用于Allen–Cahn方程的显式、线性、能量稳定且保持最大值原理的方法

《Applied Numerical Mathematics》：Explicit, linear, energy stable, and maximum principle preserving method for Allen–Cahn equation

　　李承圭 韩国大学应用数学系，韩国首尔，02841

摘要
我们提出了一种用于Allen–Cahn方程的显式线性格式，该格式既满足能量稳定性要求，又符合最大值原理。该方法基于有限差分空间离散化，且无需时间步长限制即可证明能量稳定性和最大值原理。所提出的方法可轻松扩展至二阶时间精度。数值实验验证了该格式的准确性、高效性、能量稳定性以及最大值原理的满足情况。

引言
Allen–Cahn（AC）方程最初被引入用于描述二元合金中的相分离现象[1]，其表达式如下：
???t(x,t)=?F′(?)?2+Δ?, x∈Ω, t∈(0,T)，其中边界条件为周期性边界条件，?(x,t)∈[?1,1]为序参量，F(?)=0.25(1??2)2为体自由能，?为与界面能相关的系数。由于AC方程是以下Ginzburg–Landau自由能函数的L2梯度流：
E(?)=∫Ω[F(?)?2+12∥??∥2]dx，
因此它不守恒质量；不过它满足以下能量耗散定律：
ddtE(?)=〈gradE(?),???t〉2=?∥???t∥22≤0，
其中?·,·?2为l2内积，‖·‖2为对应范数，“grad”表示Gateaux导数意义上的梯度。AC方程是相场模型的控制方程，作为一种有效的数学工具，可通过扩散界面近似方法解决界面问题。该方程已被广泛用于描述材料动力学[2]、多相流体[3]、几何运动[4]以及图像处理[5]、[6]等领域。

对于包括AC方程在内的梯度流型方程，开发能量稳定的数值方法是一个重要的研究课题。为此，已经提出了多种能够保持能量耗散定律的格式，如凸分裂法[7]、[8]、半解析算子分裂法[9]、稳定的隐式-显式格式[10]、[11]、[12]、不变能量二次化格式[13]以及标量辅助变量格式[14]。近年来，基于IEQ、SAV及相关框架的线性化高阶能量稳定数值方法得到了广泛研究[9]、[13]、[14]。此外，还开发出了既能保持离散能量耗散又能满足最大值原理约束的各种格式，包括基于CS的方法[15]、稳定的指数型SAV格式[16]、[17]以及指数时间差分法[18]、[19]。然而，据作者所知，只有少数研究探讨了显式型的能量稳定格式，因为尽管显式方法计算效率高，但普遍存在严重的稳定性或一致性问题。

在本文中，我们基于带有半隐式拉普拉斯算子的有限差分空间离散化，提出了一种线性、能量稳定且能满足最大值原理的显式数值方法，用于求解AC方程。在不施加任何时间步长限制的情况下，严格证明了该方法的最大值原理和能量稳定性。此外，还可利用CS Runge–Kutta（CSRK）方法[20]将该格式直接扩展至二阶时间精度。最近，作者发表了另一项相关研究，针对具有矩阵值各向异性迁移率的更一般形式的AC模型进行了研究[15]。而本研究则聚焦于标准AC方程，旨在开发一种具有无条件能量稳定性和最大值原理保证的显式线性格式，并结合CSRK方法实现二阶精度扩展。虽然现有方法和所提方法都能保持能量耗散和最大值原理，但本研究的主要创新之处在于在完全显式且线性的框架下实现了这些特性，从而使得该方法的实现更为高效简洁。

本文的其余结构如下：第2节介绍所提出的数值格式及其性质，第3节报告数值实验结果，第4节总结结论。

数值方法
设计算域为Ω=(0,1)，G:={xi=(i?0.5)h|i=1,…,N}表示一组具有均匀空间步长h的以单元中心为坐标的网格点。给定在G上定义的、时间步长为Δt的近似解?in=?(xi,nΔt)，我们提出一阶离散格式（ES1）来求解方程(1)：
?in+1??inΔt=?(?in)3?(1+α)?in+α?in+1?2+Dih(?n+1,?n), i=1,…,N，
其中α≥2为稳定参数，Dih为定义为Dih(?n+1,?n)=?i+1n?2?in+1+?i?1nh2的离散拉普拉斯算子。

数值实验
为了验证所提格式在AC方程的时间精度、能量稳定性、最大值原理以及动力学行为方面的表现，我们进行了多次数值模拟。为简化描述，分析在一维空间中进行，但除非另有说明，否则模拟均是在二维空间Ω=(0,1)2中进行的。

结论
在本研究中，我们提出了一种用于求解AC方程的显式线性数值格式，该格式既满足最大值原理要求，又能确保能量稳定性。离散形式的最大值原理得到了严格证明，而且基于CSRK框架，该格式的时间精度已提升至二阶。通过数值实验进一步验证了其能量稳定性，同时通过对平均曲率驱动运动的模拟，也展示了AC方程的关键动力学行为之一。

作者贡献说明
李承圭：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，可视化，验证，监督，软件使用，资源获取，项目管理，方法论设计，研究实施，资金申请，形式分析，数据整理，概念构思。