具有可证明统计保密性的后量子超混沌秘密图像共享

《Digital Signal Processing》：Post-Quantum Hyperchaotic Secret Image Sharing with Provable Statistical Secrecy

　　穆罕默德·G·阿卜杜勒法塔赫|艾哈迈德·阿卜杜拉|萨利姆·F·赫加齐
埃及曼苏拉大学工程学院电子与通信工程系，曼苏拉，35516

摘要
设计一种在保持高效性与高级功能的同时，还能抵御量子攻击的秘密图像共享方案，仍是一项亟待解决的挑战。我们提出了一种基于混沌的秘密图像共享框架，该框架结合了超混沌像素级混合、辅助噪声层以及实值域中的可逆幂律变换。在(5,3)（5份中的3份）阈值配置下，该方案能够抵御格罗弗量子搜索算法的攻击，提供263位的安全性，超过了NIST 5级对称密钥标准所要求的256位。通过ε统计保密性分析可知，对于任何未经授权的联合体，信息泄露量控制在每像素5.5×10?5比特以内，且这一数值与计算能力无关。与许多需要高维运算且存在37.5%存储开销的基于格结构的后量子方案不同，这种基于混沌的设计具有近乎完美的密钥敏感性（NPCR＞99.2%）、类似噪声的共享分布，以及可忽略的空间泄露问题。它还支持多秘密共享、逐步重建以及无需像素扩展的分布式HMAC认证功能。在k份共享数据的情况下，阈值重建的PSNR值可超过40分贝，而增加共享数据后这一数值还可进一步提升至60分贝以上。该方案对信道噪声和部分数据丢失具有很强的鲁棒性，因此非常适合用于安全的医学成像、遥感以及其他高保真多媒体应用。

引言
阈值秘密共享[1][2]将一个秘密分割成n份共享数据，这样任意k份数据就可以重建出原始秘密，而少于k份的数据则无法透露任何信息。将这一原理应用于图像领域，就形成了秘密图像共享技术，它能够在(n,k)访问结构下将视觉秘密分配给多个方，其应用范围涵盖远程医疗、自主系统以及分布式人工智能基础设施等领域。

在过去的三十年间，秘密图像共享技术主要沿着三种架构方向发展，每种架构都在安全性、效率以及重建质量之间呈现出不同的权衡关系。由沙米尔首创、随后由蒂恩和林[3]拓展到图像处理领域的基于多项式的方法，是通过将像素值作为有限域GF(q)上多项式的系数来实现的。这类方法能够实现信息论层面的保密性：任何拥有少于k份共享数据的联合体都无法获取关于原始秘密的任何信息。然而，它们存在两个根本性的缺陷。首先，当域模数与像素值范围不匹配时，模运算会导致重建过程中出现伪影，从而降低图像质量；其次，由于多项式结构是确定性的，因此在达到阈值k时重建只能是完全成功或完全失败，增加共享数据也无法提升重建质量。

视觉密码学[4]则无需进行计算，只需通过直接的视觉叠加即可实现解密，这一理念也推动了该技术向灰度图像和彩色图像的拓展。不过，视觉密码学方案由于需要将连续色调的像素转换为二进制模式，因此会产生严重的像素放大现象（通常为原始分辨率的4–16倍），同时图像质量也会因损耗型半色调处理而大幅下降。这些限制使得该技术难以应用于高分辨率或带宽受限的场景。

变换域技术则利用离散小波变换[5]或离散余弦变换等频率分解方法，将秘密信息分布在不同的频带中。通过将秘密信息嵌入到对人类视觉而言具有重要意义的系数中，这类方法能够在保障安全性的同时保持图像质量，并且还能提升重建质量以及压缩兼容性。然而，由于它们依赖于多项式插值或有限域上的线性代数运算，因此容易受到肖尔算法[6]带来的量子攻击，因为该算法能够高效地解决许多加密机制所依赖的离散对数和因式分解问题。

