通过底部压力数据重建主要的海面波浪特性。本节的最后还给出了本研究的主要结论。章节节选不规则方向水波的数值模拟方法在本研究中，我们在Zakharov（1968）提出的理想流体势流流体动力学方程框架内，模拟了恒定深度水域中不规则方向波浪的演化过程，相关方程如下：?η?t=??Φ?η+(1+(?η)2)?φ?z,z=η,?Φ?t=?gη?12(?Φ)2+12(?φ?z)2[1+(?η)2],z=η,(?φ)2+?2φ?z2=0,?h≤z≤η?φ?z=0,z=?h。此处，r = (x,y)表示水平面上的坐标向量，? ≡ (?/?x, ?/?y)；φ(r,z,t)为所研究区域内的速度势函数。从底部压力时间序列重建表面位移的基本方法对于给定的速度势φ(r,z,t)，可以利用伯努利方程计算底部附近的压力变化：Pr,t=??φ?t?12?φ2atz=–h。此处P为动态压力，已根据水密度ρ进行归一化处理。总压力则由ρ(P + gh)表示。在z = –h处，速度势及其导数可以通过求解拉普拉斯方程（3），并结合z = 0处的条件φ(r,0,t)来获得：φr,z,t=∫?∞∞φ?ktZkzexp?ikrdk,Zkz=cosh|k|z+hcosh|k|h,φ?kt=12π从底部压力时间序列重建海面波浪统计特性在势流理论框架下，从底部压力反推表面位移的问题可分为三个步骤。(i) 伯努利公式（9）建立了深度z = –h处的底部压力与速度势之间的关系。(ii) 可以利用拉普拉斯方程（3）及其解（10），将速度势从底部z = –h重新计算到任意高度。(iii) 表面动态边界条件（2）可以改写为与方程（9）类似的形式：gη(r,t)=??φ?t?12(?φ)复合非线性波浪参数在保守力学框架下，波浪演化过程中非线性和色散效应起着主导作用。波浪色散与波浪非线性之间的相互作用可以通过所谓的相似性参数来表征，比如浅水区的Ursell数和深水区的Benjamin – Feir指数。具体而言，根据Ursell数的取值不同，有限深度下的规则非线性波浪分别对应cnoidal解或Stokes解。讨论与结论本研究的主要目标是检验目前最常用的、基于单点底部压力记录重建表面位移的理论的准确性。这项工作是通过数值模拟模拟真实海洋环境的不规则方向宽带波浪来开展的。众所周知，使用静水理论和线性理论重建波形可能会导致较大误差。不过，我们的研究重点在于统计分析。CRediT作者贡献说明安娜·V·科科里娜：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，可视化分析，研究工作。阿列克谢·V·斯卢尼亚耶夫：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，研究工作。V·斯里拉姆：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，研究工作。利益冲突声明作者声明自己不存在任何可能影响本文研究工作的已知财务利益或个人关系。致谢作者感谢E.N.佩利诺夫斯基教授在研究过程中提供的有益指导。本研究得到了俄罗斯科学基金会编号为24-47-02007的资助，同时也得益于印度马德拉斯理工学院科技部通过印俄合作项目提供的支持。