与此同时，人们也在努力拓展秘密图像共享技术的功能，使其超越单纯的保密功能。可扩展或逐步共享机制使得随着更多共享数据的加入，重建质量能够持续提升[7][8]，从而解决了阈值方案只能实现非此即彼重建结果的缺陷。多秘密共享技术则允许在单个共享数据中嵌入多个信息载体[9][10]，这对于需要同时保护多幅相关图像的场景而言，能够有效提升存储效率。基于混沌的密码学则作为一种高性能的替代方案出现，它利用混沌动力系统的遍历性、对初始条件的敏感度以及较高的计算效率[11][12]。不过，这类功能强大且高效的混沌基方法至今仍缺乏严格的保密性证明，尤其是在面对量子攻击时，这限制了它们在关键安全应用中的使用。

近期，基于计数法的秘密共享研究也探索了一些实用的改进方法，比如可扩展的共享数据生成机制、基于矩阵的参与者扩展方式、认证功能的整合以及隐写术嵌入策略[13][14][15]。这些研究成果主要提升了传统离散域实现方案的部署灵活性和鲁棒性。然而，它们仍然基于传统的安全假设，没有针对后量子时代的攻击模型进行考虑，也没有给出信息论层面的泄露界限。

随着量子计算技术的出现，这种传统的安全范式面临着前所未有的威胁。肖尔算法[6]能够在容错量子计算机上以多项式时间复杂度解决整数因式分解和离散对数问题，这使得RSA、Diffie-Hellman以及椭圆曲线加密系统都不再安全。虽然基于阈值的多项式方案仍具备信息论层面的安全性，但任何依赖于计算难度假设的秘密图像共享方案都会变得脆弱。这一量子威胁推动了两个互补的研究方向：量子密钥分发[16]利用量子力学特性，基于物理定律提供可证明的安全性，但它需要专门的硬件，且仅适用于短距离的点对点连接；而后量子密码学[17]则开发出基于经典算法的加密方案，其安全性依赖于即便对于量子计算机来说也难以解决的问题，因此能够与现有的数字基础设施完全兼容。我们的工作属于后者。NIST近期最终确定的PQC标准[18]，包括基于格结构的密钥封装机制和数字签名方案，进一步凸显了实现量子安全替代方案的紧迫性。

为应对量子威胁，近期有一些研究开始探索基于格结构的秘密图像共享方案。德赫科尔迪等人[19]提出了一种基于“带误差学习”问题的可验证核心秘密图像共享方案，通过合理选择格参数，该方案能够达到NIST 1–5级安全标准。他们的后续研究[20]进一步实现了可变阈值功能，而张等人[21]则将基于格结构的秘密图像共享技术与联邦学习相结合，以实现隐私保护的模型聚合。这些开创性的工作表明，通过现有的格基密码学技术，确实可以实现后量子的秘密图像共享功能。然而，基于格的结构存在一些根本性的限制，制约了它们的实际应用。首先，基于LWE的方案需要在高维格结构上进行运算（为达到NIST 1级安全标准，维度L需≥512），这些运算包括多项式乘法、模运算以及从离散高斯分布中采样，这导致每像素的运算复杂度会随安全参数的增加而呈超线性增长，相比基于混沌的方案，其计算开销要高出10–100倍[22]。其次，基于格的方案是在模数为较大值的有限域Zq上运行的（例如，为保证正确性和安全性，q需≥211），这意味着每个像素分量至少需要11比特，而标准图像格式仅为8比特，因此至少会产生37.5%的存储开销[19][21]。第三，为证明安全性而需要的代数结构严重限制了功能的扩展。多秘密共享和逐步重建功能要求对编码机制进行根本性的重新设计，以维持格结构带来的安全保障，因为将秘密信息分散到多层结构中可能会无意间引入线性依赖关系，从而削弱LWE算法的复杂性。

这些限制凸显出一个关键需求：需要一种既具备量子安全性，又能保留传统基于混沌的方案所具有的多功能性、高计算效率以及无额外开销特性的秘密图像共享方案。更重要的是，这样的方案还必须能够提供针对量子攻击者的可量化安全保障。我们提出了一种基于超混沌的秘密图像共享框架，该框架结合了基于混沌方案的效率优势、后量子抗攻击性以及可证明的信息论安全保障。与基于格结构的方案不同，我们的设计实现了双重安全保障：一方面是信息论层面的ε统计保密性，另一方面则是能够抵抗格罗弗攻击的对称密钥熵（在(5,3)配置下为263个量子比特），同时它还无需进行结构 redesign，就能支持多秘密共享、逐步重建以及分布式HMAC认证功能。我们的方法将可逆幂律变换与从超混沌二维逻辑斯蒂-正弦耦合映射[23]中获得的像素级混合系数相结合。这种设计形成了双层防御机制：一方面是能够抵抗格罗弗攻击的对称密钥熵，另一方面则是信息论层面的保障，无论攻击者的计算能力如何，信息泄露量都处于可控范围内。最终的线性方程组通过Tikhonov正则化最小二乘法来求解，从而确保数值计算的稳定性以及高保真的图像重建效果。本文的主要贡献如下：

1. 可扩展的后量子抗攻击性：我们的基于混沌的框架为(5,3)配置提供了263个能够抵抗格罗弗攻击的量子比特级安全性，这一数值超过了NIST 5级标准要求的256比特，而且其计算复杂度远远低于那些需要维度≥512以及高精度模运算的基于LWE的方案。

2. 可证明的ε统计保密性：我们证明了连续域混沌秘密图像共享方案的信息论安全性，即任何未经授权的联合体造成的信息泄露量都控制在ε≤5.5×10?5比特/像素以内，这一数值与攻击者的计算能力或量子访问能力无关。

3. 原生功能扩展能力：该框架无需进行结构 redesign，就能支持多秘密共享、逐步重建以及分布式HMAC认证功能，而基于格结构的方案则需要重新设计才能实现类似功能。

4. 数值稳定的图像重建：Tikhonov正则化技术使得对条件不良的混沌混合矩阵进行逐像素反演成为可能，因此在达到阈值时，PSNR值可超过40分贝，而增加共享数据后这一数值还可进一步提升至60分贝以上。在柯达无损真彩色图像集上的实验表明，该方案具有几乎为零的空间相关性（|ρ|<10?3），并且对信道噪声具有很强的鲁棒性。

章节节选

预备知识
本节介绍了构成所提出的秘密图像共享方案基础的各种数学和计算概念。

所提出的(n,k)阈值秘密图像共享方案
所提出的秘密图像共享方案将一张秘密图像S分割成n份共享数据，这样任意k份或更多份共享数据就可以无损地重建出原始秘密，而少于k份的共享数据则无法透露任何有用的信息。整个过程分为两个主要阶段：共享数据生成和秘密图像重建，具体内容将在后续小节中详细介绍。

理论安全性分析
本节通过ε统计保密性证明以及抗量子攻击的密钥空间分析，为该方案提供了针对传统计算机和量子计算机的正式安全性保障。

实验结果与分析
本节利用柯达无损真彩色图像集（图2中共有六幅示例图像）来评估该方案的核心功能、安全性、重建质量以及参数敏感性。默认参数为β=3.99，αNL=1.5，Vnoise=25。性能评估主要通过峰值信噪比（PSNR）和结构相似性指数（SSIM）[47]来进行。在安全性分析方面，我们还进行了直方图分析、相邻像素相关性测试以及密钥敏感性分析。

结论
我们提出了一种基于超混沌二维逻辑斯蒂-正弦耦合映射混合与可逆幂律变换相结合的后量子秘密图像共享方案，该方案能够提供双重安全保障：在(5,3)配置下，它具有263个量子比特级的计算抗攻击性，超过了NIST 5级标准的要求；同时，它还具有信息论层面的保密性，对于任何未经授权的联合体，信息泄露量都控制在ε<5.5×10?5比特/像素以内。在该方案下，达到阈值时的PSNR值可超过40分贝，而增加共享数据后这一数值还可进一步提升至60分贝以上。在柯达图像集上的实验结果也证实了该方案具有良好的性能。

未引用表格
表1 算法2

未引用参考文献
[51],[52],[53],[54],[55]

CRediT作者贡献说明
穆罕默德·G·阿卜杜勒法塔赫：概念构思、方法设计、软件实现、形式化分析、初稿撰写、可视化处理。
艾哈迈德·阿卜杜拉：研究工作开展、论文审阅与编辑。
萨利姆·F·赫加齐：项目监督、研究指导、项目管理工作协调、论文审阅与编辑。

利益冲突声明
作者声明自己不存在任何可能影响本研究结果的已知财务利益或个人关系。